Ноль

Шаблон:Карточка{{#if:||}} Шаблон:Врезка

Ноль (0, нуль от лат. nullus — никакойШаблон:Sfn) — целое число, которое при сложении с любым числом или вычитании из него не меняет последнее<ref>Шаблон:Книга</ref>, то есть даёт результат, равный этому последнему; умножение любого числа на ноль даёт ноль<ref name="dict">Шаблон:Книга</ref>.

Большой толковый словарь Кузнецова (2009)<ref>Большой толковый словарь русского языка. Гл. ред. С. А. Кузнецов. Первое издание: СПб.: Норинт, 1998.</ref> приводит обе формы слова: ноль, нуль — как равнозначные, хотя имеется некоторое различие в употреблении. В частности, форма нуль чаще используется в терминологии, особенно в косвенных падежах, она же берётся как основа для образования прилагательного нулевой — соответственно, форма ноль чаще употребляется в именительном падеже (см. врезку).

Ноль играет исключительно важную роль в математике и физике<ref>{{#ifexpr: 0 mod 2 = 0 and 0 != 4 and 0 != 104 |

}}{{#if: |

:

}}

{{#ifexpr: 0 mod 2 = 0 and 0 != 4 and 0 != 104 |

}}Самая важная цифра есть нуль. Это была гениальная идея — сделать нечто из ничего, дать этому нечто имя и изобрести для него символ.{{#if: Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: Физматлит, 1959. — С. 77.

|

— Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: Физматлит, 1959. — С. 77.

}}

</ref>.

Ноль в математике

Цифра «ноль» в математике

Цифра «ноль» — математический знак, выражающий отсутствие значения данного разряда в записи числа в позиционной системе счисления. В настоящее время эта цифра почти всегда обозначается «0» (по индо-арабской записи цифр). Цифра ноль, поставленная справа от другой цифры, увеличивает числовое значение всех левее стоящих цифр на разряд (например, в десятичной системе счисления, умножает на десять). Сравните, например, числа 4₁₀ и 40₁₀; 4₁₆ и 40₁₆ (нижний индекс означает основание системы счисления). Понятие нуля исторически появилось как особый цифровой символ, необходимый при записи чисел в позиционной системе счисления. Этот символ указывал на отсутствие значения в соответствующем разряде, что позволяло не путать, например, записи <math>7, 70, 700.</math>

С цифрой 0 связаны особенно простые признаки делимости целых чисел.

В десятичной системе счисления:

• Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на цифру 0.
• Число делится на 100 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на две цифры 0.

Аналогичные признаки делимости имеются для чисел 1000, 10000 и т. д.

Признаки делимости, связанные с цифрой 0, в десятичной системе особенно легко комбинируются с признаками делимости на 2 и на 5, например:

• Число делится на 20 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная.
• Число делится на 50 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — 0 или 5.

Аналогичные признаки делимости имеются для чисел 200, 500, 2000, 5000 и т. д.

Признаки делимости, связанные с цифрой «0», в других системах счисления аналогичны таковым в десятичной. В частности, в любой системе счисления с основанием <math>k</math> число делится на <math>k^n</math>, если оно оканчивается на <math>n</math> нулей.

Число «ноль» в математике

Принадлежность к натуральным числам

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — одни авторы причисляют ноль к натуральным числам<ref>Шаблон:Книга, Extract of pages 254—255 Шаблон:Wayback</ref>, другие этого не делают. В российских школьных программах по математике не принято причислять ноль к натуральным числам, хотя это затрудняет некоторые формулировки (например, приходится различать деление с остатком и деление нацело). В качестве компромисса в источниках иногда рассматривают «расширенный натуральный ряд», включающий нуль<ref name=POTAP9>Шаблон:Книга</ref>.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом <math>\mathbb{N}</math>. Международные стандарты ISO 31-11 (1992 год) и ISO 80000-2 (2009 год) устанавливают следующие обозначения<ref>Шаблон:Cite web</ref>:

• <math>\mathbb{N}</math> — натуральные числа, включая ноль: <math>\{0,1,2,3,4\dots\}</math>.
• <math>\mathbb{N^*}</math> — натуральные числа без нуля: <math>\{1,2,3,4\dots\}</math>.

