Нормальная подгруппа
Норма́льная подгру́ппа (также инвариа́нтная подгру́ппа или нормальный делитель) — подгруппа особого типа, левый и правый смежные классы по которой совпадают. Такие группы важны, поскольку позволяют строить факторгруппу.
Определения
Подгруппа <math>N</math> группы <math>G</math> называется нормальной, если она инвариантна относительно сопряжений, то есть для любого элемента <math>n</math> из <math>N</math> и любого <math>g</math> из <math>G</math> элемент <math>g n g^{-1}</math> лежит в <math>N</math>:
- <math>N \triangleleft G\, \iff\, \forall\, n\in N, \forall\ g\in G</math> <math>gng^{-1}\in{N}.</math>
Следующие условия нормальности подгруппы эквивалентны:
- Для любого <math>g</math> из <math>G</math> <math>gNg^{-1} \sube N</math>.
- Для любого <math>g</math> из <math>G</math> <math>gNg^{-1} = N</math>.
- Множества левых и правых смежных классов <math>N</math> в <math>G</math> совпадают.
- Для любого <math>g</math> из <math>G</math> <math>gN = Ng</math>.
- <math>N</math> является объединением классов сопряжённых элементов.
Условие (1) логически слабее, чем (2), а условие (3) логически слабее, чем (4). Поэтому условия (1) и (3) часто используются при доказательстве нормальности подгруппы, а условия (2) и (4) используются для доказательства следствий нормальности.
Примеры
- <math>\{ e \}</math> и <math>G</math> — всегда нормальные подгруппы <math>G</math>. Они называются тривиальными. Если других нормальных подгрупп нет, то группа <math>G</math> называется простой.
- Центр группы — нормальная подгруппа.
- Коммутант группы — нормальная подгруппа.
- Любая характеристическая подгруппа нормальна, так как сопряжение — это всегда автоморфизм.
- Все подгруппы <math>N</math> абелевой группы <math>G</math> нормальны, так как <math>g N = N g</math>. Неабелева группа, у которой любая подгруппа нормальна, называется гамильтоновой.
- Группа параллельных переносов в пространстве любой размерности — нормальная подгруппа евклидовой группы; например, в трёхмерном пространстве поворот, сдвиг и поворот в обратную сторону приводит к простому сдвигу.
- В группе кубика Рубика подгруппа, состоящая из операций, действующих только на угловые элементы, нормальна, так как никакое сопряжённое преобразование не заставит такую операцию действовать на краевой, а не угловой элемент. Напротив, подгруппа, состоящая лишь из поворотов верхней грани, не нормальна, так как сопряжения позволяют переместить части верхней грани вниз.
Свойства
- Нормальность сохраняется при сюръективных гомоморфизмах и взятии обратных образов.
- Ядро гомоморфизма — нормальная подгруппа.
- Нормальность сохраняется при построении прямого произведения.
- Нормальная подгруппа нормальной подгруппы не обязана быть нормальной в группе, то есть нормальность не транзитивна. Однако характеристическая подгруппа нормальной подгруппы нормальна.
- Каждая подгруппа индекса 2 нормальна. Если <math>p</math> — наименьший простой делитель порядка <math>G</math>, то любая подгруппа индекса <math>p</math> нормальна.
- Если <math>N</math> — нормальная подгруппа в <math>G</math>, то на множестве левых (правых) смежных классов <math>G / N</math> можно ввести групповую структуру по правилу
- <math>(g_1 N)(g_2 N)=(g_1 g_2)N</math>
- Полученное множество называется факторгруппой <math>G</math> по <math>N</math>.
- <math>N</math> нормальна тогда и только тогда, когда она тривиально действует на левых смежных классах <math>G / N</math>.
- Каждая нормальная подгруппа является квазинормальной.
Исторические факты
Эварист Галуа первым понял важность нормальных подгрупп.
Ссылки
- Винберг Э. Б. Курс алгебры — Шаблон:М:Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
- Шаблон:Книга