Прямоугольная система координат
Прямоуго́льная (дека́ртова) систе́ма координа́т — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными координатными осями на плоскости или в пространстве. Часто используемая система координат. Просто обобщается для пространств любой размерности.
Связанные термины: декартовой обычно называют прямоугольную систему координат с одинаковыми масштабами по осям (названную так по имени Рене Декарта), а общей декартовой системой координат называют аффинную систему координат (не обязательно прямоугольную).
История
Шаблон:Основной источник Впервые прямоугольную систему координат ввёл в науку Рене Декарт в своей работе «Геометрия» в 1637 году. Он первый применил понятие координат для исследования и решения многих геометрических задач. Поэтому прямоугольную систему координат обычно называют также декартова система координат (хотя современный термин прямоугольная система координат не во всём соответствует тому, что вкладывал в это понятие сам Декарт<ref>Например, Декарт пользовался не двумя осями, а одной, на которой откладывались абсциссы; ординаты определялись как расстояние от точек плоскости до оси абсцисс; эти расстояния Декарт отсчитывал по любому заранее выбранному направлению, а не обязательно перпендикулярно.</ref>.
Как абсциссы, так и ординаты у Декарта были всегда величинами положительными независимо от направления соответствующих отрезков. Различие направлений на осях знаками «+» и «−» было введено позднее его учениками.
Координатный метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии. Вклад в развитие координатного метода внёс также Пьер Ферма, однако его работы, касающиеся координатного метода, были впервые опубликованы уже после его смерти<ref>Шаблон:Cite web</ref>.
Системы декартовых координат при дальнейшем развитии науки сыграли важную роль в становлении дифференциального и интегрального исчисления, развитого Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем<ref>A Tour of the Calculus, David Berlinski.Шаблон:Уточнить</ref>.
Двухкоординатное описание плоскости позднее было обобщено в понятие векторных пространств<ref>Шаблон:Книга</ref>.
Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости. Применение координатного метода в трёхмерном пространстве впервые использовали Клеро и Эйлер в XVIII веке.
Единичные векторы были впервые использованы, по-видимому, Уильямом Гамильтоном и Джеймсом Максвеллом.
Прямоугольная система координат на плоскости
Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат <math>X'X</math> и <math>Y'Y</math>. Оси координат пересекаются в точке <math>O</math>, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление.
Положение точки <math>A</math> на плоскости определяется двумя координатами <math>x</math> и <math>y</math>. Координата <math>x</math> равна длине отрезка <math>OB</math>, координата <math>y</math> — длине отрезка <math>OC</math> в выбранных единицах измерения. Отрезки <math>OB</math> и <math>OC</math> определяются линиями, проведёнными из точки <math>A</math> параллельно осям <math>Y'Y</math> и <math>X'X</math> соответственно.
При этом координате <math>x</math> приписывается знак минус, если точка <math>B</math> лежит на луче <math>OX'</math> (а не на луче <math>OX</math>, как на рисунке 2). Координате <math>y</math> приписывается знак минус, если точка <math>C</math> лежит на луче <math>OY'</math>. Таким образом,<math>OX'</math> и <math>OY'</math> являются отрицательными направлениями осей координат (каждая ось координат рассматривается как числовая ось).
Ось <math>X'X</math> называется осью абсцисс (Шаблон:Lang-lat — букв. «отрезанный, отделённый»<ref name="Словарь">Словарь иностранных слов. — М.: Рус. яз., 1989. — 624 с. ISBN 5-200-00408-8</ref>), а ось <math>Y'Y</math> — осью ординат (Шаблон:Lang-lat — букв. «упорядоченный, установленный в определённом порядке»<ref name="Словарь"></ref>). Координата <math>x</math> называется Шаблон:Якорь2 точки <math>A</math>, координата <math>y</math> — Шаблон:Якорь2 точки <math>A</math>.
Символически это записывают так:
- <math>A(x,\;y)</math>,
или:
- <math>A = (x,\;y)</math>,
или указывают принадлежность координат конкретной точке с помощью индекса:
- <math>x_A, x_B</math>,
и т. д.