Такие же, как в ISO, обозначения для множества натуральных чисел закреплены в российском ГОСТ 2011 года: Р 54521-2011, таблица 6.1<ref>Шаблон:Cite web</ref>. Тем не менее в русских источниках этот стандарт пока не соблюдается — в них символ <math>\mathbb{N}</math> обозначает натуральные числа без нуля, а расширенный натуральный ряд обозначается, например, <math>\mathbb{N}_0, \Z_0</math> Шаблон:Итд<ref name=POTAP9/>

Основные свойства нуля

• 0 — целое число.
• На числовой прямой 0 разделяет положительные и отрицательные числа.

Отрицательные числа (красным) на числовой оси

Отрицательные числа (красным) на числовой оси

• Ноль является чётным числом, поскольку при делении его на 2 получается целое число: <math>0/2 = 0</math>.
• Ноль не имеет знака. Могут использоваться условные обозначения отрицательной и положительной бесконечно малой величины: <math>-0</math>, <math>+0</math>, однако это не числа в обычном смысле.
• Любое число при сложении с нулём не меняется: <math>a + 0 = 0 + a = a.</math> При вычитании нуля из любого числа получается то же число<ref name=":0">Шаблон:Книга</ref>: <math>a - 0 = a</math>.
• Умножение любого числа на ноль даёт ноль<ref name=":0" />:

<math>a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0.</math>

• При делении нуля на любое ненулевое число получается ноль:

<math>0/a = 0</math> при <math>a \neq 0.</math>

Деление на ноль

• Деление на ноль невозможно ни в каком поле или кольце, включая поля действительных и комплексных чисел.

В самом деле, если обозначить <math>\frac{a}{0} = b</math>, то по определению деления формально должно быть <math>b \cdot 0 = a</math>, в то время как выражение <math>b \cdot 0</math>, при любом <math>b</math>, равно нулю. Другими словами, для нуля не существует обратного элемента ни в каком поле.

• Деление на ноль ненулевого комплексного числа возможно на расширенной комплексной плоскости, его результат — бесконечно удалённая точка.

Значения отдельных функций

• Факториал нуля по соглашению<ref>Шаблон:Книга</ref> принят равным единице: <math>0! = 1</math>. При таком соглашении тождество <math>n!=(n-1)! \cdot n</math> будет верно и при <math>n=1.</math>
• Результат возведения нуля в любую положительную степень равен нулю: <math>0^a = 0</math> при <math>a > 0</math>. Возведение нуля в любую отрицательную степень не имеет смысла.
• Результат возведения любого числа (кроме нуля) в нулевую степень равен единице: <math>a^0 = 1</math>.
  • Одни авторы считают выражение <math>0^0</math> (ноль в нулевой степени) неопределённым (лишённым смысла)<ref>Что такое степень числа Шаблон:Wayback // Школьная математика, интернет-ресурс.</ref><ref>Почему число в степени 0 равно 1? Шаблон:Wayback // Науколандия, интернет-ресурс.</ref><ref>Степенная функция Шаблон:Wayback // Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1969—1978.</ref>, другие принимают <math>0^0=1</math>.

Связано это с тем, что функция двух переменных <math>x^y</math> в точке <math>\{0,0\}</math> имеет неустранимый разрыв. В самом деле, вдоль положительного направления оси <math>X,</math> где <math>y=0,</math> она равна единице, а вдоль положительного направления оси <math>Y,</math> где <math>x=0,</math> она равна нулю.

В то же время, функция одной переменной <math>x^0</math> имеет в точке <math>x=0</math> устранимый разрыв (она равна единице во всех остальных точках) и может быть доопределена по непрерывности.

См. подробнее статью Ноль в нулевой степени.

Ноль в геометрии

• Точку можно рассматривать как нульмерный объект.
• Точка плоскости с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной оси (с нулевой абсциссой — на оси ординат; с нулевой ординатой — на оси абсцисс). Обе нулевые координаты задают точку, именуемую началом координат.
• Точка трёхмерного пространства с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной плоскости, с двумя — на координатной оси. Точка трёхмерного пространства тоже называется началом координат, если все её координаты нулевые.
• Аналогичные утверждения верны для пространства любой размерности.
• На окружности расположения 0° и 360° совпадают.

