Метрическое пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Шаблон:Не путать Шаблон:Значения Шаблон:Значения Метри́ческое простра́нство — множество вместе со способом измерения расстояния между его элементами — метрикой. Является центральным понятием геометрии и топологии. Впервые понятие ввёл в 1906 году Морис Фреше в связи с рассмотрением функциональных пространств<ref>Fréchet M. Sur quelques points du calcul fonctionnel. — Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. — 1906. — 22. — pp. 1—74.</ref>.

Определения

Пара <math> (M,\;d)</math>, состоящая из множества <math>M</math> и функции <math>d\colon M\times M \to \mathbb{R}</math> из его декартова квадрата во множество вещественных чисел, называется метрическим пространством, еслиШаблон:Sfn:

  1. <math>d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y</math> (аксиома тождества);
  2. <math>d(x,y)\geqslant0 </math> (аксиома положительности);
  3. <math>d(x,y)=d(y,x)</math> (аксиома симметричности);
  4. <math>d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)</math> (аксиома треугольника или неравенство треугольника).

В этом случае:

  • множество <math> M</math> называется подлежащим множеством или носителем метрического пространства;
  • функция <math>d</math> называется метрикой или функцией расстояния;
  • элементы множества <math> M</math> называются точками метрического пространства;
  • иногда дополнительно предполагается, что множество <math> M</math> непусто.

Требование неотрицательности значений метрики является избыточным, оно следует из аксиом:

<math>0=d(x,x)\leqslant d(x,y)+d(y,x)=2\cdot d(x,y)</math>.

Аксиомы тождества и данного неравенства треугольника вместе взятые эквивалентны следующему варианту неравенства треугольника:

<math>d(x,y)\leqslant d(x,z)+d(y,z)</math>.

Эти условия выражают интуитивные понятия о концепции расстояния и поэтому называются аксиомами расстояния<ref>Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. II том. — М., Высшая школа, 1970. — с. 296</ref>. Например, что расстояние между различными точками положительно и расстояние от <math>x</math> до <math>y</math> то же самое, что и расстояние от <math>y</math> до <math>x</math>. Неравенство треугольника означает, что расстояние от <math>x</math> до <math>z</math> через <math>y</math> не меньше, чем прямо от <math>x</math> до <math>z</math>.

Обозначения

Обычно расстояние между точками <math>x</math> и <math>y</math> в метрическом пространстве <math>M</math> обозначается <math>d(x,y)</math> или <math>\rho(x,y)</math>.

В метрической геометрии принято обозначение <math>|xy|</math> или <math>|xy|_M</math>, если необходимо подчеркнуть, что речь идёт о <math>M</math>. Также употребляются обозначения <math>|x-y|</math> и <math>|x-y|_M</math> (несмотря на то, что выражение <math>x-y</math> для точек <math>x</math> и <math>y</math> не имеет смысла).

В классической геометрии приняты обозначения <math>XY</math> или <math>|XY|</math> (точки обычно обозначают заглавными латинскими буквами).

Связанные определения

  • Биекция между различными метрическими пространствами <math>(X,d_X)</math> и <math>(Y,d_Y)</math>, сохраняющая расстояния, называется изометрией. В этом случае пространства <math>(X,d_X)</math> и <math>(Y,d_Y)</math> называются изометричными.
  • Если <math>x_{n} \in X</math>, <math>x \in X</math> и <math>d(x_{n}, x) \to 0</math> при <math>n \to \infty</math>, то говорят, что <math>x_{n}</math> сходится к <math>x</math>: <math>x_{n} \to x</math><ref name="Krein">Крейн С. Г. Функциональный анализ. — М., Наука, 1972. — с. 22-24</ref>.
  • Если <math>M</math> подмножество множества <math>X</math>, то, рассматривая сужение <math>d_M=d_X|_M</math> метрики <math>d_X</math> на множество <math>M</math>, можно получить метрическое пространство <math>(M,d_M)</math>, которое называется подпространством пространства <math>(X,d)</math>.
  • Шаблон:ЯкорьМетрика <math>d</math> на <math>M</math> называется внутренней, если любые две точки <math>x</math> и <math>y</math> в <math>M</math> можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к <math>d(x,y)</math>. Пространство называется геодезическим если любые две точки <math>x</math> и <math>y</math> в <math>M</math> можно соединить кривой с длиной, равной <math>d(x,y)</math>.
  • Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, базой для которой служит множество открытых шаров, то есть множеств следующего типа:
    <math>B(x;r)=\{y\in M\mid d(x,y)<r\}</math>,
где <math>x</math> есть точка в <math>M</math> и <math>r</math> — положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество <math>O</math> является открытым, если вместе с любой своей точкой оно содержит открытый шар с центром в этой точке.
    • Две метрики, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными.
    • Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется метризируемым.
  • Расстояние <math>d(x,S)</math> от точки <math>x</math> до подмножества <math>S</math> в <math>M</math> определяется по формуле:
    <math>d(x,S)=\inf\{d(x,s)\mid s\in S\}</math>.
Тогда <math>d(x,S)=0</math>, только если <math>x</math> принадлежит замыканию <math>S</math>.

