Идеал (алгебра)
Ошибка скрипта: Модуля «hatnote» не существует.{{#if: | }} Идеал — общеалгебраическая конструкция, возникшая в теории колец как обобщение идеи замкнутых относительно умножения числовых подмножеств, таких как чётные целые числа или кратные трём целые числа. В дальнейшем понятие распространилось на алгебры, на произвольные полугруппы и структуры, их содержащие, и заняло одно из важных мест в общей алгебре, как при обобщениях теории чисел на общие структуры, так и во множестве смежных отраслей, в том числе гомологической алгебре, алгебраической геометрии.
Шаблон:ЯкорьИдеал для кольца <math>R</math> формально определяется как подмножество <math>I \subset R</math>, являющееся подгруппой аддитивной группы кольца <math>(R,+)</math> и замкнутое относительно умножения на элементы из <math>R</math>, то есть для любых <math>i \in I</math> и <math>r \in R</math> выполнено <math>ir \in I</math> и <math>ri \in I</math>. Если выполняется только одно из условий — <math>ir \in I</math> и <math>ri \in I</math>, то есть подмножество является замкнутым лишь относительно умножения слева или справа, то говорят, что <math>I</math> является левым идеалом и правым идеалом соответственно; в связи с этим идеал (являющийся одновременно левым и правым) иногда называют двусторонним идеалом.
Название «идеал» ведёт своё происхождение от идеальных чисел, введённых в 1847 году Эрнстом Куммером<ref>Шаблон:Из КНЭ</ref> в рамках изучения разложимости на простые множители в круговых полях. Непосредственно идеал был впервые определён Дедекиндом в 1871 году во втором издании «Лекций по теории чисел». Первые применения конструкции — обобщения результатов теории чисел на общие кольца: простые числа обобщаются в понятии простых идеалов, как обобщение взаимно простых чисел вводятся взаимно простые идеалы, для идеалов можно доказать аналог китайской теоремы об остатках, а в дедекиндовых кольцах можно даже получить аналог основной теоремы арифметики: в них каждый ненулевой идеал можно единственным образом представить как произведение простых идеалов.
Идеал полугруппы — подполугруппа, замкнутая относительно подполугруппового умножения (слева, справа или двусторонне — в зависимости от этого будет являться левым, правым или двусторонним). (Левый, правый, двусторонний) идеал модуля над кольцом — подмодуль, замкнутый относительно умножения (слева, справа или двусторонне) на элементы кольца. Это определение естественным образом распространяется на алгебры над кольцом и алгебры над полем; в случае алгебр с единицей требование замкнутости относительно умножения на элементы поля выполняется автоматически. Для <math>R</math>-алгебры <math>A</math> алгебры над кольцом <math>R</math> идеал кольца <math>A</math> может, вообще говоря, не быть идеалом алгебры <math>A</math>, так как это подкольцо необязательно будет подалгеброй, то есть ещё и подмодулем над <math>R</math>. Например, если <math>A</math> есть <math>k</math>-алгебра с нулевым умножением, то множество всех идеалов кольца <math>A</math> совпадает с множеством всех подгрупп аддитивной группы <math>A</math>, а множество всех идеалов алгебры <math>A</math> совпадает с множеством всех подпространств векторного <math>k</math>-пространства <math>A</math>. Однако в случае, когда <math>A</math> — алгебра с единицей, оба эти понятия совпадают.
Связанные определения
Шаблон:ЯкорьДля любого кольца <math>R</math> само <math>R</math> и нулевой идеал <math>0</math> являются идеалами (двусторонними) — такие идеалы называются тривиальными. Собственные идеалы — идеалы, образующие собственное подмножество, то есть не совпадающие со всем <math>R</math><ref>Шаблон:MathWorld</ref><ref>Шаблон:Cite web</ref>.