Ноль в математическом анализе

• При вычислении предела отношения <math>(a/b)</math>, где <math>a \rightarrow 0</math> и <math>b \rightarrow 0</math>, возникает такая ситуация, что непосредственная подстановка даёт выражение <math>(0/0)</math>, значение которого не определено. В процессе раскрытия неопределённостей возможны семь таких ситуаций, и в четырёх из них формально присутствует ноль: <math>\left ( \frac{0}{0} \right )</math>, <math>(0^0)</math>, <math>(\infty^0)</math>, <math>(0\cdot\infty)</math>.
• Также возможна вполне определённая ситуация, когда рассматривается односторонний (правый или левый) предел бесконечно малой величины:

• Правый предел: <math>\lim_{x \to +0} \frac{1}{x}=\left( \frac{1}{0} \right)=+\infty,</math> _ или _ <math>\left ( \frac{1}{x} \right ) \xrightarrow[x \xrightarrow{} +0]{}~{+\infty}</math>.
• Левый предел: <math>\lim_{x \to -0} \frac{1}{x}=\left( \frac{1}{0} \right)=-\infty,</math> _ или _ <math>\left ( \frac{1}{x} \right ) \xrightarrow[x \xrightarrow{} -0]{}~{-\infty}</math>.

Обобщения (ноль в общей алгебре)

Аналог нуля может существовать в любом множестве, на котором определена операция сложения; в общей алгебре такой элемент иногда называется нейтральным элементом, иногда — аддитивным нулём, чаще всего — нулём относительно сложения. Примеры такого элемента — нулевой вектор и нулевая матрица. (Если же на множестве определена операция умножения, в качестве аналога нуля можно рассматривать мультипликативную единицу, или единицу относительно умножения — при наличии таковой.)

Алгебраические структуры, снабженные и сложением, и умножением, также могут содержать аналог нуля. Нулевой элемент содержит любое кольцо и его частные случаи — тело и поле. Например, квадратная нулевая матрица размера <math>n\times n</math> является нулевым элементом кольца квадратных матриц <math>M_n(R)</math>. Кольцо многочленов также имеет нулевой элемент — многочлен с нулевыми коэффициентами, или нулевой многочлен, <math>p(x)\equiv 0</math>.

Ноль в информатике и вычислительной технике

Цифра «ноль» в информатике и вычислительной технике

Подавляющее большинство компьютеров опираются на двоичную систему, то есть их память содержит только нули и единицы. Нечисловые данные используют стандартную кодировку — например, логические понятия ИСТИНА и ЛОЖЬ обычно кодируются как 1 и 0 соответственно, а для текстовых данных разных языков разработана универсальная кодировка Юникод.

Файл:SlashedZeros.svg

Пометки нулей, чтобы не путать их с буквой О

При работе с компьютером из-за опасности спутать цифру Шаблон:Big с латинской или русской буквой Шаблон:Big, что может вызвать серьёзные последствия, одно время действовала рекомендация<ref>Шаблон:Книга — С. 13—14, 19.</ref> Шаблон:Iw: <math>\emptyset</math>. Иногда поступали наоборот: при программировании на ЭВМ «Минск-32» перечёркивали букву Шаблон:Big, а не нуль<ref>Шаблон:Книга</ref>. Знакогенераторы многих текстовых терминалов, видеоадаптеров и матричных принтеров при работе в текстовом режиме также выводят нуль в перечёркнутом виде (некоторые принтеры имели встроенные переключатели для включения и отключения режима перечёркивания нуля)<ref>Шаблон:Книга — С. 17, 113—114.</ref><ref>Шаблон:Книга — С. 13, 80—81.</ref>. На дисплеях IBM 3270 цифра 0 изображалась с точкой в центре. Визуальное различие цифры Шаблон:Big от буквы Шаблон:Big остаётся важным требованием к моноширинным шрифтам. В пропорциональных шрифтах буква Шаблон:Big заметно шире нуля, так что перечёркивание обычно не требуется.

Перечёркнутый ноль не имеет отдельного символа Юникода; он может быть получен как символ U + 0030, сразу за которым идёт U + FE00, однако результат зависит как от текущего шрифта, так и от браузера. Иногда взамен используются сходные по виду значки скандинавской буквы (Ø), пустого множества (∅) или диаметра (⌀). Некоторые шрифты OpenType включают специальную опцию перечёркивания нуля, для чего в CSS имеется специальная опция font-feature-settings: zero.

Число «ноль» в информатике и вычислительной технике

В компьютерах существует понятие «машинного нуля» — это число с плавающей запятой и таким отрицательным порядком, которое воспринимается компьютером как ноль.

Ещё одна особенность представления данных в информатике: во многих языках программирования элементы массива данных нумеруются не с привычной единицы, а с нуля, так что описание real M(n) означает массив <math>M_0, M_1\dots M_{n-1}.</math> Платформа Microsoft .NET Framework закрепила этот стандарт и даже перевела на него Visual Basic, который изначально использовал нумерацию с единицы.

В SQL-базах данных поле может иметь специальное значение NULL, которое означает не ноль, а неопределённое значение. Любое выражение, в котором участвует NULL, дает в результате NULL.

В математике <math>-0 = +0 = 0</math>; то есть <math>-0, +0</math> представляют одно и то же число, не существуют отдельные положительный и отрицательный нули. Однако в некоторых компьютерных форматах (например, в стандарте IEEE 754 или в прямом и обратном коде) для нуля имеются два различных представления: положительное (с положительным знаком) и отрицательное; см. подробнее −0 (программирование). На результаты вычислений, впрочем, эти различия не влияют.

Десятичное представление	Двоичное представление (8 бит)
	прямой	обратный	дополнительный
+0	0000 0000	0000 0000	0000 0000
-0	1000 0000	1111 1111

История использования нуля

История цифры 0

Цифра 0 появилась одновременно с появлением позиционной (поместной) нумерации — десятичной в Индии и шестидесятиричной в Вавилоне.

Древний Восток

Вавилонские математики использовали для индикации шестидесятеричного нуля вначале пропуск, а затем — особый клинописный значок «двойной клин»; предполагается, что последний значок вавилоняне использовали начиная примерно с 300 г. до н. э., а их учителя-шумеры, вероятно, сделали это ещё раньше. Однако символ «двойной клин» вавилонских мудрецов никогда не имел самостоятельного значения и воспринимался не как цифра, а как отсутствие цифры; более того, он никогда не ставился в конце записи числа, так что, скажем, числа 2 и 120 (2×60) приходилось различать по контексту<ref>Шаблон:Книга</ref><ref>Шаблон:Citation</ref>.

Цифра 0 отсутствовала в римской, греческой и китайской системах обозначения чисел. Без этой цифры обходились, назначая некоторым символам значения крупных чисел. Например, число 100 в греческой системе счисления обозначалось буквой Ρ, в римской — буквой C, в китайской — иероглифом 百.

Майя и инки

Файл:MAYA-g-num-0-inc-v1.svg

Пустая раковина — один из знаков нуля в системе счисления майя

Империя Майя существовала на полуострове Юкатан в период примерно с 300 года Шаблон:Донэ по 900 год н. э. Майя использовали ноль в своей двадцатеричной системе счисления почти на тысячелетие раньше индийцев, однако только жрецами и только для календарных нужд (в повседневной жизни майя использовали иероглифическую пятеричную систему)<ref>Шаблон:Книга</ref>. Первая сохранившаяся стела с датой календаря майя датируется 7.16.3.2.13, 6 Бен 16 Шуль, то есть 8 декабря 36 года Шаблон:Донэ

Любопытно, что тем же знаком математики майя обозначали и бесконечность, так как он означал не ноль в европейском понимании слова, а «начало», «причину»<ref>Шаблон:Cite web</ref>. Счёт дней месяца в календаре майя начинался с нулевого дня, который назывался Ахау.

В империи инков Тауантинсуйу для записи числовой информации использовалась узелковая система кипу, основанная на позиционной десятеричной системе счисления. Цифры от 1 до 9 обозначались узелками определённого вида, ноль — пропуском узелка в нужной позиции. В современном кечуа ноль обозначается словом Шаблон:Lang-qu (букв. «отсутствующий», «пустой»), но какое слово использовалось инками для обозначения нуля при чтении кипу, пока неясно, поскольку, например, в одних из первых кечуа-испанских (Диего Гонсалес Ольгин, 1608) словарях и первом аймара-испанском (Лудовико Бертонио, 1612) не было соответствия для испанского «cero» — «ноль».

Индия

В Индии цифра «ноль» именовалась санскритским словом {{#if:skr|{{#if:|{{{зачин}}} }}{{#if:||{{#switch:skr |ab=абхазск. |abq=абазинск. |af=африкаанс |akk=аккадск. |akz=алабама |ale=алеутск. |als=тоскск. |am=амхарск. |an=арагонск. |ang=др.-англ. |ani=андийск. |ar=арабск. |arc=арамейск. |av=аварск. |ae|ave=авест. |awd=аравакск. |az=азерб. |eu=баскск. |ba=башк. |bar=бав. |be=белор. |ber=берберск. |bg=болг. |bn=бенг. |bo=тибетск. |br=брет. |bs=босн. |bua=бурятск. |ca=каталанск. |ce=чеченск. |cel=галльск. |cel-pro=пракельт. |ch=чам. |chm=мар. |cho=чокт. |chu-ru=русск.-церк.-слав. |chu-sr=сербск.-церк.-слав. |chu-bg=болг.-церк.-слав. |cjs=шорск. |ckt=чук. |co=корс. |crh=кр.-тат. |cs=чешск. |csb=кашубск. |cu=ст.-слав. |cv=чувашск. |cy=валл. |da=датск. |dar=дарг. |ddo=цезск. |de=нем. |dsb=н.-луж. |dty=дотели |dum=ср.-нидерл. |egy=егип. |el=греч. |en=англ. |enm=ср.-англ. |eo=эспер. |es=исп. |et=эст. |ett=этрусск. |fa=перс. |fi=финск. |fo=фарерск. |fr=франц. |frk=др.-франкск. |frm=ср.-франц. |fro=ст.-франц. |frr=сев.-фризск. |fry=зап.-фризск. |fur=фриульск. |fy=фризск. |ga=ирл. |gag=гагаузск. |gd=гэльск. |gdo=годобер. |gem=прагерм. |gez=древнеэфиопск. |gin=гинухск. |gkm=ср.-греч. |gl=галис. |gmh=ср.-в.-нем. |gml=ср.-н.-нем. |gmy=микен. |gn=гуарани |goh=др.-в.-нем. |got=готск. |grc=др.-греч. |grc-pro|grk-pro=протогреч. |gsw=алеманнск. |gu=гуджарати |ha=хауса |haw=гавайск. |hbo=др.-евр. |hbs=сербохорв. |he=ивр. |hi=хинд. |hit=хетт. |hr=хорв. |hsb=в.-луж. |ht=гаит. |hu=венг. |hy=армянск. |id=индон. |inh=ингушск. |is=исл. |it=итал. |itl=ительм. |iu=инукт. |ja=яп. |jv=яванск. |ka=груз. |kaa=каракалп. |kas=кашм. |kg=конго |kik=кикуйю |kjh=хакас. |kk=казахск. |kky=кууку-йимитирск. |kl=гренландск. |kn=канн. |ko=корейск. |kom=коми-зыр. |koi=коми-перм. |krc=карач.-балк. |krl=карельск. |kum=кумыкск. |ky=кирг. |la=лат. |lad=сефардск. |lb=люксемб. |lez=лезг. |liv=лив. |lmo=ломбардск. |lng=лангобардск. |lo=лаосск. |lt=лит. |ltg=латг. |lv=латышск. |mad=мадурск. |mdf=мокш. |mg=малаг. |mga=ср.-ирл. |mi=маори |mic=микмакск. |mk=макед. |mn=монг. |mnc=маньчжурск. |mns=мансийск. |mnw=монск. |ms=малайск. |mt=мальтийск. |myv=эрзянск. |myz=мандейск. |na=науру |nah=науатль |niv=нивх. |nds=нж.-нем. |ne=непали |nl=нидерл. |no=норв. |non=др.-сканд. |nuk=нутка |oc=прованс. |ojp=ст.-яп. |orv=др.-русск. |os=осет. |osp=ст.-исп. |osx=др.-сакс. |ota=османск. |otk=др.-тюрк. |pa=пендж. |pap=папьям. |pcd=пикардск. |pdc=пенсильв.-нем. |peo=др.-перс. |phn=финик. |pi=пали |pie=праиндоевр. |pl=польск. |pox=полабск. |ppol=праполинез. |pro=ст.-оксит. |prg=др.-прусск. |pt=порт. |pt-BR=браз.