Факториал
Факториа́л — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел. Название происходит от Шаблон:Lang-lat — действующий, производящий, умножающий; обозначается <math>n!</math>, произносится эн факториа́л. Обозначается восклицательным знаком.
Факториал натурального числа <math>n</math> определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до <math>n</math> включительноШаблон:Sfn:
- <math>n! = 1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n =\prod_{k=1}^n k</math>.
Например,
- <math>5 ! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120</math>.
Для <math>n=0</math> принимается в качестве соглашения<ref name=ME/>Шаблон:Sfn, что:
- <math>0! = 1</math>.
| n | n! |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | Шаблон:Gaps |
| 8 | Шаблон:Gaps |
| 9 | Шаблон:Gaps |
| 10 | Шаблон:Gaps |
| 11 | Шаблон:Gaps |
| 12 | Шаблон:Gaps |
| 13 | Шаблон:Gaps |
| 14 | Шаблон:Gaps |
| 15 | Шаблон:Gaps |
| 16 | Шаблон:Gaps |
| 17 | Шаблон:Gaps |
| 18 | Шаблон:Gaps |
| 19 | Шаблон:Gaps |
| 20 | Шаблон:Gaps |
| 21 | 51 090 942 171 709 440 000 |
| 22 | Шаблон:Val |
Факториал активно используется в различных разделах математики: комбинаторике, математическом анализе, теории чисел, функциональном анализе и др.
Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем любая показательная функция или любая степенная функция, а также быстрее, чем любая сумма произведений этих функций. Однако степенно-показательная функция <math>n^n</math> растёт быстрее факториала, так же как и большинство двойных степенных, например <math>e^{e^n}</math>.
Свойства
Рекуррентная формула
Факториал может быть задан следующей рекуррентной формулойШаблон:Sfn:
- <math>n!= \begin{cases}
1 & n = 0,\\ n \cdot (n-1)! & n > 0. \end{cases}</math>
Комбинаторная интерпретация
В комбинаторике факториал натурального числа Шаблон:Math интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из Шаблон:Math элементов.
Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:
ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA
Комбинаторная интерпретация факториала подтверждает целесообразность соглашения <math>0!=1</math> — количество перестановок пустого множества равно единице. Кроме того, формула для числа размещений из <math>n</math> элементов по <math>m</math>
- <math>A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}</math>
при <math>n=m</math> обращается в формулу для числа перестановок из <math>n</math> элементов (порядка <math>n</math>), которое равно <math>n!</math>.
Также из формулы включений-исключений следует данная формула для факториала:<ref>Шаблон:Cite web</ref>
<math>\sum_{n=0}^{N}\left(-1\right)^{N-n}n^{N}C_N^n = N!</math>
Связь с гамма-функцией
Ошибка скрипта: Модуля «Основная статья» не существует.
Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением
- <math>n! = \Gamma(n+1)</math>.
Это же выражение используют для обобщения понятия факториала на множество вещественных чисел. Используя аналитическое продолжение гамма-функции, область определения факториала также расширяют на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при <math>n=-1, -2, -3\ldots</math>.
Непосредственным обобщением факториала на множества вещественных и комплексных чисел служит пи-функция <math>\Pi(z) = \Gamma(z+1)</math>, которая при <math>\mathrm{Re}(z)>-1</math> может быть определена как
- <math>\Pi(z)=\int_0^\infty t^{z} e^{-t}\, \mathrm{d}t</math> (интегральное определение).
Пи-функция натурального числа или нуля совпадает с его факториалом: <math>\Pi(n) = n!</math>. Как и факториал, пи-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению <math>\Pi(z) = z\Pi(z-1)</math>.
Формула Стирлинга
Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:
- <math>n! = \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 + \frac{1}{12 n} + \frac{1}{288 n^2} - \frac{139}{51840 n^3} - \frac{571}{2488320 n^4} + \frac{163879}{209018880 n^5} + \frac{5246819}{75246796800 n^6} + O\left(n^{-7}\right)\right),</math>
см. O-большое<ref>Коэффициенты этого разложения дают последовательности Шаблон:OEIS short (числители) и Шаблон:OEIS short (знаменатели)</ref>.