- В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси <math>Y'Y</math> вверх, ось <math>X'X</math> смотрела направо. Обычно принято пользоваться правосторонними системами координат (если обратное не оговорено или не очевидно — например, из чертежа; иногда по каким-то соображениям бывает удобнее всё же пользоваться левосторонней системой координат).
- Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат <math>X'X</math> и <math>Y'Y,</math> называются координатными углами, четвертями или Шаблон:Якорьквадрантами <плоскости> (см. рисунок 2).
- Точки внутри координатного угла I имеют положительные абсциссы и ординаты.
- Точки внутри координатного угла II имеют отрицательные абсциссы и положительные ординаты.
- Точки внутри координатного угла III имеют отрицательные абсциссы и ординаты
- Точки внутри координатного угла IV имеют положительные абсциссы и отрицательные ординаты.
Прямоугольная система координат в пространстве
Прямоугольная система координат в пространстве (в этом параграфе имеется в виду трёхмерное пространство, о более многомерных пространствах — см. ниже) образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат <math>OX,</math> <math>OY</math> и <math>OZ.</math> Оси координат пересекаются в точке <math>O,</math> которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно (не обязательно<ref>Иногда это просто принципиально невозможно, если по осям откладываются величины разной физической размерности; впрочем, с геометрической точки зрения это замечание не слишком существенно, так как можно тогда считать масштабы по осям равными условно (например масштабы так, чтобы единицы совпадали при изображая на геометрической плоскости).</ref>) одинаковы для всех осей. <math>OX</math> — ось абсцисс, <math>OY</math> — ось ординат, <math>OZ</math> — ось аппликат.
Положение точки <math>A</math> в пространстве определяется тремя координатами <math>x,</math> <math>y</math> и <math>z.</math> Координата <math>x</math> равна длине отрезка <math>OB,</math> координата <math>y</math> — длине отрезка <math>OC,</math> координата <math>z</math> — длине отрезка <math>OD</math> в выбранных единицах измерения. Отрезки <math>OB,</math> <math>OC</math> и <math>OD</math> определяются плоскостями, проведёнными из точки <math>A</math> параллельно плоскостям <math>OYZ,</math> <math>OXZ</math> и <math>OXY</math> соответственно.
- Координата <math>x</math> называется абсциссой точки <math>A,</math>
- координата <math>y</math> — ординатой точки <math>A,</math>
- координата <math>z</math> — Шаблон:Якорь2 (Шаблон:Lang-lat — прилегающая)<ref>Словарь иностранных слов. — М.: «Русский язык», 1989. — 624 с. ISBN 5-200-00408-8</ref> точки <math>A</math>.
Символически это записывают так:
- <math>A(x,\;y,\;z),</math>
или
- <math>A = (x,\;y,\;z),</math>
или привязывают запись координат к конкретной точке с помощью индекса:
- <math>x_A,\;y_A,\;z_A,</math>
и т. п.
Каждая ось рассматривается как числовая прямая, то есть имеет положительное направление, а точкам, лежащим на отрицательном луче приписываются отрицательные значения координаты (расстояние берется со знаком минус). То есть, если бы, например, точка <math>B</math> лежала не как на рисунке 3 — на луче <math>OX,</math> а на его продолжении в обратную сторону от точки <math>O</math> (на отрицательной части оси <math>OX,</math>) то абсцисса <math>x</math> точки <math>A</math> была бы отрицательной (минус расстоянию <math>OB.</math>) Аналогично и для двух других осей.
Все прямоугольные системы координат в трехмерном пространстве делятся на два класса — правые (также используются термины положительные, стандартные) и левые. Обычно по умолчанию используются правые координатные системы, а при их графическом изображении ещё и располагают их, если можно, в одном из нескольких обычных (традиционных) положений, на рисунке 3 изображена правая координатная система в традиционном расположении. Правую и левую системы координат невозможно поворотами<ref>При зеркальном отражении правая система координат переходит в левую и наоборот, левая — в правую.</ref> совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (и их направления). Определить, к какому классу относится какая-либо конкретно взятая система координат, можно, используя правило правой руки, правило винта, правило буравчика и т. п. (положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси <math>OX</math> против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси <math>OY,</math> если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси <math>OZ</math>).
