Нигде не плотное множество

Нигде не плотное множество — множество <math> A </math> топологического пространства <math> (X,\tau) </math>, внутренность замыкания которого пуста (<math>\operatorname{Int} \bar A = \varnothing </math>), иначе говоря, множество, которое не является плотным ни в одной окрестности пространства <math>X</math>.

Эквивалентно, множество <math> A \subseteq X </math> является нигде не плотным в <math> X </math> тогда и только тогда, когда в каждом непустом открытом множестве <math>U</math> можно найти непустое открытое множество <math> V </math>, не пересекающееся с <math> A </math> (то есть <math> V \subseteq U \setminus A </math>).

Свойства

• Семейство <math> {\rm NWD} (X) </math> всех нигде не плотных множеств пространства <math> X </math> образуют идеал подмножеств <math> X </math>, то есть:

  если <math> A, B \in {\rm NWD} (X) </math>, то <math> A \cup B \in {\rm NWD} (X) </math>,

  если <math> A \in {\rm NWD} (X) </math> и <math> B \subseteq A </math>, то <math> B \in {\rm NWD} (X) </math>,

  <math> X \notin {\rm NWD} (X) </math>.

• Если <math> A \subseteq Y \subseteq X </math> и <math> A </math> является нигде не плотным в <math> Y </math> (<math> A \in {\rm NWD} (Y) </math> где топология в <math> Y </math> индуцированна от <math> X</math>), тогда <math> A \in {\rm NWD} (X) </math>.
• Пусть <math> A \subseteq Y \subseteq X </math> и <math> Y </math> — плотное подмножество в <math> X </math>. Тогда <math> A \in {\rm NWD} (X) </math> тогда и только тогда, когда <math> A \in {\rm NWD} (Y) </math>.
• Множество <math> A </math> является нигде не плотным тогда и только тогда, когда его замыкание является нигде не плотным множеством. Таким образом, каждое нигде не плотное множество содержится в некотором замкнутом нигде не плотном множестве.
• Замкнутое нигде не плотное множество является границей открытого множества.

См. также

• Множество первой категории

Литература

• Шаблон:Книга
• О. Виро. Элементарная топология. 2010.