Пересечение множеств

Файл:Venn A intersect B.svg

Пересечение <math>A</math> и <math>B</math>

Пересече́ние мно́жеств в теории множеств — это множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам. Пересечение двух множеств <math>A</math> и <math>B</math> обычно обозначается <math>A\cap B</math>, но в редких случаях может обозначаться <math>AB</math><ref>Шаблон:Книга</ref>.

Определение

Пересечение двух множеств

Пусть даны множества <math>A</math> и <math>B</math>. Тогда их пересечением называется множество

<math>A \cap B = \{x \mid x\in A \wedge x \in B\}.</math>

Пересечение семейства множеств

Пусть дано семейство множеств <math>\{M_{\alpha}\}_{\alpha \in A}.</math> Тогда его пересечением называется множество, состоящее из элементов, которые входят во все множества семейства:

<math>\bigcap\limits_{\alpha \in A} M_{\alpha} = \{x \mid \forall \alpha \in A,\; x \in M_{\alpha}\}.</math>

Свойства

• Пересечение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане <math>2^X</math>;
• Операция пересечения множеств коммутативна

  <math>A \cap B = B \cap A;</math>

• Операция пересечения множеств ассоциативна:

  <math>(A\cap B) \cap C = A \cap (B \cap C);</math>

• Операция пересечения множеств дистрибутивна относительно операции объединения:<ref name="ilyin">Шаблон:Книга</ref>

  <math>\left( \bigcup_k A_k \right) \cap B = \bigcup_k \left( A_k \cap B\right)</math>

• Универсальное множество <math>U</math> является нейтральным элементом операции пересечения множеств:

  <math>A\cap U = A;</math>

• Операция пересечения множеств идемпотентна:

  <math>A \cap A = A;</math>

• Если <math>\varnothing</math> — пустое множество, то

  <math>A \cap \varnothing = \varnothing.</math>

Пример

Пусть <math>A = \{1,\;2,\;3,\;4\}</math>, <math>B = \{3,\;4,\;5,\;6,\;7\} </math>. Тогда

<math>A \cap B = \{3,\;4\}.</math>

См. также

• Операции над множествами