Замкнутое множество
Замкнутое множество — множество, содержащее свои предельные точки. Впервые определено Георгом Кантором в 1884 году<ref>G. Cantor. “De la puissance des ensembles parfaits de points”. Acta Math. 4.1 (1884). Extrait d’une lettre adressée à l’éditeur, pp. 381–392.</ref>.
Определения
Пусть дано топологическое пространство <math>(X,\tau)</math>, тогда следующие утверждения эквивалентны:
- Множество <math>A\subseteq X</math> замкнуто в <math>X</math>.
- <math>A^c=X\setminus A</math>, является открытым подмножеством <math>(X,\tau)
</math>, то есть <math>A^c\in \tau</math>.
- <math>A</math> совпадает со своим замыканием в <math>X</math>.
- <math>A</math> содержит все свои предельные точки.
- <math>A</math> содержит все свои граничные точки.
Замечания
Шаблон:ЯкорьВажный подкласс замкнутых множеств образуют канонически замкнутые множества, каждое из которых является замыканием какого-либо открытого множества (и, следовательно, совпадает с замыканием своей внутренности). В каждом замкнутом множестве <math>F</math> содержится максимальное канонически замкнутое множество — им будет замыкание внутренности множества <math>F</math><ref>Шаблон:Книга — C. 24.</ref>.
Альтернативное определение замкнутого множества вводится с помощью последовательностей и сетей. Так, множество <math>A</math> топологического пространства <math>X</math> замкнуто в <math>X</math> тогда и только тогда, когда любой предел всякой сети из <math>A</math> также лежит в <math>A</math>. В пространствах, удовлетворяющих первой аксиоме счётности (в том числе метрических пространствах) достаточно доказать сходимость всех последовательностей, вместо сетей. Одним из достоинств этого определения является возможность определить Шаблон:Не переведено — обобщения топологических пространств. Стоит заметить, что такое определение зависит от окружающего пространства <math>X</math>, так как сходимость последовательности или сети зависит от точек, содержащихся в <math>X</math>. Будем говорить, что точка <math>x\in X</math> близка к множеству <math>A\subseteq X</math>, если <math>x\in \mathrm{cl}_X A</math>, где <math>\mathrm{cl}_X A</math> означает замыкание <math>A</math> в <math>X</math>. Тогда можно непосредственно определить замкнутые множества:
множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои близкие точки.
В терминах сходимости сетей, точка <math>x\in X</math> близка к <math>A</math>, только если существует сеть в <math>A</math>, сходящаяся к <math>x</math>.
Замкнутые множества можно также определить через непрерывные функции: отображение <math>f:X\rightarrow Y</math> непрерывно тогда и только тогда, когда <math>\forall A\subseteq X : f(\mathrm{cl}_X A)\subseteq \mathrm{cl_Y}(f(A))</math>, то есть близкие точки <math>A</math> при <math>f</math> переводятся в близкие точки образа <math>f</math>.
Выше, понятие замкнутого множество было дано в терминах открытых множеств, которое справедливо в контексте топологических пространств и пространств, несущих топологическую структуру.
Замкнутость множества зависит от пространства, в которое оно вложено. Так, например, компактные хаусдорфовы пространства являются «абсолютно замкнутыми» в том смысле, что при вложении компактного хаусдорфова пространства <math>D</math> в произвольное хаусдорфово пространство <math>X</math>, <math>D</math> будет всегда замкнуто в <math>X</math>. В этом смысле, компактификация Стоуна — Чеха может быть описана, как дополнение пространства пределами расходящихся сетей.
Замкнутые множества дают удобное определение компактности: топологическое пространство <math>X</math> компактно тогда и только тогда, когда всякое семейство непустых замкнутых подмножеств <math>X</math> с пустым пересечением допускает конечное подсемейство с пустым пересечением.
Связанные определения
Множества, которые одновременно являются и открытыми, и замкнутыми, называются открыто-замкнутыми.
Множества, полученные объединением счётного числа множеств называются F-сигма-множествами или <math>F_\sigma</math>.
Свойства
- Замкнутое множество содержит свою границу. Это справедливо в том числе для множеств с пустой границей.
- Пересечение любого семейства замкнутых множеств также замкнуто.
- Объединение конечного семейства замкнутых множеств замкнуто.
- Само пространство и пустое множество являются замкнутыми.
- Топологическое пространство <math>X</math> несвязно, если существуют непересекающиеся непустые открытые множества <math>A,B\subset X</math>, объединение которых есть <math>X</math>.
Примеры
- Замкнутый промежуток <math>[a,b]</math> числовой прямой замкнут.
- Единичный отрезок <math>[0,1]</math> замкнут в метрическом пространстве над <math>\mathbb{R}</math>, и множество <math>[0,1]\cap\mathbb{Q}</math> замкнуто в <math>\mathbb{Q}</math>, но не замкнуто в <math>\mathbb{R}</math>.
- Множество <math>[0,1)</math> ни замкнуто, ни открыто.
- Луч <math>[1,+\infty)</math> замкнут.
- Канторово множество является необычным примером замкнутого множества, состоящего только из своих граничных точек, являясь при этом нигде не плотным.
- Одноточечные множества замкнуты в пространствах, удовлетворяющих первой аксиоме отделимости, и хаусдорфовых пространствах.
- Множество целых чисел <math>\mathbb{Z}</math> является бесконечным и неограниченным замкнутым множеством в <math>\mathbb{R}</math>.
- Отображение <math>f:X\rightarrow Y</math> между топологическими пространствами непрерывно тогда и только тогда, когда прообразы замкнутых множеств <math>Y</math> замкнуты в <math>X</math>.