Метрика Хаусдорфа

Метрика Хаусдорфа есть естественная метрика, определённая на множестве всех непустых компактных подмножеств метрического пространства. Таким образом, она превращает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства в метрическое пространство.

По-видимому, первое упоминание этой метрики содержится в книге Феликса Хаусдорфа «Теория множеств», первое издание 1914 года. Двумя годами позже та же метрика описывается в книге Вильгельма Бляшке «Круг и шар», возможно независимо, так как не содержит ссылки на книгу Хаусдорфа.

Определение

Пусть <math>X</math> и <math>Y</math> суть два непустых компактных подмножества метрического пространства <math>M</math>. Тогда расстояние по Хаусдорфу, <math>d_H(X,\;Y)</math>, между <math>X</math> и <math>Y</math> есть минимальное число <math>r</math> такое, что замкнутая <math>r</math>-окрестность <math>X</math> содержит <math>Y</math> и также замкнутая <math>r</math>-окрестность <math>Y</math> содержит <math>X</math>.

Замечания

Другими словами, если <math>|xy|</math> обозначает расстояние между точками <math>x</math> и <math>y</math> в <math>M</math> то

<math>d_H(X, Y) = \max\Big\{\sup_{x\in X}\inf_{y\in Y}|xy|, \sup_{y\in Y}\inf_{x\in X}|xy|\Big\}.</math>

Эквивалентное определение:

<math>d_H(X, Y) = \sup_{m\in M}\big\{|\operatorname{dist}_X(m) - \operatorname{dist}_Y(m)|\big\},</math>

где <math>\operatorname{dist}_X\colon M \to \R</math> обозначает функцию расстояния до множества <math>X</math>.

Свойства

Пусть <math>F(M)</math> обозначает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства <math>M</math> с метрикой Хаусдорфа:

• Топология пространства <math>F(M)</math> полностью определяется топологией <math>M</math>.
• (Теорема выбора Бляшке) <math>F(M)</math> компактно тогда и только тогда, когда компактно <math>M</math>.
• <math>F(M)</math> полно тогда и только тогда, когда <math>M</math> полное.

Вариации и обобщения

• Иногда метрика Хаусдорфа рассматривается на множестве всех замкнутых подмножеств метрического пространства, в этом случае расстояние между некоторыми подмножествами может равняться бесконечности.
• Иногда метрика Хаусдорфа рассматривается на множестве всех подмножеств метрического пространства. В этом случае она является только псевдометрикой и не является метрикой, так как «расстояние» между различными подмножествами может равняться нулю.
• В евклидовой геометрии, часто применяется метрика Хаусдорфа с точностью до конгруэнтности. Пусть <math>X</math> и <math>Y</math> два компактных подмножества евклидова пространства, тогда <math>D_H(X,\;Y)</math> определяется как минимум <math>d_H\bigl(I(X),\;Y\bigr)</math> по всем движениям евклидова пространства <math>I</math>. Строго говоря, эта метрика на пространстве классов конгруэнтности компактных подмножеств евклидова пространства.
• Метрика Громова — Хаусдорфа аналогична метрике Хаусдорфа с точностью до конгруэнтности. Она превращает множество (изометрических классов) компактных метрических пространств в метрическое пространство.

Литература

• Шаблон:Книга
• Скворцов В. А. Примеры метрических пространств // Библиотека «Математическое просвещение» Шаблон:Wayback. — 2001. — Выпуск 9.
• Хаусдорф «Теория множеств»
• Фейеш Тот, Ласло Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве// М., Физматгиз, 1958. 364 с. Тираж 4500 экз.