Любая из восьми областей, на которые пространство делится тремя взаимно перпендикулярными координатными плоскостями, называется октантом.
Прямоугольная система координат в многомерном пространстве
Прямоугольная система координат может быть использована и в пространстве любой конечной размерности аналогично тому, как это делается для трехмерного пространства. Количество координатных осей при этом равно размерности пространства (в этом параграфе будем обозначать её <math>n</math>).
Для обозначения координат обычно<ref>Но не обязательно: вопрос обозначений в конечном итоге определяется конкретным приложением.</ref> применяют не разные буквы, а одну и ту же букву с числовым индексом. Чаще всего это:
- <math>x_1, x_2, x_3,\dots x_n.</math>
Для обозначения произвольной <math>i</math>-й координаты из этого набора используют буквенный индекс:
- <math>x_i,</math>
а нередко обозначение <math>x_i,</math> используют и для обозначения всего набора, подразумевая, что индекс пробегает весь набор значений: <math>i = 1,~2,~3,~\dots~n.</math>
В любой размерности пространства прямоугольные координатные системы делятся на два класса, правые и левые (или положительные и отрицательные). Для многомерных пространств какую-то одну из координатных систем произвольно (условно) называют правой, а остальные оказываются правыми или левыми в зависимости от того, той же они ориентации или нет<ref>Это можно выяснить, исходя из того, можно ли какими-то вращениями (и переносами, если не совпадают начала координат) совместить данную координатную систему с той, ориентация которой правая по определению. Если да, то данная система считается правой, если нет, то левой. Ещё проще технически это выяснить через знак определителя матрицы преобразования от правого базиса к данному.</ref>.
Обобщение понятий двумерного квадранта и трёхмерного октанта для <math>n</math>-мерного евклидова пространства — ортант или гипероктант.
Прямоугольные координаты вектора
Для определения прямоугольных координат вектора (применимых для представления векторов любой размерности) можно исходить из того, что координаты вектора (направленного отрезка), начало которого находится в начале координат, совпадают с координатами его конца<ref>Конец направленного отрезка — точка; прямоугольные координаты точки рассмотрены в статье выше.</ref>.
- Таким образом, например, координаты <math>(x,~y)</math> на рисунке 4 являются координатами вектора <math>\vec{OA}.</math>
Для векторов (направленных отрезков), начало которых не совпадает с началом координат, прямоугольные координаты можно определить одним из двух способов:
- Вектор можно перенести так, чтобы его начало совпало с началом координат). Тогда его координаты определяются способом, описанным в начале параграфа: координаты вектора, перенесённого так, что его начало совпадает с началом координат, — это координаты его конца.
- Вместо этого можно просто вычесть из координат конца вектора (направленного отрезка) координаты его начала.
- Для прямоугольных координат понятие координаты вектора совпадает с понятием ортогональной проекции вектора на направление соответствующей координатной оси.
В прямоугольных координатах очень просто записываются все операции над векторами:
Сложение векторов:
- <math>\mathbf a + \mathbf b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3, \dots, a_n + b_n),</math>
или:
- <math>(\mathbf a + \mathbf b)_i = a_i + b_i,</math>
Умножение вектора на скаляр:
- <math>c\ \mathbf a = (c\ a_1, c\ a_2, c\ a_3, \dots, c\ a_n),</math>
или:
- <math>(c\ \mathbf a)_i = c\ a_i.</math>
Отсюда вычитание:
- <math>\mathbf a - \mathbf b = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3, \dots, a_n - b_n),</math>
или:
- <math>(\mathbf a - \mathbf b)_i = a_i - b_i,</math>
и деление на скаляр:
- <math>\frac{\mathbf a}{\lambda} = \Big(\frac{a_1}{\lambda}, \frac{a_2}{\lambda}, \frac{a_3}{\lambda}, \dots, \frac{a_n}{\lambda}\Big),</math>
или:
- <math>\Big(\frac{\mathbf a}{\lambda}\Big)_i = \frac{a_i}{\lambda}.</math>
(Это верно для любой размерности <math>n</math> и даже, наравне с прямоугольными, для косоугольных координат).
