Объединение множеств
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Объедине́ние мно́жеств (тж. су́мма или соедине́ние) в теории множеств — множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Объединение двух множеств <math>A</math> и <math>B</math> обычно обозначается <math>A</math> ∪ <math>B</math>, но иногда можно встретить запись в виде суммы <math>A + B</math>.
Определения
Объединение двух множеств
Пусть даны два множества <math>A</math> и <math>B</math>. Тогда их объединением называется множество
- <math>A \cup B = \{ x \mid x\in A \vee x\in B\}.</math>
Объединение семейства множеств
Пусть дано семейство множеств <math>\{M_{\alpha}\}_{\alpha \in A}.</math> Тогда его объединением называется множество, состоящее из всех элементов всех множеств семейства:
- <math>\bigcup\limits_{\alpha \in A} M_{\alpha} = \{x \mid \exists \alpha \in A,\; x \in M_{\alpha}\}.</math>
Свойства
- Объединение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане <math>2^X;</math>
- Операция объединения множеств коммутативна:
- <math>A \cup B = B \cup A;</math>
- Операция объединения множеств ассоциативна:
- <math>(A\cup B) \cup C = A \cup (B \cup C);</math>
- Операция объединения множеств дистрибутивна относительно операции пересечения:<ref name="ilyin">Шаблон:Книга</ref>
- <math>\left( \bigcap_k A_k \right) \cup B = \bigcap_k \left( A_k \cup B\right)</math>
- Пустое множество <math>X</math> является нейтральным элементом операции объединения множеств:
- <math>A\cup \varnothing = A;</math>
- Таким образом булеан вместе с операцией объединения множеств является моноидом;
- Операция объединения множеств идемпотентна:
- <math>A \cup A = A.</math>
Примеры
- Пусть <math>A = \{1,2,3,4,5\},B=\{3,4,5,6,7,8\}.</math> Тогда
- <math>A \cup B = \{1,2,3,4,5,6,7,8\};</math>
- <math>\bigcup\limits_{n \in \mathbb{Z}} [n, n+1] = \mathbb{R}.</math>
Примечания
<references/>