-порт. |qu=кечуа |rm=ретором. |ro=рум. |roa-nor=нормандск. |rom=цыганск. |ru=русск. |rw=киньяруанда |sa=санскр. |sah=якутск. |sc=сард. |scn=сицил. |sco=скотс. |se=северносаамск. |see=сенека |sga=др.-ирл. |sh=сербохорв. |shh=шошонск. |sjd=кильдин-саамск. |sjt=терско-саамск. |sk=словацк. |sl=словенск. |sla-pro=праслав. |smi-pro=прасаамск. |smn=инари-саамск. |sms=коллта-саамск. |sqi|sq=алб. |sr=сербск. |sux=шумерск. |sv=шведск. |sw=суах. |syc=сирийск. |syd=самодийск. |ta=там. |tab=табасаранск. |tg=тадж. |th=тайск. |tin=тинд. |tk=туркм. |tl=тагальск. |tn=тсвана |tnq=таино |tpn=тупи |tr=тур. |trk=тюрк. |tt=тат. |ttt=татск. |txb=тохар. B |ty=таитянск. |tyv=тувинск. |udm=удм. |ug=уйгурск. |uga=угаритск. |uk=укр. |ur=урду |urj-pro=прауральск. |uz=узб. |vec=венет. |vi=вьетн. |vot=водск. |vsn=др.-инд. |xas=камас. |xal=калм. |xcl=грабар |xh=коса |xil=иллир. |xld=лидийск. |xmf=мегр. |xno=англ.-норм. |xpr=парфянск. |xpu=пуническ. |xto=тохар. A |yi=идиш |yrk=ненецк. |zh=кит. |zu=зулусск. |skr.}}}}}}{{#if:śūnyaḥ|{{#if:skr|{{#if:|| }}}}Шаблон:Aslinks{{#if:|}}}}{{#if:| }}{{#if:| «{{{3}}}{{#if:|, {{{4}}}}}{{#if:|, {{{5}}}}}»}}{{#if:| ({{{comment}}})}}{{#if:|}}{{#if:|Шаблон:Категория}}{{#if:|Шаблон:Категория}}{{#if:|Шаблон:Категория}} («пустота»; «отсутствие») и широко использовалась в поэзии и священных текстах. Без нуля была бы невозможна изобретённая в Индии десятичная позиционная запись чисел. Первый символ для нуля обнаружен в индийском «манускрипте Бакхшали» от 876 г. н. э., он имеет вид жирной точки или закрашенного кружка, названного впоследствии {{#if:skr|{{#if:|{{{зачин}}} }}{{#if:||{{#switch:skr |ab=абхазск. |abq=абазинск. |af=африкаанс |akk=аккадск. |akz=алабама |ale=алеутск. |als=тоскск. |am=амхарск. |an=арагонск. |ang=др.-англ. |ani=андийск. |ar=арабск. |arc=арамейск. |av=аварск. |ae|ave=авест. |awd=аравакск. |az=азерб. |eu=баскск. |ba=башк. |bar=бав. |be=белор. |ber=берберск. |bg=болг. |bn=бенг. |bo=тибетск. |br=брет. |bs=босн. |bua=бурятск. |ca=каталанск. |ce=чеченск. |cel=галльск. |cel-pro=пракельт. |ch=чам. |chm=мар. |cho=чокт. |chu-ru=русск.-церк.-слав. |chu-sr=сербск.-церк.-слав. |chu-bg=болг.-церк.-слав. |cjs=шорск. |ckt=чук. |co=корс. |crh=кр.-тат. |cs=чешск. |csb=кашубск. |cu=ст.-слав. |cv=чувашск. |cy=валл. |da=датск. |dar=дарг. |ddo=цезск. |de=нем. |dsb=н.-луж. |dty=дотели |dum=ср.-нидерл. |egy=егип. |el=греч. |en=англ. |enm=ср.-англ. |eo=эспер. |es=исп. |et=эст. |ett=этрусск. |fa=перс. |fi=финск. |fo=фарерск. |fr=франц. |frk=др.-франкск. |frm=ср.-франц. |fro=ст.-франц. |frr=сев.-фризск. |fry=зап.-фризск. |fur=фриульск. |fy=фризск. |ga=ирл. |gag=гагаузск. |gd=гэльск. |gdo=годобер. |gem=прагерм. |gez=древнеэфиопск. |gin=гинухск. |gkm=ср.-греч. |gl=галис. |gmh=ср.-в.-нем. |gml=ср.-н.