Многие классы колец и алгебр определяются условиями на их идеал или решётку идеалов. Например, кольцо, не имеющее нетривиальных двусторонних идеалов, называется простым; кольцо, не имеющее нетривиальных идеалов (не обязательно двусторонних), является телом; через условия на идеалы определяются кольцо главных идеалов, артиново кольцо, нётерово кольцо.
С любым коммутативным кольцом с единицей связано топологическое пространство <math>\operatorname{Spec} A</math> — спектр кольца, точками которого являются все простые идеалы кольца <math>A</math>, отличные от <math>A</math>, а замкнутые множества определяются как множества простых идеалов, содержащих какое-то множество <math>E</math> элементов кольца <math>A</math> (или, что то же, идеал <math>I</math>, порождённый этим множеством). Эта топология называется топологией Зарисского.
Понятие идеала тесно связано с понятием модуля. Идеал (правый или левый) можно определять как подмодуль кольца, рассмотренного как правый или левый модуль над собой.
Свойства
Левые идеалы в <math>R</math> являются правыми идеалами в противоположном кольце <math>R^0</math> (кольце с теми же элементами и тем же сложением, что и данное, но с умножением определённым <math>a \star b = ba</math>), и наоборот.
Двусторонние идеалы в кольцах и алгебрах играют ту же роль, что и нормальные подгруппы в группах: для всякого гомоморфизма <math>f\colon A\to B</math> ядром <math>\operatorname{Ker}f</math> является идеал, и обратно, всякий идеал — ядро некоторого гомоморфизма. Более того, идеал однозначно (с точностью до изоморфизма) определяет образ гомоморфизма, ядром которого он является: <math>f(A)</math> изоморфен факторкольцу (факторалгебре) <math>A/I</math>.
В кольце <math>\Z</math> целых чисел все идеалы главные и имеют вид <math>n\Z = \{nz \mid z \in \Z \}</math>, где <math>n \in \N_0</math>.
Пересечение идеалов также является идеалом (часто, особенно в коммутативной алгебре, пересечение называется наименьшим общим кратным).
Типы идеалов
Шаблон:ЯкорьПорождённый идеал — идеал, образованный заданным множеством. Поскольку пересечение произвольного семейства (левых, правых, двусторонних) идеалов кольца — (левый, правый, двусторонний) идеал того же кольца, для всякого подмножества <math>M</math> кольца <math>R</math> существует минимальный (левый, правый, двусторонний) идеал, его содержащий, а именно — пересечение всех левых идеалов, содержащих множество <math>M</math>.
Главный идеал — идеал, порождённый одним элементом. Конечнопорождённый идеал — идеал, порождённый конечным множеством элементов.
Максимальный идеал — собственный идеал, не являющийся собственным подмножеством какого-либо другого собственного идеала; факторкольцо по максимальному идеалу является полем. Радикальный идеал — идеал, совпадающий со своим радикалом. Понятие простого числа обобщается посредством простых, примарных и первичных идеалов.
Среди других важных типов идеалов — модулярные, нильпотентные, фундаментальные, существенные.
Операции
Шаблон:ЯкорьЕсли в кольце <math>R</math> задано произвольное семейство идеалов <math>I_{\alpha} </math>, их суммой <math>\sum I_{\alpha}</math> называется минимальный идеал, который их всех содержит. Он порождён объединением этих идеалов, и его элементами являются любые конечные суммы элементов из их объединения (само объединение идеалов является идеалом в общем случае не является). Относительно суммы все (левые, правые или двусторонние) идеалы кольца (или алгебры) образуют решётку. Каждый идеал является суммой главных идеалов. Часто, особенно в коммутативной алгебре, сумма называется наибольшим общим делителем).
Шаблон:ЯкорьПересечение идеалов (определяемое как пересечение множеств) всегда является идеалом.
Шаблон:ЯкорьПроизведением идеалов <math>I</math> и <math>J</math> называется идеал <math>IJ</math>, порождённый всеми произведениями <math>ab</math>, где <math>a</math> — элемент идеала <math>I</math>, <math>b</math> — элемент идеала <math>J</math>. Бесконечное произведение идеалов в общем случае неопределено.
