Окрестность

Файл:Neighborhood illust1.svg

На плоскости подмножество <math>V</math> является окрестностью точки <math>p</math>, если вокруг точки можно нарисовать небольшой диск, который будет целиком содержаться в <math>V</math>.

Файл:Neighborhood illust2.svg

Прямоугольник не может являться окрестностью своих вершин.

Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.

Определения

Математический анализ

Пусть <math>\varepsilon>0</math> произвольное фиксированное число.

Окрестностью точки <math>x_0</math> на числовой прямой (иногда говорят <math>\varepsilon</math>-окрестностью) называется множество точек, удаленных от <math>x_0</math> менее чем на <math>\varepsilon</math>, то есть <math>O_\varepsilon(x_0) =\{x: |x-x_0|< \varepsilon\}</math>.

В многомерном случае функцию окрестности выполняет открытый <math>\varepsilon</math>-шар с центром в точке <math>x_0</math>.

В банаховом пространстве <math>(B,\|\cdot\|)</math> окрестностью с центром в точке <math>x_0</math> называют множество <math>A=\{x\in B:\|x-x_0\|<\varepsilon\}</math>.

В метрическом пространстве <math>(M,\rho)</math> окрестностью с центром в точке <math>y</math> называют множество <math>A=\{x\in M:\rho(x,y)<\varepsilon\}</math>.

Общая топология

Пусть задано топологическое пространство <math>(X,\mathcal{T})</math>, где <math>X</math> — произвольное множество, а <math>\mathcal{T}</math> — определённая на <math>X</math> топология.

• Множество <math>V \subset X</math> называется окрестностью точки <math>x\in X</math>, если существует открытое множество <math>U\in \mathcal{T}</math> такое, что <math>x \in U \subset V</math>.
• Аналогично окрестностью множества <math>M \subset X</math> называется такое множество <math>V \subset X</math>, что существует открытое множество <math>U\in \mathcal{T}</math>, для которого выполнено <math>M \subset U \subset V</math>.

Замечания

Шаблон:Родственный проект{{#if:||}}{{#if: окрестность || {{#ifeq: Окрестность | окрестность | | }} }}

• Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность <math>V</math> была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество <math>U</math>. Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта.Шаблон:Sfn Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако в каждом случае важно фиксировать терминологию.
• Окрестностью множества точек <math>M</math> называется такое множество <math>V</math>, что <math>V</math> есть окрестность любой точки <math>x\in M</math>.

Пример

Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией. Тогда <math>(-1,2)</math> является открытой окрестностью, а <math>[-1,2]</math> — замкнутой окрестностью точки <math>0</math>.

Вариации и обобщения

Проколотая окрестность

Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.

Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью точки, так как согласно определению окрестности окрестность должна включать и саму точку.

Формальное определение: Множество <math>\dot{V}</math> называется проколотой окрестностью (вы́колотой окрестностью) точки <math>x\in X</math>, если

<math>\dot{V} = V \setminus \{x\},</math>

где <math>V</math> — окрестность <math>x</math>.

См. также

• Глоссарий общей топологии

Примечания

<references/>

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга