Движение (математика)
Шаблон:Значения Движе́ние (или наложе́ние<ref>Учебник Киселёва и учебник Л. С. Атанасянa с соавторами.</ref>) — преобразование метрического пространства, сохраняющее расстояние между соответствующими точками, то есть если <math>A'</math> и <math>B'</math> — образы точек <math>A</math> и <math>B</math>, то <math>A'B'=AB</math>. Иначе говоря, движение — это изометрия пространства в себя.
Несмотря на то, что движение определяется на всех метрических пространствах, этот термин более распространён в евклидовой геометрии и смежных областях. В метрической геометрии (в частности, в римановой геометрии) чаще говорят: изометрия пространства в себя. В общем случае метрического пространства (например, для неплоского риманова многообразия) движения могут существовать далеко не всегда.
Иногда под движением понимают преобразование евклидова пространства, сохраняющее ориентацию. В этом случае, осевая симметрия плоскости движением не считается, а поворот и параллельный перенос считаются движением. Аналогично для общих метрических пространств движением считается элемент группы изометрий из связной компоненты тождественного отображения.
В евклидовом (или псевдоевклидовом) пространстве движение автоматически сохраняет также углы, так что сохраняются все скалярные произведения.
Далее в этой статье рассматриваются изометрии только евклидова точечного пространства.
Собственные и несобственные движения
Пусть <math>f\colon E \rightarrow E</math> — движение евклидова точечного пространства <math>E,</math> а <math>V</math> — пространство свободных векторов для пространства <math>E</math>. Линейный оператор <math>Df\colon V \rightarrow V,</math> ассоциированный с аффинным преобразованием <math>f,</math> является ортогональным оператором, и поэтому его определитель может быть равен либо <math>1</math> (собственный ортогональный оператор), либо <math>-1</math> (несобственный ортогональный оператор). В соответствии с этим и движения подразделяются на два класса: собственные (если <math>\det Df = 1</math>) и несобственные (если <math>\det Df = -1</math>)Шаблон:Sfn.
Собственные движения сохраняют ориентацию пространства <math>E,</math> несобственные — заменяют её на противоположную<ref name=Egorov>Шаблон:Книга — 1104 стб. — Стб. 20—22.</ref>. Иногда собственные и несобственные движения называют соответственно перемещениями и антиперемещениямиШаблон:Sfn.
Всякое движение n-мерного евклидова точечного пространства <math>E</math> может быть однозначно определено указанием ортонормированного репера <math>(O'; e'_1, \ldots, e'_n),</math> в который при данном движении переходит заранее выбранный в пространстве <math>E</math> ортонормированный репер <math>(O; e_1, \ldots, e_n).</math> При этом в случае собственного движения новый репер ориентирован так же, как и исходный, а в случае несобственного движения новый репер ориентирован противоположным образом. Движения всегда сохраняют расстояния между точками пространства <math>E</math> (т. e. являются изометриями), причём никаких других изометрий, кроме собственных и несобственных движений, не существуетШаблон:Sfn.
В механике в понятие «движение» вкладывается другой смысл; в частности, оно всегда рассматривается как непрерывный процесс, происходящий в течение некоторого промежутка времени (см. механическое движение). Если, следуя П. С. Александрову, называть непрерывным движением такое движение пространства <math>E,</math> которое непрерывно зависит от параметра <math>t \in [t_0,t_1]</math> (при <math>n=3</math> в механике это соответствует движению абсолютно твёрдого тела), то ортонормированный репер <math>(O'; e'_1, \ldots, e'_n)</math> может быть получен непрерывным движением из ортонормированного репера <math>(O; e_1, \ldots, e_n)</math> тогда и только тогда, когда оба репера ориентированы одинаковоШаблон:Sfn.
Частные виды изометрий
На прямой
Любое движение прямой есть либо параллельный перенос (сводящийся к смещению всех точек прямой на один и тот же вектор, лежащий на этой же прямой), либо отражение относительно некоторой точки, взятой на данной прямой. В первом случае движение является собственным, во втором — несобственнымШаблон:Sfn.
На плоскости
Любое движение плоскости относится к одному из следующих типов<ref name=Egorov/>:
- Параллельный перенос;
- Поворот;
- Осевая симметрия (отражение);
- Скользящая симметрия — суперпозиция переноса на вектор, параллельный прямой, и симметрии относительно этой прямой.
Движения первых двух типов — собственные, последних двух — несобственныеШаблон:Sfn.
В трёхмерном пространстве
Любое движение трёхмерного пространства относится к одному из следующих типов<ref name=Egorov/>:
- Параллельный перенос;
- Поворот;
- Винтовое движение — суперпозиция поворота относительно некоторой прямой и переноса на вектор, параллельный этой прямой;
- Зеркальная симметрия (отражение) относительно плоскости;
- Скользящая симметрия — суперпозиция переноса на вектор, параллельный плоскости, и симметрии относительно этой плоскости;
- Зеркальный поворот — суперпозиция поворота вокруг некоторой прямой и отражения относительно плоскости, перпендикулярной оси поворота.
Движения первых трёх типов исчерпывают класс собственных движений трёхмерного пространства (теореме Шаля), а движения последних трёх типов являются несобственнымиШаблон:Sfn.
В n-мерном пространстве
В <math>n</math>-мерном пространстве движения сводятся к ортогональным преобразованиям, параллельным переносам и суперпозициям тех и других.
В свою очередь, ортогональные преобразования могут быть представлены как суперпозиции (собственных) вращений и зеркальных отражений (т. e. симметрий относительно гиперплоскостей).
Движения как суперпозиции симметрий
Любую изометрию в <math>n</math>-мерном евклидовом пространстве можно представить в виде суперпозиции не более чем n+1 зеркальных отраженийШаблон:Sfn.
Так, параллельный перенос и поворот — суперпозиции двух отражений, скользящее отражение и зеркальный поворот — трёх, винтовое движение — четырёх.
Общие свойства изометрий
- Суперпозиция изометрий также является изометриейШаблон:Sfn.
- Изометрии евклидова пространства E относительно операции суперпозиции образуют группу Iso(E), являющуюся группой Ли.
- Изометрия — частный случай аффинного преобразования (так что Iso(E) является подгруппой другой группы Ли — аффинной группы Aff(E) пространства E)Шаблон:Sfn.
- Группа Iso(E) состоит из двух связных компонент: множества Iso+(E) собственных движений (которое само является группой Ли) и множества Iso–(E) несобственных движений; каждая из этих компонент линейно связнаШаблон:Sfn.
- Изометрия, будучи аффинным преобразованием, всегда переводит отрезок снова в отрезок.