Примеры

  • В пространстве <math>F(X,Y)</math> непрерывных и ограниченных отображений из топологического пространства <math>X</math> в метрическое пространство <math>Y</math> расстояние между двумя отображениями <math>f_1</math> и <math>f_2</math> определяется как:
    <math>d_F(f_1,f_2)=\sup\{d_Y(f_1(x),f_2(x))\colon x\in X\}</math>.
Сходимость отображений по этой метрике равнозначна их равномерной сходимости на всём пространстве <math>X</math>.
    • В частном случае, когда <math>X</math> — компактное пространство, <math>Y</math> — числовая прямая, получается пространство <math>C(X)</math> всех непрерывных функций на пространстве <math>X</math> с метрикой равномерной сходимости.
  • Пусть <math>L([a,b])</math>, <math>R([a,b])</math>, <math>C([a,b])</math> — пространства функций на отрезке <math>[a,b]</math>, соответственно интегрируемых по Лебегу, интегрируемых по Риману, и непрерывных. В них расстояние можно определить по формуле:
    <math>d(f_1,f_2)=\int\limits_a^b|f_1(x)-f_2(x)|\,dx</math>.
Для того, чтобы эта функция стала метрикой, в первых двух пространствах необходимо отождествить функции, отличающиеся на множестве меры 0. В противном случае эта функция будет всего лишь полуметрикой. (В пространстве функций, непрерывных на отрезке, функции, отличающиеся на множестве меры 0, и так совпадают.)
  • В пространстве <math>k</math> раз непрерывно дифференцируемых функций <math>C^k([a,b])</math> метрика вводится по формуле:
    <math>d_k(f_1,f_2)=\max\{d_0(f_1,f_2),\;d_0(f'_1,f'_2),\;\ldots,\;d_0(f^{(k)}_1,f^{(k)}_2)\}</math>,
где <math>d_0</math> — метрика равномерной сходимости на <math>C([a,b])</math> (см. выше).
Конечномерные пространства такого типа называются пространством Минковского. В случае размерности, равной двум — плоскостью Минковского.
является метрикой, определяющей ту же топологию. (Можно заменить <math>\frac1{2^n}</math> на любую суммируемую последовательность <math>(a_n)</math> строго положительных чисел.)
  • Множество вершин любого связного графа <math>G</math> можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины. Более общо: если каждому ребру графа приписать положительное число (длину ребра), расстояние между вершинами можно определить как минимальную сумму длин рёбер вдоль любых путей из одной вершины в другую. Частным случаем является так называемая французская железнодорожная метрика, которую нередко приводят в качестве примера метрики, не порождённой нормой.
  • Множество компактных подмножеств <math>K(M)</math> любого метрического пространства <math>M</math> можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Хаусдорфа. В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Точное определение:
    <math>D(X,Y)=\inf\left\{r \; \left| \; \begin{matrix} \forall x\in X\;\exist y\in Y\colon d(x,y)<r\\\forall y\in Y\;\exists x\in X\colon d(x,y)<r \end{matrix} \right. \right\}</math>.
  • Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова — Хаусдорфа.

Конструкции

Декартово произведение метрических пространств может быть наделено структурой метрического пространства многими способами, например:

<math>d_{X\times Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2))=d_X(x_1,x_2)+d_Y(y_1,y_2)</math>,
<math>d_{X\times Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\sqrt{d_X(x_1,x_2)^2+d_Y(y_1,y_2)^2}</math>,
<math>d_{X\times Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\max\{d_X(x_1,x_2),d_Y(y_1,y_2)\}</math>.

Эти метрики эквивалентны друг другу.

Свойства

  • Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (секвенциальная компактность).
  • Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке. Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей. Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база (но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).

