Евклидово пространство
Шаблон:О Евкли́дово простра́нство (также эвкли́дово пространство) в изначальном смысле — это пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность, равную 3, то есть является трёхмерным.
В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространство <math> \mathbb R^n </math> с введённым на нём положительно определённым скалярным произведением; либо метрическое пространство, соответствующее такому векторному пространству. Некоторые авторы ставят знак равенства между евклидовым и предгильбертовым пространством. В этой статье за исходное будет взято первое определение.
<math>n</math>-мерное евклидово пространство обычно обозначается <math>\mathbb E^n</math>; также часто используется обозначение <math>\mathbb R^n</math>, когда из контекста ясно, что пространство снабжено естественной вещественной евклидовой структурой.
Формальное определение
Чтобы дать определение евклидова пространства, в качестве основы проще всего использовать понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на парах векторов которого задана вещественнозначная функция <math>(\cdot, \cdot),</math> обладающая следующими тремя свойствами:
- Линейность: для любых векторов <math>\mathbf{u,v,w}</math> и для любых вещественных чисел <math>a,b</math> справедливы соотношения <math>(a\mathbf u+b\mathbf v,\mathbf w)=a\mathbf{(u,w)}+b\mathbf{(v,w)}</math>;
- Симметричность: для любых векторов <math>u,v</math> верно равенство <math>\mathbf{(u,v)=(v,u)};</math>
- Положительная определённость: <math>\mathbf{(u,u)}\geqslant 0</math> для любого <math>u,</math> причём <math>\mathbf{(u,u)} = 0\Rightarrow\mathbf u=0.</math>
Аффинное пространство, соответствующее такому векторному пространству, называется евклидовым аффинным пространством или просто евклидовым пространствомШаблон:Sfn.
Пример евклидова пространства — координатное пространство <math>\mathbb R^n,</math> состоящее из всевозможных наборов вещественных чисел <math>(x_1, x_2, \ldots, x_n),</math> где скалярное произведение определяется формулой <math>\mathbf{(x,y)} = \sum_{i=1}^n x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n.</math>
Длины и углы
Заданного на евклидовом пространстве скалярного произведения достаточно для того, чтобы ввести геометрические понятия длины и угла. Длина вектора <math>u</math> определяется как <math>\sqrt\mathbf{(u,u)}</math> и обозначается <math>|\mathbf u|.</math>Шаблон:SfnШаблон:Sfn Положительная определённость скалярного произведения гарантирует, что длина ненулевого вектора ненулевая, а из билинейности следует, что <math>|a\mathbf u|=|a||\mathbf u|,</math> то есть длины пропорциональных векторов пропорциональны.
Угол между векторами <math>\mathbf x</math> и <math>\mathbf y</math> определяется как <math>\arccos\mathbf\tfrac{(x,y)}{|x||y|}.</math> Из теоремы косинусов следует, что для двумерного евклидова пространства (евклидовой плоскости) данное определение угла совпадает с обычным. Ненулевые ортогональные векторы, как и в трёхмерном пространстве, можно определить как векторы под углом <math>\tfrac{\pi}{2},</math> то есть как векторы с нулевым скалярным произведением.
Замечание
Необходимо уточнить, что, чтобы арккосинус от <math>\mathbf\tfrac{(x,y)}{|x||y|}</math> был определён, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство <math>\left|\mathbf\tfrac{(x,y)}{|x||y|}\right|\leqslant 1.</math> Это неравенство действительно выполняется в произвольном евклидовом пространстве: оно называется неравенством Коши — Буняковского. Из него, в свою очередь, следует неравенство треугольника: <math>\mathbf{|u+v|\leqslant |u|+|v|}.</math> Неравенство треугольника, вместе с вышеперечисленными свойствами длины, означает, что длина вектора является нормой на евклидовом векторном пространстве, а функция <math>d\mathbf{(x,y)},</math> или <math>\mathbf{|x-y|},</math> задаёт на евклидовом пространстве структуру метрического пространства (эта функция называется евклидовой метрикой). В частности, расстояние между элементами (точками) <math>\mathbf x</math> и <math>\mathbf y</math> координатного пространства <math>\mathbb R^n</math> задаётся формулой <math>d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}.</math>
Алгебраические свойства
Ортонормированные базисы
Ортонормированный базис в евклидовом (векторном) пространстве — это базис, состоящий из попарно ортогональных векторов единичной нормы. Ортонормированные базисы наиболее удобны для вычислений. Так, например, скалярное произведение векторов с координатами <math>(a_1, a_2, \ldots, a_n)</math> и <math>(b_1, b_2, \ldots, b_n)</math> в ортонормированном базисе можно вычислять по формуле <math>(a,b)=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n.</math> В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Выбрав в двух евклидовых пространствах ортонормированные базисы и переведя один из них в другой линейным отображением, можно доказать, что любые два евклидовых пространства одинаковой размерности изоморфны<ref>Шилов Г. Е. Введение в теорию линейных пространств. — М., Л., Гостехтеориздат, 1952. — с. 182</ref> (в частности, <math>n</math>-мерное евклидово пространство изоморфно <math>\mathbb R^n</math> со стандартным скалярным произведением).