Во многих случаях для приближённого вычисления факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:
- <math>n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.</math>
При этом можно утверждать, что
- <math>\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n e^{1/(12n+1)}< n! < \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n e^{1/(12n)}.</math>
Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Например, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что:
- 100! ≈ 9,33×10157
- 1000! ≈ 4,02×102567
- 10 000! ≈ 2,85×1035 659
Разложение на простые множители
Каждое простое число Шаблон:Math входит в разложение Шаблон:Math на простые множители в степени определяемой следующей формулой:
- <math>\left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^3}\right\rfloor + \ldots.</math>
Таким образом,
- <math>n! = \prod_{p} p^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor + \lfloor \frac{n}{p^2}\rfloor +\ldots},</math>
где произведение берётся по всем простым числам. Можно заметить, что для всякого простого Шаблон:Math большего Шаблон:Math соответствующий множитель в произведении равен 1; следовательно, произведение можно брать лишь по простым Шаблон:Math, не превосходящим Шаблон:Math.
Связь с производной от степенной функции
Для целого неотрицательного числа Шаблон:Math:
- <math>\left( x^n \right)^{(n)}=n!</math>
Например:
- <math>\left( x^5 \right)^{(5)}
= \left( 5 \cdot x^4 \right)^{(4)} = \left( 5 \cdot 4 \cdot x^3 \right) = \left( 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot x^2 \right) = \left( 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot x \right)' = {5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 5!</math>
Другие свойства
- Для натурального числа <math>n</math>:
- <math>n!^2 \geqslant n^n \geqslant n! \geqslant n</math>
- Для любого <math>n>1</math>:
- <math>n!</math> не является квадратом целого числа;
- Для любого <math>n>4</math>:
- <math>n!</math> оканчивается на 0;
- Для любого <math>n>9</math>:
- <math>n!</math> оканчивается на 00.
- Если <math>n</math> простое число:
- <math>(n-1)!+1</math> делится на <math>n</math> (теорема Вильсона)
История
Факториальные выражения появились ещё в ранних исследованиях по комбинаторике, хотя компактное обозначение <math>n!</math> предложил французский математик Кристиан Крамп только в 1808 году<ref>Шаблон:Cite web</ref>. Важным этапом стало открытие формулы Стирлинга, которую Джеймс Стирлинг опубликовал в своём трактате «Дифференциальный метод» (Шаблон:Lang-lat, 1730 год). Немного ранее почти такую же формулу опубликовал друг Стирлинга Абрахам де Муавр, но в менее завершённом виде (вместо коэффициента <math>\sqrt{2\pi}</math> была неопределённая константа)<ref>Шаблон:Citation: «Стирлинг лишь показал, что арифметическая константа в формуле Муавра равна <math>\sqrt{2\pi}</math>. Я считаю, что это не делает его автором теоремы»</ref>.
Стирлинг подробно исследовал свойства факториала, вплоть до выяснения вопроса о том, нельзя ли распространить это понятие на произвольные вещественные числа. Он описал несколько возможных путей к реализации этой идеи и высказал мнение, что:
- <math>\left({1 \over 2}\right)!=\frac{\sqrt{\pi}}{2}</math>
Стирлинг не знал, что годом ранее решение проблемы уже нашёл Леонард Эйлер. В письме к Кристиану Гольдбаху Эйлер описал требуемое обобщение<ref>Шаблон:Книга</ref>:
- <math>x! = \lim_{m\to\infty} \frac{m^x m!} {(x+1)(x+2)\dots (x+m)}</math>
Развивая эту идею, Эйлер в следующем, 1730 году, ввёл понятие гамма-функции в виде классического интеграла. Эти результаты он опубликовал в журнале Петербургской академии наук в 1729—1730 годах.
Обобщения
Двойной факториал
Шаблон:Перенаправление Двойной факториал числа Шаблон:Math обозначается Шаблон:Math и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,Шаблон:Math], имеющих ту же чётность, что и Шаблон:Math.