-нем. |gmy=микен. |gn=гуарани |goh=др.-в.-нем. |got=готск. |grc=др.-греч. |grc-pro|grk-pro=протогреч. |gsw=алеманнск. |gu=гуджарати |ha=хауса |haw=гавайск. |hbo=др.-евр. |hbs=сербохорв. |he=ивр. |hi=хинд. |hit=хетт. |hr=хорв. |hsb=в.-луж. |ht=гаит. |hu=венг. |hy=армянск. |id=индон. |inh=ингушск. |is=исл. |it=итал. |itl=ительм. |iu=инукт. |ja=яп. |jv=яванск. |ka=груз. |kaa=каракалп. |kas=кашм. |kg=конго |kik=кикуйю |kjh=хакас. |kk=казахск. |kky=кууку-йимитирск. |kl=гренландск. |kn=канн. |ko=корейск. |kom=коми-зыр. |koi=коми-перм. |krc=карач.-балк. |krl=карельск. |kum=кумыкск. |ky=кирг. |la=лат. |lad=сефардск. |lb=люксемб. |lez=лезг. |liv=лив. |lmo=ломбардск. |lng=лангобардск. |lo=лаосск. |lt=лит. |ltg=латг. |lv=латышск. |mad=мадурск. |mdf=мокш. |mg=малаг. |mga=ср.-ирл. |mi=маори |mic=микмакск. |mk=макед. |mn=монг. |mnc=маньчжурск. |mns=мансийск. |mnw=монск. |ms=малайск. |mt=мальтийск. |myv=эрзянск. |myz=мандейск. |na=науру |nah=науатль |niv=нивх. |nds=нж.-нем. |ne=непали |nl=нидерл. |no=норв. |non=др.-сканд. |nuk=нутка |oc=прованс. |ojp=ст.-яп. |orv=др.-русск. |os=осет. |osp=ст.-исп. |osx=др.-сакс. |ota=османск. |otk=др.-тюрк. |pa=пендж. |pap=папьям. |pcd=пикардск. |pdc=пенсильв.-нем. |peo=др.-перс. |phn=финик. |pi=пали |pie=праиндоевр. |pl=польск. |pox=полабск. |ppol=праполинез. |pro=ст.-оксит. |prg=др.-прусск. |pt=порт. |pt-BR=браз.-порт. |qu=кечуа |rm=ретором. |ro=рум. |roa-nor=нормандск. |rom=цыганск. |ru=русск. |rw=киньяруанда |sa=санскр. |sah=якутск. |sc=сард. |scn=сицил. |sco=скотс. |se=северносаамск. |see=сенека |sga=др.-ирл. |sh=сербохорв. |shh=шошонск. |sjd=кильдин-саамск. |sjt=терско-саамск. |sk=словацк. |sl=словенск. |sla-pro=праслав. |smi-pro=прасаамск. |smn=инари-саамск. |sms=коллта-саамск. |sqi|sq=алб. |sr=сербск. |sux=шумерск. |sv=шведск. |sw=суах. |syc=сирийск. |syd=самодийск. |ta=там. |tab=табасаранск. |tg=тадж. |th=тайск. |tin=тинд. |tk=туркм. |tl=тагальск. |tn=тсвана |tnq=таино |tpn=тупи |tr=тур. |trk=тюрк. |tt=тат. |ttt=татск. |txb=тохар. B |ty=таитянск. |tyv=тувинск. |udm=удм. |ug=уйгурск. |uga=угаритск. |uk=укр. |ur=урду |urj-pro=прауральск. |uz=узб. |vec=венет. |vi=вьетн. |vot=водск. |vsn=др.-инд. |xas=камас. |xal=калм. |xcl=грабар |xh=коса |xil=иллир. |xld=лидийск. |xmf=мегр. |xno=англ.-норм. |xpr=парфянск. |xpu=пуническ. |xto=тохар. A |yi=идиш |yrk=ненецк. |zh=кит. |zu=зулусск. |skr.}}}}}}{{#if:śūnya-binduḥ|{{#if:skr|{{#if:|| }}}}Шаблон:Aslinks{{#if:|}}}}{{#if:| }}{{#if:| «{{{3}}}{{#if:|, {{{4}}}}}{{#if:|, {{{5}}}}}»}}{{#if:| ({{{comment}}})}}{{#if:|}}{{#if:|Шаблон:Категория}}{{#if:|Шаблон:Категория}}{{#if:|Шаблон:Категория}} «точка пустоты»<ref>Шаблон:Cite web</ref><ref>Шаблон:Cite web</ref>.