- Скалярное произведение векторов:
- <math>\mathbf a \cdot \mathbf b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + \dots + a_n b_n</math>,
или:
- <math>\mathbf a \cdot \mathbf b = \sum\limits_{i=1}^n a_i b_i,</math>
(Это справедливо только в прямоугольных координатах с равным масштабом по всем осям).
- Через скалярное произведение можно вычислить длину вектора:
- <math>|\mathbf a| = \sqrt{\mathbf a\cdot\mathbf a}</math>
- и угол между векторами:
- <math>\angle{(\mathbf a, \mathbf b)} =
\mathrm{arccos}\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf a|\cdot|\mathbf b|}.</math>
Внешнее произведение векторов:
- <math>(\mathbf a \and \mathbf b)_{ij} = a_i b_j - a_j b_i,</math>
для любой размерности пространства,
- Векторное произведение (только для трёхмерного же пространства, на котором оно и определено):
- <math>(\mathbf a \times \mathbf b)_x = a_y b_z - a_z b_y</math>,
- <math>(\mathbf a \times \mathbf b)_y = a_z b_x - a_x b_z</math>,
- <math>(\mathbf a \times \mathbf b)_z = a_x b_y - a_y b_x</math>.
Это позволяет свести все операции над векторами к достаточно простым операциям над числами.
Орты
Прямоугольная система координат<ref>В этом параграфе будем подразумевать обычную декартову систему координат, то есть прямоугольную систему координат с одинаковым масштабом по всем осям; рассмотрение систем координат с разным масштабом по разным осям внесло бы здесь неоправданные формальные усложнения при довольно малом выигрыше содержательном отношении.</ref> (любой размерности) также описывается<ref>Это описание очевидно полностью эквивалентно обычному заданию осей координат, надо только ещё задать начало координат (последнее нередко очевидно по умолчанию).</ref> набором ортов (единичных векторов), сонаправленных с осями координат. Количество ортов равно размерности системы координат и все они перпендикулярны друг другу. Такие орты образуют ортонормированный базис, притом<ref>При отказе от условия равномасштабности координатных осей — просто ортогональный базис.</ref>.
В трёхмерном случае такие орты обычно обозначаются:
- <math>\mathbf{i},</math> <math>\mathbf{j}</math> и <math>\mathbf{k},</math>
или
- <math>\mathbf{e}_x,</math> <math>\mathbf{e}_y</math> и <math>\mathbf{e}_z.</math>
Могут также применяться обозначения со стрелками (<math>\vec{i},</math> <math>\vec{j}</math> и <math>\vec{k}</math> или <math>\vec{e}_x,</math> <math>\vec{e}_y</math> и <math>\vec{e}_z</math>) или другие в соответствии с обычным способом обозначения векторов в том или ином полиграфическом стиле.
При этом в случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторными произведениями ортов:
- <math>[\mathbf{i}\,,\mathbf{j}]=\mathbf{k};</math>
- <math>[\mathbf{j}\,,\mathbf{k}]=\mathbf{i};</math>
- <math>[\mathbf{k}\,,\mathbf{i}]=\mathbf{j}.</math>
Для размерностей пространства более 3, (или для общего случая, когда размерность может быть любой) обычно для ортов применяют вместо этого обозначения с числовыми индексами, достаточно часто<ref>Впрочем, вместо буквы <math>e</math> нередко могут быть использованы и другие буквы. Как правило, это явно оговорено.</ref> это:
- <math>\mathbf{e}_1,~\mathbf{e}_2,~\mathbf{e}_3,~\dots ~\mathbf{e}_n,</math>
где <math>n</math> — размерность пространства.
Вектор любой размерности раскладывается по базису (координаты служат коэффициентами разложения):
- <math>\mathbf a = a_1\mathbf e_1 + a_2\mathbf e_2 + a_3\mathbf e_3 + \dots + a_n\mathbf e_n,</math>
или:
- <math>\mathbf a = \sum\limits_{i=1}^n a_i\mathbf e_i,</math>
а для ортонормированного базиса координаты ещё и очень легко найти через скалярные произведения с ортами:
- <math>a_i = \mathbf a \cdot \mathbf e_i.</math>