Вектор называется ортогональным подпространству, если он ортогонален всем векторам этого подпространства.
Ортогональная проекция вектора <math>x</math> на подпространство <math>U</math> — это вектор <math>u \in U</math> такой, что <math>x</math> представим в виде <math>u + h</math>, где вектор <math>h \notin U</math> ортогонален <math>U</math>.
Расстояние между концами векторов <math>u</math> и <math>x</math> является минимальным расстоянием среди расстояний от конца вектора <math>x</math> до подпространства <math>U.</math>
Ортогональная проекция вектора на подпространство всегда существует: для её построения достаточно применить метод ортогонализации Грама — Шмидта к объединению ортонормированного базиса в подпространстве и этого вектора. Ортогональные проекции в пространствах больших размерностей используются, например, в методе наименьших квадратов.
Сопряжённые пространства и операторы
Любой вектор <math>x</math> евклидова пространства задаёт линейный функционал <math>x^*</math> на этом пространстве, определяемый как <math>x^*(y)=(x,y).</math> Это сопоставление является изоморфизмом между евклидовым пространством и двойственным к нему пространством<ref>Данный результат верен также для псевдоевклидовых и унитарных пространств, для гильбертовых пространств он более сложен и называется теоремой Рисса.</ref> и позволяет их отождествлять без ущерба для вычислений. В частности, сопряжённые операторы можно рассматривать как действующие на исходном пространстве, а не на двойственном к нему, и определить самосопряжённые операторы как операторы, совпадающие с сопряжёнными к ним. В ортонормированном базисе матрица сопряжённого оператора является транспонированной к матрице исходного оператора, а матрица самосопряжённого оператора является симметричной.
Движения евклидова пространства
Движения евклидова пространства — это преобразования пространства на само себя, сохраняющие метрику (также называются изометриями пространства на само себя). Пример движения — параллельный перенос на вектор <math>\mathbf v</math>, переводящий точку <math>\mathbf p</math> в точку <math>\mathbf{p + v}</math>. Нетрудно увидеть, что любое движение является композицией параллельного переноса и преобразования, сохраняющего неподвижной одну точку. Выбрав неподвижную точку за начало координат, любое такое движение можно рассматривать как ортогональное преобразование. Ортогональные преобразования n-мерного евклидова пространства образуют группу, обозначаемую O(n). Выбрав в пространстве ортонормированный базис, эту группу можно представить как группу матриц n × n, удовлетворяющих условию <math>Q^\mathsf{T}Q = E</math>, где <math>Q^\mathsf{T}</math> — транспонированная матрица, а <math>E</math> — единичная матрица.
Примеры
Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:
- <math>\mathbb {E^1} </math> размерности <math>1</math> (вещественная прямая — к примеру, числовая ось);
- <math>\mathbb {E^2} </math> размерности <math>2</math> (евклидова плоскость);
- <math>\mathbb {E^3} </math> размерности <math>3</math> (евклидово трёхмерное пространство).
Более абстрактный пример:
- пространство <math> \mathcal{P}^n </math> вещественных многочленов, степени которых не превосходят n, со скалярным произведением, определённым как интеграл их произведения по конечному отрезку (или по всей прямой, но с быстро спадающей весовой функцией, например <math>e^{-x^2}</math>).
Примеры геометрических фигур в многомерном евклидовом пространстве:
- правильные многомерные многогранники (например, N-мерный куб, N-мерный октаэдр, N-мерный тетраэдр);
- гиперсфера;
- гипертор.
Связанные определения
Шаблон:Нет источников Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика.
Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.
Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) — каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.
Вариации и обобщения
Если в качестве основного поля использовать не поле вещественных чисел, а поле комплексных, то это даст определение унитарного (или эрмитова) пространства.
Отказ от требования конечномерности даёт определение предгильбертова пространства. Отказ от требования положительной определённости скалярного произведения приводит к определению псевдоевклидова пространства. Требование того, чтобы предгильбертово пространство было полным по метрике, ведёт к определению гильбертова пространства; пространство квадратично-суммируемых последовательностей — гильбертово пространство, которое может рассматриваться как пространство векторов с бесконечным числом координат.