Вариации и обобщения

Для данного множества <math>M</math>, функция <math>d\colon M\times M\to\R</math> называется псевдометрикой или полуметрикой на <math>M</math> если для любых точек <math>x,\;y,\;z</math> из <math>M</math> она удовлетворяет следующим условиям:

<math>d(x,x)=0</math>;
<math>d(x,y)=d(y,x)</math> (симметрия);
<math>d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)</math> (неравенство треугольника).

То есть, в отличие от метрики, различные точки в <math>M</math> могут находиться на нулевом расстоянии. Псевдометрика естественно определяет метрику на факторпространстве <math>M/{\sim}</math>, где <math>x\sim y\iff d(x,y)=0</math>.

Для данного множества <math>M</math> функция <math>d\colon M\times M\to\R</math> называется квазиметрикой, если для любых точек <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> из <math>M</math> она удовлетворяет следующим условиям:

<math>d(x,x)=0</math>;
<math>d(x,y)\leqslant c\cdot d(y,x)</math> (квазисимметрия);
<math>d(x,z)\leqslant c\cdot (d(x,y)+d(y,z))</math> (обобщённое неравенство треугольника).

Метрика на пространстве называется ультраметрикой, если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника:

Для всех <math>x</math>, <math>y</math> и <math>z</math> в <math>M</math> <math>d(x,z)\leqslant\max(d(x,y),d(y,z))</math>.

Иногда удобно рассматривать <math>\infty</math>-метрики, то есть метрики со значениями <math>[0;\infty]</math>. Для любой <math>\infty</math>-метрики можно построить конечную метрику, которая определяет ту же топологию. Например,

<math>d'(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}</math> или <math>d(x,y)=\min{(1,d(x,y))}</math>.

Также для любой точки <math>x</math> такого пространства множество точек, находящихся от неё на конечном расстоянии, образует обычное метрическое пространство, называемое метрической компонентой <math>x</math>. В частности, любое пространство с <math>\infty</math>-метрикой можно рассматривать как набор обычных метрических пространств и определить расстояние между любой парой точек в разных пространствах равным <math>\infty</math>.

Иногда квазиметрика определяется как функция, удовлетворяющая всем аксиомам для метрики за возможным исключением симметрииШаблон:SfnШаблон:Sfn. Название этого обобщения не вполне устоялосьШаблон:Sfn. В своей книге СмитШаблон:Sfn называет их «полуметриками». Тот же термин используется часто также для двух других обобщений метрик.

<math>d(x,y)\geqslant0</math> (положительность)
<math>d(x,y)=0\iff x=y</math> (положительная определённость)
d(x, y)=d(y, x) (симметрия вычеркнута)
<math>d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)</math> (неравенство треугольника)

Примеры квазиметрики встречаются в реальной жизни. Например, если дано множество <math>X</math> горных сёл, время прогулки между элементами <math>X</math> образует квазиметрику, поскольку восхождение вверх занимает больше времени, чем спуск вниз. Другим примером является топология городских кварталов, имеющих улицы с односторонним движением, когда путь из точки <math>A</math> в точку <math>B</math> состоит из различного набора улиц по сравнению с путём из <math>B</math> в <math>A</math>.

В метаметрике все аксиомы метрики выполняются, за исключением того, что расстояние между идентичными точками не обязательно равно нулю. Другими словами, аксиомами для метаметрики являются:

<math>d(x,y)\geqslant0</math>
из <math>d(x,y)=0</math> следует <math>x=y</math> (но не наоборот.)
<math>d(x,y)=d(y,x)</math>
<math>d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)</math>.

Метаметрики появляются при изучении гиперболических метрических пространств Громова и их границ. Визуальная метаметрика на таком пространстве удовлетворяет равенству <math>d(x,x)=0</math> для точек <math>x</math> на границе, но в противном случае <math>d(x,x)</math> примерно равно расстоянию от <math>x</math> до границы. Метаметрики первым определил Юсси ВяйсяляШаблон:Sfn.

Ослабление последних трёх аксиом ведёт к понятию преметрики, то есть функции, удовлетворяющей условиям:

<math>d(x,y)\geqslant0</math>
<math>d(x,x)=0</math>

Термин не устоялся, иногда он используется для обобщения других метрик, таких как псевдополуметрикиШаблон:Sfn или псевдометрикиШаблон:Sfn. В русскоязычной литературе (и в переводах с русского) этот термин иногда появляется как «праметрика»Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Любая преметрика приводит к топологии следующим образом. Для положительного вещественного <math>r</math> определяется <math>r</math>-шар с центром в точке <math>p</math> как:

<math>B_r(p)=\{x\mid d(x,p)<r\}</math>.

