Транспонированная матрица
Транспонированная матрица — матрица <math>A^T</math>, полученная из исходной матрицы <math>A</math> заменой строк на столбцы.
Формально, транспонированная матрица для матрицы <math>A</math> размеров <math>m \times n</math> — матрица <math>A^T</math> размеров <math>n \times m</math>, определённая как <math>A^T_{ij} = A_{ji}</math>.
Например,
- <math>\begin{bmatrix}
1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} </math> и <math> \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \; </math> То есть для получения транспонированной матрицы из исходной нужно каждую строчку исходной матрицы записать в виде столбца в том же порядке.
Свойства транспонированных матриц
- Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.
- <math>(A^T)^T= A</math>
- Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.
- <math>(A + B)^T = A^T + B^T</math>
- Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.
- <math>(AB)^T = B^TA^T</math>
- При транспонировании можно выносить скаляр.
- <math>(\lambda A)^T=\lambda A^T</math>
- Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.
- <math>\det A = \det A^T</math>
Связанные определения
Симметричная матрица (симметрическая матрица) — матрица, удовлетворяющая соотношению <math>S^T=S</math>.
Для того чтобы матрица <math>S</math> была симметричной, необходимо и достаточно, чтобы:
- матрица <math>S</math> была квадратной;
- элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны, то есть <math>S_{ij}=S_{ji}</math>.
Антисимметричная (кососимметричная) матрица (антисимметрическая, кососимметрическая) — матрица, удовлетворяющая соотношению <math>A^T=-A</math>.
Для того чтобы матрица <math>A</math> была антисимметричной, необходимо и достаточно, чтобы:
- матрица <math>A</math> была квадратной;
- элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны по модулю и противоположны по знаку, то есть <math>A_{ij}=-A_{ji}</math>.
Отсюда следует, что элементы главной диагонали антисимметричной матрицы равняются нулю: <math>A_{ii}=0</math>.
Для любой квадратной матрицы <math>M</math> имеется представление <math>M=S+A</math>,
где <math>S=\frac{M+M^T}{2}</math> — симметричная часть, <math>A=\frac{M-M^T}{2}</math> — антисимметричная часть.