Формула Стирлинга

Файл:Stirling's Approximation.svg

Отношение (ln n!) к (n ln n − n) стремится к 1 с увеличением n

В математике формула Стирлинга (также формула Муавра — Стирлинга) — формула для приближённого вычисления факториала и гамма-функции. Названа в честь Джеймса Стирлинга и Абрахама де Муавра, последний считается автором формулы<ref>Шаблон:Citation: «Стирлинг лишь показал, что арифметическая константа в формуле Муавра равна <math>\sqrt{2\pi}</math>. Я считаю, что это не делает его автором теоремы».</ref>.

Наиболее используемый вариант формулы:

<math>\ln \Gamma(n + 1) = \ln n! = n \ln n - n + O(\ln n).</math>

Следующий член в <math>O(\ln n)</math> это <math>\frac{1}{2}\ln(2\pi n)</math>; таким образом более точная аппроксимация:

<math>\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{\sqrt{2\pi n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^n} = 1,</math>

что эквивалентно

<math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n.</math>

Часто формулу Стирлинга записывают в виде

<math>n! = \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \exp \frac{\theta_n}{12 n},</math>

где <math>0 < \theta_n < 1</math>, <math>n > 0</math>. Более точную оценку даёт формула

<math>n! = \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \exp \frac{1}{12 n + \theta_n},</math>

где <math>0 < \theta_n < 1</math>, <math>n > 0</math>.

В последней формуле максимальное значение <math>\theta_n</math> в действительности меньше 1 и примерно равно 0,7509.

Формула Стирлинга является приближением, полученным из разложения факториала в ряд Стирлинга, который при <math>n > 0</math> имеет вид

<math>\begin{align}

n! &\sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \exp \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{2k(2k-1)n^{2k-1}} =\\
   &= \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 + \frac{1}{12n} + \frac{1}{288n^2} - \frac{139}{51840n^3} - \frac{571}{2488320n^4} + \cdots\right) = \\
   &= \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 + \frac{1}{(2^1)(6n)^1} + \frac{1}{(2^3)(6n)^2} - \frac{139}{(2^3)(2 \cdot 3 \cdot 5)(6n)^3} - {}\right. \\
   &\qquad \left.{} - \frac{571}{(2^6)(2 \cdot 3 \cdot 5)(6n)^4} + \cdots\right),

\end{align}</math> где <math>B_j</math> — числа Бернулли с номером <math>j</math>.

В этой формуле используется символ эквивалентности вместо равенства, так как ряд расходится при каждом фиксированном <math>n</math>, однако он является асимптотическим разложением факториала при <math>n\to\infty</math>.