От индийцев через арабов, называвших цифру 0 ṣifr (отсюда слова цифра, шифр, и итал. Шаблон:Lang-it2, ноль), она попала в Западную Европу<ref>Шаблон:Книга</ref>.

Европа

В Вене хранится рукописная арифметика XV века, приобретённая в Константинополе (Стамбуле), в которой употребляются греческие числовые знаки вместе с обозначением нуля точкой<ref>«Zentralblatt für Mathematik», апрель, 1957, сообщение чешского историка математики Г. Феттера.</ref>. В латинских переводах арабских трактатов XII века знак нуля (0) называется кружком — circulus. В оказавшем очень большое влияние на преподавание арифметики в западных странах руководстве Сакробоско, написанном в 1250 году и перепечатывавшемся в очень многих странах, ноль называется «thêta vel theca vel circulus vel cifra vel figura nihili» — тэта, или тека, или кружок, или цифра, или знак ничего. Термин nulla figura — никакой знак — появляется в рукописных латинских переводах и обработках арабских трудов c XII века. Термин nulla имеется в рукописи Никола Шюке 1484 года и в первой печатной так называемой (по месту издания) Тревизской арифметике (1478)Шаблон:Sfn.

С начала XVI века слово «ноль» входит в повсеместное употребление в Германии и в других странах, сначала как слово чужое и в латинской грамматической форме, но постепенно оно принимает форму, свойственную данному национальному языку.

Россия

Леонтий Магницкий в своей «Арифметике» называет знак 0 «цифрой или ничем» (первая страница текста); на второй странице в таблице, в которой каждой цифре даётся название, 0 называется «низачто». В конце XVIII века во втором русском издании «Сокращения первых оснований математики» X. Вольфа (1791) нуль ещё называется цифрой. В математических рукописях XVII века, употребляющих индийские цифры, 0 называется «оном» вследствие сходства с буквой оШаблон:Sfn.

История числа «ноль»

Хотя в египетской системе счисления цифра 0 отсутствует, египетские математики уже со Среднего царства (начало II тысячелетия до н. э.) использовали вместо неё иероглиф нфр («прекрасный»), также означавший начало отсчёта в схемах храмов, пирамид и гробниц<ref>Шаблон:Книга</ref>.

В китайских записях чисел цифра «нуль» также отсутствует, для обозначения числа «нуль» пользуются знаком 〇 — одним из «иероглифов императрицы У Цзэтянь».

В Древней Греции число 0 известно не было. В астрономических таблицах Клавдия Птолемея пустые клетки обозначались символом ο (буква омикрон, от Шаблон:Lang-grc — ничего); не исключено, что это обозначение повлияло на появление цифры «нуль», однако большинство историков признаёт, что десятичный нуль изобрели индийские математики.

В Европе долгое время 0 считался условным символом и не признавался числом; даже в XVII веке Валлис писал: «Нуль не есть число». В арифметических трудах отрицательное число истолковывалось как долг, а ноль — как ситуация полного разорения. Полному уравниванию его в правах с другими числами особенно способствовали труды Леонарда Эйлера.

См. также

• Отрицательный и положительный ноль
• Ничто

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

Шаблон:Родственный проект{{#if:||}}{{#if: 0 || {{#ifeq: Ноль | ноль | | }} }} Шаблон:Родственный проект{{#if:||}}{{#if: ноль || {{#ifeq: Ноль | ноль | | }} }} Шаблон:Родственный проект{{#if:||}}{{#if: нуль || {{#ifeq: Ноль | ноль | | }} }}

• История нуля
• Почему нельзя делить на ноль?
• Символика чисел (нуль) /С. Курий/ «Время Z» № 2/2007
• О сопоставлении понятий «нуль» и «ничто» Смирнов О. А. — Научная сессия МИФИ-2003.
• Свойства числа ноль
• Шаблон:Cite web