Шаблон:ЯкорьЧастное идеалов может быть определено в коммутативном кольце для ненулевого идеала <math>I</math> и произвольного идеала <math>J</math> как идеал <math>I^{-1}J = \{x\in R\colon\, \forall i\in I\, ix\in J \}</math>. Этот идеал называется аннулятором идеала <math>I</math> в случае, когда <math>J=(0)</math>.
Шаблон:ЯкорьРадикал идеала <math>I</math> — множество <math>\sqrt{I}=\{f\in A \mid \exist n\in \N \,\,f^n\in{I}\}</math>. Радикал тоже является идеалом кольца <math>R</math>, если только кольцо коммутативно. В случае, когда <math>I=(0)</math>, этот идеал называется нильрадикалом кольца <math>R</math>, его элементами являются все нильпотентные элементы кольца. Если коммутативное кольцо не имеет нильпотентных элементов, кроме нуля (имеет нулевой нильрадикал), — оно называется радикальным. Идеал <math>I</math> называется радикальным, если он совпадает со своим радикалом; в этом случае факторкольцо <math>R/I</math> не имеет нильпотентных элементов, кроме нуля.
Если задано семейство (цепочка) идеалов <math>\{I_{\alpha}\}_{\alpha \in A}</math>, занумерованное линейно упорядоченным множеством <math>A</math>', так, что для любых индексов <math>\alpha< \beta</math> из <math>A</math>' идеал <math>I_{\alpha}</math> содержится в идеале <math>I_{\beta}</math>, тогда их объединение является идеалом — индуктивным пределом данной цепочки идеалов. Этот идеал также совпадает с суммой всех идеалов из цепочки. Тот факт, что индуктивный предел всегда существует, означает, что множество всех идеалов кольца <math>R</math> индуктивно упорядочено, и к нему применима лемма Цорна. Она часто используется для построения максимальных идеалов с какими-то дополнительными свойствами.
Образ идеала при сюръективном гомоморфизме является идеалом (в общем случае это неверно); в частности, так как гомоморфизм факторизации всегда сюръективен, при факторизации каждый идеал переходит в идеал.
Если <math>f \colon A \to B</math> — гомоморфизм колец, его ядро <math>\operatorname{Ker}f = \{a\in A \mid f(a)=0\}</math> является двусторонним идеалом. Более общо, если <math>I</math> — произвольный идеал в кольце <math>B</math>, его полный прообраз <math>f^{-1}I = \{a\in A:\, f(a)\in I\}</math> является идеалом (левым, правым или двусторонним, в зависимости от того, каков идеал <math>I</math>).
Если <math>I</math> — двусторонний идеал в кольце <math>R</math>, по нему можно определить отношение эквивалентности на <math>R</math> по правилу: <math>x \sim y</math> тогда и только тогда, когда разность <math>x-y</math> принадлежит <math>I</math>. Проверяется, что если в сумме или произведении один из операндов заменить на эквивалентный, новый результат будет эквивалентен исходному. Таким образом операции сложения и умножения становятся определёнными на множестве <math>R/I</math> классов эквивалентности, превращая его в кольцо (коммутативность и наличие единицы переносятся с кольца <math>R</math>, если они есть). Одновременно с этим кольцом определён гомоморфизм факторизации (канонический гомоморфизм) <math>\pi \colon R\to R/I</math>, который каждому элементу <math>a</math> из <math>R</math> ставит в соответствие класс эквивалентности, в котором он содержится. Класс эквивалентности элемента <math>a</math> есть множество элементов вида <math>a+i</math> по всем <math>i</math> из идеала <math>I</math>, поэтому он обозначается <math>a + I</math>, но иногда используется и общее обозначение для класса эквивалентности <math>[a]</math>. Поэтому <math>\pi(a) = [a] = a+I</math>. Кольцо <math>R/I</math> при этом называется факторкольцом кольца <math>R</math> по идеалу <math>I</math>.