- Для чётного Шаблон:Math:
- <math>n!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot n = \prod_{i=1}^{\frac{n}{2}} 2i = 2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( \frac{n}{2} \right )!</math>
- Для нечётного Шаблон:Math:
- <math>n!! = {1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot n} = \prod_{i=0}^{\frac{n-1}{2}} (2i+1) = \frac{n!}{2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right )!}</math>
Связь между двойными факториалами двух соседних целых неотрицательных чисел и обычным факториалом одного из них.
- <math>n!! = \frac{n!}{(n-1)!!}</math>
- Формула для чётного Шаблон:Math:
- <math>n!! = 2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( \frac{n}{2} \right )!</math>
\\ & = {2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot \frac{n}{2} \right )} = 2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( \frac{n}{2} \right )! \end{align}</math> |
- Пример, иллюстрирующий использованное выше выведение формулы:
- <math>\begin{align} 14!! & = 2^{\frac{14}{2}} \cdot \left ( \frac{14}{2} \right )! = 2^7 \cdot 7! =
\\ & = (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7) = \\ & = (2 \cdot 1) (2 \cdot 2) (2 \cdot 3) (2 \cdot 4) (2 \cdot 5) (2 \cdot 6) (2 \cdot 7) = \\ & = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 12 \cdot 14 = 645120 \end{align}</math>
- Формула для нечётного Шаблон:Math:
- <math>n!! = \frac{n!}{2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right )!}</math>
= \frac{{\color{Gray}\overbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)}^{\color{Black}\frac{n-1}{2}}} \cdot {\color{Gray}\overbrace{\color{Black}1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (n-2) \cdot n}^{\color{Black}\frac{n+1}{2}}}} {\color{Gray}\underbrace{{\color{OliveGreen}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)}}_{\color{Black}\frac{n-1}{2}}} = \\ & = \frac{\color{Gray}\overbrace{\color{Black}1 \cdot {\color{OliveGreen}2} \cdot 3 \cdot {\color{OliveGreen}4} \cdot 5 \cdot {\color{OliveGreen}6} \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (n-2) \cdot {\color{OliveGreen}(n-1)} \cdot n}^{\color{Black}n}} {\color{Gray}\underbrace{{\color{OliveGreen}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)}}_{\color{Black}\frac{n-1}{2}}} = \frac{n!}{\color{Gray}\underbrace{{\color{Black}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)}}_{\color{Black}\frac{n-1}{2}}} = \frac{n!}{(n-1)!!} \end{align}</math>
\\ & = {2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot \frac{n-1}{2} \right )} = 2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right )! \end{align}</math>
|
Пример, иллюстрирующий использованное выше выведение формулы:
- <math>\begin{align} 15!! & = \frac{15!}{2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{15-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{15-1}{2} \right )!}
\frac{15!}{2^{{\color{white}1}^{\!\!\! 7}} \cdot 7!}
\\ & = {\color{white}\overbrace{\color{Black}\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15}{(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7)}}} = \\ & = {\color{white}\overbrace{\color{Black}\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15}{(2 \cdot 1) (2 \cdot 2) (2 \cdot 3) (2 \cdot 4) (2 \cdot 5) (2 \cdot 6) (2 \cdot 7)}}} = \\ & = {\color{white}\overbrace{\color{Black}\frac{1 \cdot {\color{OliveGreen}2} \cdot 3 \cdot {\color{OliveGreen}4} \cdot 5 \cdot {\color{OliveGreen}6} \cdot 7 \cdot {\color{OliveGreen}8} \cdot 9 \cdot {\color{OliveGreen}10} \cdot 11 \cdot {\color{OliveGreen}12} \cdot 13 \cdot {\color{OliveGreen}14} \cdot 15}{\color{OliveGreen}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 12 \cdot 14}}} = \\ & = {\color{white}\overbrace{\color{Black}1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 15}} = 2027025 \end{align}</math> Шаблон:Конец скрытого блока
Осуществив замену <math>n=2k</math> для чётного Шаблон:Math и <math>n=2k+1</math> для нечётного Шаблон:Math соответственно, где <math>k</math> — целое неотрицательное число, получим:
- для чётного числа:
- <math>(2k)!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2k =\prod_{i=1}^{k} 2i = 2^k\cdot k!</math>
- для нечётного числа:
- <math>(2k+1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2k+1) = \prod_{i=0}^{k} (2i+1) = \frac{(2k+1)!}{2^k\cdot k!}</math>
По договорённости: <math>0!! = 1</math>. Также это равенство выполняется естественным образом:
- <math>0!! = 2^0 \cdot 0! = 1 \cdot 1 = 1</math>
Двойной факториал, так же, как и обычный факториал, определён только для целых неотрицательных чисел.