Множество называется открытым, если для любой точки <math>p</math> в множестве существует <math>r</math>-шар с центром в <math>p</math>, который содержится в множестве. Любое преметрическое пространство является топологическим пространством и, фактически, секвенциальным пространством. В общем случае сами <math>r</math>-шары не обязаны быть открытыми множествами согласно этой топологии. Как и для метрик, расстояние между двумя множествами <math>A</math> и <math>B</math> определяется как:

<math>d(A,B)=\inf_{x\in A,\;y\in B}d(x,y)</math>.

Это определяет преметрику на булеане преметрического пространства. Если начинать с (псевдополу-)метрического пространства, то получается псевдополуметрика, то есть, симметричную преметрика. Любая преметрика приводит к Шаблон:Не переведено 5 <math>\operatorname{cl}</math>:

<math>\operatorname{cl}(A)=\{x\mid d(x,A)=0\}</math>.

Префиксы псевдо-, квази- и полу- могут комбинироваться, например, псевдоквазиметрика (иногда называемая гемиметрикой) ослабляет как аксиому неразличимости, так и аксиому симметрии, и является просто преметрикой, удовлетворяющей неравенству треугольника. Для псевдоквазиметрических пространств открытые <math>r</math>-шары образуют базис открытых множеств. Простейшим примером псевдоквазиметрического пространства служит множество <math>\{0,1\}</math> с преметрикой, задаваемой функцией <math>d</math>, такой что <math>d(0,1)=1</math> и <math>d(1,0)=0</math>. Ассоциированное топологическое пространство является пространством Серпинского.

Множества, оснащённые расширенной псевдоквазиметрикой, изучал Уильям Ловер как «обобщённые метрические пространства»Шаблон:SfnШаблон:Sfn. С категорной точки зрения расширенные псевдометрические пространства и расширенные псевдоквазиметрические пространства вместе с их соответствующими нерасширяющимися отображениями лучше всего ведут себя на категориях метрических пространств. Можно взять произвольные произведения и копроизведения и образовать фактор-объект с данной категорией. Если опустить слово «расширенная», можно взять только конечные произведения и копроизведения. Если опустить «псевдо», нельзя будет получить фактор-объекты. Шаблон:Не переведено 5 являются обобщением метрических пространств, учитывающим эти хорошие категориальные свойства.

Линейное пространство <math>V(F)</math> называется линейным метрическим пространством, если в нём задано расстояние между его элементами и алгебраические операции непрерывны в его метрике, то есть<ref name="Krein" />:

<math>x_{n} \to x, y_{n} \to y \Rightarrow x_{n} + y_{n} \to x + y</math>
<math>x_{n} \to x, \lambda_{n} \to \lambda \Rightarrow \lambda_{n} x_{n} \to \lambda x</math>

Пример: линейное пространство всех комплексных последовательностей можно превратить в линейное метрическое пространство при помощи введения расстояния между его элементами с помощью формулы:

<math>d(x, y) = \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^{i}}\frac{|x_{i} - y_{i}|}{1+ |x_{i} - y_{i}|}</math>.

Гиперметрическое пространство — метрическое пространство в котором выполнены гиперметрические неравенства. То есть:

<math>\sum_{i<j}b_i\cdot b_j\cdot |x_i-x_j|\le 0</math>

для любых точек <math>x_1,\dots,x_n</math> и целых чисел <math>b_1,\dots,b_n</math> таких, что <math>\sum b_i=1</math>.<ref>M. M. Deza, M. Laurent, Geometry of cuts and metrics, Algorithms and Combinatorics, 15, Springer-Verlag, Berlin, 1997.</ref> При <math>b_1=b_2=1</math> и <math>b_3=-1</math> гиперметрическое неравенство превращается в обычное неравенство треугольника:

<math>|x_1-x_2|-|x_1-x_3|-|x_2-x_3|\le 0.</math>

Пример гиперметрического пространства: <math>\ell_1</math>-пространство.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Шаблон:Навигация

Шаблон:Топология

Источник — https://camokathomelab.servebeer.com/mediawiki/index.php?title=Метрическое_пространство&oldid=3018