Дистрибутивность
Шаблон:Нет источников Шаблон:Значимость Дистрибути́вность (от лат. distributivus «распределительный»), также распределительный закон<ref>Так это свойство называется в учебниках для младших классов</ref> — свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве.
Говорят, что бинарная операция «×» является дистрибутивной относительно бинарной операции «+»<ref>Симметричное свойство дистрибутивности второй операции относительно первой в общем случае необязательно имеет место, но иногда это так, как, например, в известном классе дистрибутивных решёток, включающем в себя в том числе булевы алгебры.</ref>, если они удовлетворяют следующим двум тождествам:
- <math>(\forall x,y,z)\,x \times ( y + z ) = ( x \times y ) + ( x \times z )</math> — дистрибутивность слева;
- <math>(\forall x,y,z)\,( y + z ) \times x = ( y \times x ) + ( z \times x )</math> — дистрибутивность справа.
Если операция «×» является коммутативной, то свойства дистрибутивности слева и справа равносильны.
Относительно соответствующих аддитивных операций, мультипликативные операции в кольцах и полях, по определению, удовлетворяют свойству дистрибутивности.
Если операции сложения и пересечения для односторонних идеалов некоторого кольца (или подмодулей некоторого модуля) удовлетворяют свойству дистрибутивностиШаблон:Уточнить, то говорят о дистрибутивном кольце (или дистрибутивном модуле).
Следствия
Из дистрибутивного закона следует правило раскрытия скобок, перед которыми стоит минус. В этом случае знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные.
- <math>-(x + y) = -1(x + y) = -1x + (-1)y = -x + (-y) = -x - y</math>
Аналогично,
- <math>-(x-y) = -x + y; </math>
- <math> -(x + y + z) = -x - y - z;</math>
- <math> -(x + y - z) = - x - y + z; </math>
- <math> -(x - y + z) = - x + y - z; </math>
- <math> -(x - y - z) = - x + y + z</math>
Например,
- <math>-(2 - 6 + 17) = -2 + 6 - 17 = - 13</math>