Банахово пространство

Шаблон:Значения Ба́нахово пространство — нормированное векторное пространство, полное по метрике, порождённой нормой. Основной объект изучения функционального анализа.

Банаховы пространства названы в честь польского математика Стефана Банаха , который ввёл это понятие и систематически изучал его в 1920–1922 годах вместе с Гансом Ханом и Эдуардом Хелли.  Морис Рене Фреше был первым, кто использовал термин «банахово пространство», а Банах, в свою очередь, затем ввёл термин «пространство Фреше». Банаховы пространства первоначально возникли в результате изучения функциональных пространств Гильбертом, Фреше и Риссом в начале века. Банаховы пространства играют центральную роль в функциональном анализе. В других областях анализа изучаемые пространства часто являются банаховыми пространствами.

Примеры

Некоторые примеры банаховых пространств (далее через <math>K</math> обозначено одно из полей <math>\R</math> или <math>\Complex</math>):

• Евклидовы пространства <math>K^n</math> с евклидовой нормой, определяемой для <math>x=(x_1,\;\ldots,\;x_n)</math> как <math>\|x\|=\sqrt{\sum|x_i|^2}</math>, являются банаховыми пространствами.
• Пространство всех непрерывных функций <math>f\colon[a,\;b]\to K</math>, определённых на закрытом интервале <math>[a,\;b]</math> будет банаховым пространством, если мы определим его норму как <math>\|f\|=\sup\{|f(x)|\colon x\in[a,\;b]\}</math>. Такая функция будет нормой, так как непрерывные функции на закрытом интервале являются ограниченными. Пространство с такой нормой является полным, а полученное банахово пространство обозначается как <math>C[a,b]</math>. Этот пример можно обобщить к пространству <math>C(X)</math> всех непрерывных функций <math>X\to K</math>, где <math>X</math> — компактное пространство, или к пространству всех ограниченных непрерывных функций <math>X\to K</math>, где <math>X</math> — любое топологическое пространство, или даже к пространству <math>B(X)</math> всех ограниченных функций <math>X\to K</math>, где <math>X</math> — любое множество. Во всех этих примерах мы можем перемножать функции, оставаясь в том же самом пространстве: все эти примеры являются банаховыми алгебрами.
• Если <math>p\geqslant 1</math> — вещественное число, то пространство всех бесконечных последовательностей <math>(x_1,\;x_2,\;x_3,\;\ldots)</math> элементов из <math>K</math>, таких что ряд <math>\sum|x_i|^p</math> сходится, является банаховым относительно нормы, равной корню степени <math>p</math> из суммы этого ряда, и обозначается <math>l^p</math>.
• Банахово пространство <math>l^\infty</math> состоит из всех ограниченных последовательностей элементов из <math>K</math>; норма такой последовательности определяется как точная верхняя грань абсолютных величин (модулей) элементов последовательности.
• Снова, если <math>p\geqslant 1</math> — вещественное число, можно рассматривать все функции, интегрируемые по Лебегу (причём степень <math>p</math> их модуля также суммируема). Корень степени <math>p</math> этого интеграла от <math>p</math>-й степени модуля функции определим как полунорму <math>f</math>. Это множество — не банахово пространство, поскольку есть ненулевые функции, чья норма будет равна нулю. Определим отношение эквивалентности следующим образом: <math>f</math> и <math>g</math> эквивалентны тогда и только тогда, когда полунорма разности <math>f-g</math> равна нулю. Множество классов эквивалентности относительно этого отношения уже является банаховым пространством; оно обозначается как <math>L^p[a,\;b]</math>. Важно использовать именно интеграл Лебега, а не интеграл Римана, поскольку интеграл Римана не порождает полное пространство. Эти примеры можно обобщить. См., например, L^p-пространства.
• Если <math>X</math> и <math>Y</math> — банаховы пространства, то можно составить их прямую сумму <math>X\oplus Y</math>, которая опять-таки будет банаховым пространством. Можно и обобщить этот пример к прямой сумме произвольно большого числа банаховых пространств.
• Если <math>M</math> — замкнутое подпространство банахова пространства <math>X</math>, то факторпространство <math>X/M</math> снова является банаховым.
• Любое гильбертово пространство тоже является банаховым. Обратное неверно.
• Если <math>V</math> и <math>W</math> — банаховы пространства над одним полем <math>K</math>, тогда множество непрерывных <math>K</math>-линейных отображений <math>A\colon V\to W</math> обозначается <math>L(V,\;W)</math>. Заметим, что в бесконечномерных пространствах не все линейные отображения автоматически являются непрерывными. <math>L(V,\;W)</math> — векторное пространство, и, если норма задана как <math>\|A\|=\sup\{\|Ax\|\colon x\in V,\;\|x\|\leqslant 1\}</math>, является также и банаховым.
  • Пространство <math>L(V)=L(V,\;V)</math> представляет собой унитарную банахову алгебру; операция умножения в ней задаётся как композиция линейных отображений.

Типы банаховых пространств

• Гильбертово пространство
• Рефлексивное пространство

Литература

• Виноградов И. М. Банахово пространство // Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977—1985.