Нейтральный элемент
Нейтральный элемент — элемент, который относительно заданной бинарной операции оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам: в магме <math>(M,*)</math> элемент <math>e \in M</math> называется нейтральным относительно <math>*</math> если <math>x * e = e * x = x</math> для любых <math>x \in M</math>.
В случаях некоммутативных операций вводят левый нейтральный элемент <math>e_{\mathrm l}</math>, для которого <math>e_{\mathrm l} * x = x</math> и правый нейтральный элемент <math>e_{\mathrm r}</math>, для которого <math> x * e_{\mathrm r} = x</math> для любых <math>x \in M</math>. В общем случае может существовать произвольное количество элементов, нейтральных слева или справа. Если одновременно существуют и левый нейтральный элемент <math>e_{\mathrm l}</math>, и правый нейтральный <math>e_{\mathrm r}</math>, то они обязаны совпадать (так как <math>e_{\mathrm r} = e_{\mathrm l} * e_{\mathrm r} = e_{\mathrm l}</math>).
Если бинарную операцию рассматривают как обобщение сложения («аддитивная нотация»), то нейтральный элемент обычно называют нулём, если умножения («мультипликативная нотация») — то единицей; обозначают их обычно соответственно <math>\mathrm 0</math> и <math>\mathrm 1</math>. Например, в полях нулём называют нейтральный элемент по сложению, а единицей — нейтральный элемент по умножению. В порядках, решётках и подобных им структурах нейтральный элемент по взятию точной верхней грани часто обозначают <math>\bot</math>, а по взятию точной нижней грани — <math>\top</math>.
Магма с делением (то есть квазигруппа), оснащённая нейтральным элементом является лупой. Магма с ассоциативной операцией (то есть полугруппа) с нейтральным элементом — моноид. В кольце по определению всегда имеется нейтральный элемент по сложению — нуль, а в кольцах с единицей имеется также нейтральный элемент по умножению — единица.
Примеры:
| Множество | Бинарная операция | Нейтральный элемент |
|---|---|---|
| Вещественные числа | <math>+</math> (сложение) | Шаблон:Num1 |
| Вещественные числа | <math>\cdot</math> (умножение) | Шаблон:Num1 |
| Вещественные числа | <math>-</math> (вычитание) | число 0 (нейтральный справа) |
| Вещественные числа | <math>a^b</math> (возведение в степень) | число 1 (нейтральный справа) |
| Расширенная числовая прямая | <math>\div</math> (деление) | число 1 (нейтральный справа) |
| Векторное пространство | <math>+</math> (сложение векторов) | <math>\vec 0</math> (нуль-вектор) |
| Матрицы размера <math>m \times n</math> | <math>+</math> (матричное сложение) | нулевая матрица |
| Матрицы размера <math>n \times n</math> | <math>\times</math> (матричное произведение) | единичная матрица |
| Функции вида <math>f:M\to M</math> | <math>\circ</math> (композиция функций) | тождественное отображение |
| Символьные строки | конкатенация | пустая строка |
| Расширенная числовая прямая | <math>\min</math> (минимум) или <math>\inf</math> (инфимум) | <math>+\infty</math> |
| Расширенная числовая прямая | <math>\max</math> (максимум) или <math>\sup</math> (супремум) | <math>-\infty</math> |
| Подмножества множества <math>M</math> | <math>\cap</math> (пересечение множеств) | <math>M</math> |
| Множества | <math>\cup</math> (объединение множеств) | <math>\varnothing</math> (пустое множество) |
| Исчисление высказываний | <math>\wedge</math> (конъюнкция) | <math>\top</math> (истина) |
| Исчисление высказываний | <math>\lor</math> (дизъюнкция) | <math>\bot</math> (ложь) |