Плотное множество
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Пло́тное мно́жество — подмножество пространства, точками которого можно сколь угодно хорошо приблизить любую точку объемлющего пространства. Формально говоря, <math>A</math> плотно в <math>X</math>, если всякая окрестность любой точки <math>x</math> из <math>X</math> содержит элемент из <math>A</math>.
Определения
- Пусть даны топологическое пространство <math>(X,\mathcal{T})</math> и два подмножества <math>A,B\subset X.</math> Тогда множество <math>A</math> называется плотным во множестве <math>B</math>, если любая окрестность любой точки <math>B</math> содержит хотя бы одну точку из <math>A</math>, то есть
- <math>\forall x \in B \quad \forall U\in \mathcal{T}\quad \bigl(x \in U\bigr) \Rightarrow \bigl(U \cap A \neq \varnothing\bigr).</math>
- Множество <math>A</math> называется всюду плотным, если оно плотно в <math>X.</math>
Замечание
Приведённое выше определение плотности множества эквивалентно любому из нижеперечисленных:
- Множество <math>A</math> плотно в <math>B</math> тогда и только тогда, когда замыкание <math>A</math> содержит <math>B</math>, то есть <math>\bar{A} \supset B</math>. В частности, <math>A</math> всюду плотно, если <math>\bar{A} = X</math>.
- Множество <math>A</math> плотно в <math>B</math> тогда и только тогда, когда внутренность дополнения к <math>A</math> не пересекается с <math>B</math>, то есть <math>\left(A^{\complement}\right)^0 \cap B = \varnothing</math>. В частности, <math>A</math> всюду плотно, если <math>\left(A^{\complement}\right)^0 = \varnothing</math>.
Примеры
- Множество рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math> плотно в пространстве вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math>.
См. также
Литература
- Р. А. Александрян, Э. А. Мирзаханян. Общая топология — М: Высшая школа, 1979.
- Келли Дж. Л. Общая топология — Шаблон:М: Наука, 1968
- Энгелькинг Р. Общая топология — Шаблон:М: Мир, 1986
- Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Элементарная топология Шаблон:Wayback. Учебник в задачах (рус., англ.)