Линейно связное пространство
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Лине́йно свя́зное простра́нство — топологическое пространство, в котором любые две точки можно соединить непрерывной кривой.
Определения
- Рассмотрим отрезок числовой прямой <math>[0,1]\subset \mathbb{R}</math> с определённой на нём стандартной топологией вещественной прямой. Пусть также дано топологическое пространство <math>(X,\mathcal{T}).</math> Тогда последнее называется линейно связнымШаблон:Sfn, если для любых двух точек <math>x,y\in X</math> найдётся непрерывное отображение <math>f:[0,1] \to X</math> такое, что
- <math>f(0) = x,\; f(1) = y.</math>
- Пусть дано подмножество <math>M \subset X</math>. Тогда на нём естественным образом определяется топология <math>\mathcal{T}_M</math>, индуцированная <math>\mathcal{T}</math>. Если пространство <math>\left(M,\;\mathcal{T}_M\right)</math> линейно связно, то подмножество <math>M</math> также называется линейно связным в <math>X</math>Шаблон:Sfn.
Связанные определения
- Каждое линейно связное подмножество пространства <math>X</math> содержится в некотором максимальном линейно связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества называются компонентами линейной связности пространства <math>X</math>Шаблон:Sfn.
- Пространство, в котором каждая компонента линейной связности состоит из одной точки, называется вполне линейно несвязным (по аналогии с вполне несвязным пространством).
- Если существует база топологии пространства <math>X</math>, состоящая из линейно связных открытых множеств, тогда топология пространства <math>X</math> и само пространство <math>X</math> (в этой топологии) называются локально линейно связнымиШаблон:Sfn.
Примеры
- Прямая, окружность, выпуклое подмножество евклидова пространства — примеры линейно связных пространствШаблон:Sfn.
- Дополнение <math>\mathbb{R}^n \backslash A,\ n\geqslant 2</math>, где <math>A</math> — объединение не более чем счетного числа аффинных подпространств в <math>\mathbb{R}^n</math> коразмерности 2 и больше.
- Замыкание графика функции <math>\sin\tfrac1x</math> при <math>x\ge 0</math> — пример связного пространства, которое не является линейно связным. Это пространство имеет две компоненты линейной связности: график функции при x > 0, и отрезок <math>[-1,1]</math> на оси ординатШаблон:Sfn.
- Псевдодуга — пример связного, но вполне линейно несвязного пространства.
Свойства
- Всякое линейно связное пространство связно. Обратное неверноШаблон:Sfn.
- Конечное топологическое пространство линейно связно тогда и только тогда, когда оно связно.
- Непрерывный образ линейно связного пространства линейно связанШаблон:Sfn.
- Если пространство <math>X</math> линейно связно и <math>x,\;y\in X</math>, то гомотопические группы <math>\pi_1(X,\;x)</math> и <math>\pi_1(X,\;y)</math> изоморфны, причем этот изоморфизм определяется однозначно с точностью до внутреннего автоморфизма <math>\pi_1(X,\;x)</math>Шаблон:Sfn.
Линейная связность на числовой прямой
Будем считать, что <math>X = \R</math>, а <math>\mathcal{T}</math> — стандартная топология числовой прямой. ТогдаШаблон:Sfn
- Подмножество <math>M \subset \mathbb{R}</math> линейно связно тогда и только тогда, когда
- <math>\forall x,\;y\in M : (x \leqslant y ) \Rightarrow \bigl([x,\;y] \subset M \bigr),</math>
- то есть любые две точки входят в него вместе с соединяющим их отрезком.
- Любое линейно связное подмножество числовой прямой является конечным или бесконечным открытым, полуоткрытым или замкнутым интервалом:
- <math>(a\;,b),\; [a,\;b),\;(a,\;b],\;[a,\;b],\;(-\infty,\;b),\;(-\infty,\;b],\;(a,\;+\infty),\;[a,\;+\infty), (-\infty, +\infty).</math>
- Подмножество числовой прямой линейно связно тогда и только тогда, когда оно связно.
Обобщение
Многомерным обобщением линейной связности является <math>k</math>-связность (связность в размерности <math>k</math>). Пространство <math>X</math> называется связным в размерности <math>k</math>, если любые два отображения <math>r</math>-мерной сферы <math>S^r</math> в <math>X</math>, где <math>r\leqslant k</math>, гомотопны. В частности, <math>0</math>-связность — это то же, что линейная связность, а <math>1</math>-связность — то же, что односвязностьШаблон:Sfn.