Категория Бэра

Шаблон:Значения Категория Бэра — один из способов различать «большие» и «маленькие» множества. Подмножество топологического пространства может быть первой или второй категории Бэра.

Названа в честь французского математика Рене-Луи Бэра.

Определения

• Топологические пространства, допускающие счётное покрытие нигде не плотными подмножествами, относятся к пространствам первой категории Бэра, не допускающие такого покрытия — к пространствам второй категории Бэра.

• Подмножество топологического пространства <math>X</math>, которое можно представить в виде счётного объединения нигде не плотных в <math>X</math> множеств, называется множеством первой категории Бэра в пространстве <math>X</math>.

• Множество, которое нельзя представить в таком виде, называется множеством второй категории Бэра в пространстве <math>X</math>.

• Топологическое пространство, в котором любое множество первой категории не содержит внутренних точек, называется пространством Бэра.

Свойства

Для целей анализа удобно, когда рассматриваемое пространство относится ко второй категории Бэра, так как отнесение к этой категории равносильно справедливости теорем существования, таких как:

1. Если пространство второй категории Бэра покрыто счётным семейством замкнутых множеств, то хотя бы одно из них имеет внутреннюю точку (теорема существования внутренней точки).
2. В пространстве второй категории Бэра всякое счётное семейство открытых всюду плотных множеств имеет непустое пересечение (теорема существования общей точки).

Если всё-таки пространство относится к первой категории Бэра, из этого можно получить лишь результаты отрицательного характера — например, всякая метрика на этом пространстве, совместимая с топологией, неполна, а замыкание любого (непустого) открытого подмножества некомпактно. По этой причине, например, пространство многочленов неполно в любой метрике, в которой оно является топологическим векторным пространством (счётномерное векторное пространство во всякой векторной топологии относится к первой категории Бэра).

Применение категорий Бэра к подмножествам заданного топологического пространства имеет смысл, если объемлющее пространство относится ко второй категории Бэра (иначе все подмножества будут первой категории в данном пространстве). Грубо говоря, множества первой категории считаются «маленькими» («тощими»), а второй — «большими» («тучными»).

В этом смысле понятие категории напоминает понятие меры, однако в отличие от меры, категория подмножества зависит только от топологии объемлющего пространства.

Это делает удобным её применение в пространствах без естественно определённой меры. Например, используя категорию, можно придать точный смысл таким понятиям, как «почти все компактные выпуклые подмножества евклидова пространства».

Теорема Бэра

Теорема. Полные метрические пространства и локально компактные хаусдорфовы пространства относятся к пространствам второй категории Бэра.

Для доказательства достаточно показать, что всякое счётное семейство открытых всюду плотных множеств <math>G_k\;(k=1,\;2,\;\ldots)</math> имеет непустое пересечение.

В случае полного метрического пространства индуктивно строится последовательность шаров <math>B_k</math> такая, что при каждом <math>k</math> <math>\bar{B}_{k+1}\subset B_k\cap G_k</math> и радиус шара <math>B_k</math> был бы меньше, чем <math>2^{-k}</math>. Последовательность стягивающихся замкнутых шаров имеет непустое пересечение в силу полноты пространства, и общая точка этих шаров будет общей и для множеств <math>G_k</math>.

В случае локально компактного хаусдорфова пространства индуктивно строится последовательность открытых множеств <math>B_k</math> такая, что при каждом <math>k</math> <math>\bar{B}_{k+1}\subset B_k\cap G_k</math> и замыкание множества <math>B_k</math> компактно. Тогда последовательность множеств <math>\bar B_k</math> образует центрированную систему замкнутых подмножеств в компактном хаусдорфовом пространстве <math>\bar{B}_1</math> и потому имеет непустое пересечение.

Пример. В качестве приложения категорий Бэра, можно показать, что множество иррациональных точек <math>\R\setminus\Q</math> не может быть множеством всех точек разрыва никакой функции на числовой прямой. Множество всех точек разрыва любой функции <math>f</math> на <math>\R</math> является счётным объединением замкнутых множеств <math>E_n</math>, состоящих из тех точек, в которых колебание функции <math>f</math> не меньше, чем <math>1/n</math>. Если бы искомая функция существовала, множества <math>E_n</math> были бы нигде не плотными, так как их объединение не имеет внутренних точек. Из этого получалось бы, что множество <math>\R\setminus\Q</math> первой категории в <math>\R</math>, а так как его дополнение тоже имеет первую категорию, то и всё пространство <math>\R</math> было бы первой категории, что противоречит его полноте.

См. также

G-дельта-множество

Ссылки

• Окстоби Дж. Мера и категория. — Перев. с англ. — М.: Мир, 1974. — 157 с.