Последовательность значений Шаблон:Math начинается так<ref>Шаблон:OEIS long</ref>:
- 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10 395, 46 080, 135 135, 645 120, 2 027 025, 10 321 920, 34 459 425, 185 794 560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 754 393 600, …
Кратный факториал
Шаблон:Math-кратный факториал числа Шаблон:Math обозначается <math>\textstyle n\underbrace{!!\ldots !}_m</math> и определяется следующим образом. Пусть число Шаблон:Math представимо в виде <math>n=mk-r,</math> где <math>k \in \mathbb{Z},</math> <math>r \in \{0,1,\ldots ,m-1\}.</math> Тогда<ref name="avantaplus">«Энциклопедия для детей» Аванта+. Математика.</ref>
- <math>n\underbrace{!!\ldots !}_m = \prod_{i=1}^k (mi-r)</math>
Обычный и двойной факториалы являются частными случаями Шаблон:Math-кратного факториала для Шаблон:Math и Шаблон:Math соответственно.
Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением<ref name="prooflink">wolframalpha.com Шаблон:Wayback.</ref>:
- <math>n\underbrace{!!\ldots !}_m = \prod_{i=1}^{k} (mi-r)=m^k \cdot \frac {\Gamma \left (k-\frac {r} {m} +1 \right )} {\Gamma \left ( 1- \frac {r} {m} \right)}.</math>
Также кратный факториал <math>\textstyle n\underbrace{!!\ldots !}_m</math> возможно записывать в сокращенном виде <math>n!_{(m)}</math>.
Неполный факториал
Убывающий факториал
Убывающим факториалом называется выражение
- <math>(n)_k = n^{\underline{k}} = n^{[k]}= n\cdot (n-1)\cdot \ldots\cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} = \prod_{i=n-k+1}^n i</math>.
Например:
- Шаблон:Math = 7; Шаблон:Math = 4,
- (Шаблон:Math) + 1 = 4,
- nk = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.
Убывающий факториал даёт число размещений из Шаблон:Math по Шаблон:Math.
Возрастающий факториал
Шаблон:Main Возрастающим факториалом называется выражение
- <math>n^{(k)} = n^{\overline{k}} = n\cdot (n+1)\cdot \ldots\cdot (n+k-1) = \frac{(n+k-1)!}{(n-1)!}=\prod_{i=n}^{(n+k)-1} i.</math>
Праймориал или примориал
Шаблон:Main Праймориал или примориал (англ. Шаблон:Lang-en2) числа Шаблон:Math обозначается Шаблон:Math и определяется как произведение Шаблон:Math первых простых чисел. Например,
- <math>p_5\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 = 2310</math>.
Иногда праймориалом называют число <math>n\#</math>, определяемое как произведение всех простых чисел, не превышающих заданное Шаблон:Mvar.
Последовательность праймориалов (включая <math>{\textstyle{1\# \equiv 1}}</math>) начинается так<ref>Шаблон:OEIS long</ref>:
- Шаблон:Ч, Шаблон:Ч, Шаблон:Ч, Шаблон:Ч, Шаблон:Ч, Шаблон:Ч, 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 400, 32 589 158 477 190 046 000, 1 922 760 350 154 212 800 000, …
Фибонориал или фибоначчиал
Произведение нескольких первых чисел Фибоначчи. Записывается n!F.
Например, : 6!F = <math>1 \times 1 \times 2 \times 3 \times 5 \times 8 = 240</math>.
Суперфакториал
Шаблон:Main Нейл Слоан и Шаблон:Не переведено в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых Шаблон:Math факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен
- <math> \operatorname{sf}(4)=1! \times 2! \times 3! \times 4!=288</math>
(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).
В общем
- <math>
\operatorname{sf}(n)
=\prod_{k=1}^n k! =\prod_{k=1}^n k^{n-k+1}
=1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n^1.
</math>
Последовательность суперфакториалов чисел <math>n \geqslant 0</math> начинается так<ref>Шаблон:OEIS long</ref>:
- 1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, 125 411 328 000, 5 056 584 744 960 000, 1 834 933 472 251 084 800 000, 6 658 606 584 104 737 000 000 000 000, 265 790 267 296 391 960 000 000 000 000 000 000, 127 313 963 299 399 430 000 000 000 000 000 000 000 000 000, …
Идея была обобщена в 2000 году Шаблон:Не переведено, что привело к гиперфакториалам (англ. Шаблон:Lang-en2), которые являются произведением первых Шаблон:Math суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел <math>n \geqslant 0</math> начинается так<ref>Шаблон:OEIS long</ref>:
- 1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 745 453 331 864 786 800 000 000 000, 3 769 447 945 987 085 600 000 000 000 000 000 000 000 000, 6 916 686 207 999 801 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000, …
Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или Шаблон:Math-уровневый факториал числа Шаблон:Math, как произведение (Шаблон:Math − 1)-уровневых факториалов чисел от 1 до Шаблон:Math, то есть
- <math>\operatorname{mf}(n,m) = \operatorname{mf}(n-1,m)\operatorname{mf}(n,m-1)=\prod_{k=1}^n k^{n-k+m-1 \choose n-k}, </math>
где <math>\operatorname{mf}(n,0)=n</math> для <math>n>0</math> и <math>\operatorname{mf}(0,m)=1.</math>
Гиперфакториал
Шаблон:Main Гиперфакториал числа n обозначается <math> \operatorname{H}(n) </math> и определяется как произведение первых <math> n </math> чисел вида:
<math>\operatorname{H}(n) = 1^1 \times 2^2 \times 3^3 \times \dots \times n^n = \prod_{k=1}^n k^k </math>
Следую обычному определению для пустого произведения: <math> \operatorname{H}(0) = 1 </math>
Последовательность гиперфакториала:
1, 1, 4, 108, 27 648, 86 400 000, 4 031 078 400 000, 3 319 766 398 771 200 000, ...
Субфакториал
Субфакториал !Шаблон:Math определяется как количество беспорядков порядка Шаблон:Math, то есть перестановок Шаблон:Math-элементного множества без неподвижных точек.
<math> !n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{k!}</math>
Комбинаторная интерпретация субфакториал
В комбинаторике субфакториал натурального числа Шаблон:Math интерпретируется как количество не повторяющихся перестановок (упорядочиваний) множества из Шаблон:Math элементов.
Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:
ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA
Из них совпадают с изначальным вариантом ABCD всего 14 перестановок:
ABCD ABCD ABCD ABCD ABDC CBAD BACD BCAD ACBD CBDA BDCA CABD ACDB DBCA DACB ADBC DBAC ADCB
Где в первом столбце перестановки в которых совпадает A; во втором столбце перестановки в которых совпадает B; в третьем столбце перестановки в которых совпадает C; в четвертом столбце перестановки в которых совпадает D.
Оставшиеся 9 перестановок и является субфакториалом 4-х
BADC BCDA BDAC CADB CDAB CDBA DABC DCAB DCBA
Численное доказательство/представление субфакторила 4-х
- <math> !4 = 4! (\frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}) = 9 </math>
Последовательность субфакториала:
1, 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1851, 14 833, 133 496, 1 334 961, 14 684 570, 176 214 841, 2 290 792 932, 32 071 101 049, 481 066 515 734, 7 697 064 251 745, 130 850 092 279 664, 2 355 301 661 033 953, 44 750 731 559 645 100, 895 014 631 192 902 100, ...
См. также
Шаблон:Wiktionary Шаблон:Родственный проект{{#if:||{{#if:Примеры реализации функции факториал||}}}}
Примечания
Литература
Шаблон:Математические знаки Шаблон:Последовательности и ряды