Хаусдорфово пространство

Хаусдорфово пространство — топологическое пространство, удовлетворяющее сильной аксиоме отделимости T₂.

Названо в честь Феликса Хаусдорфа — одного из основоположников общей топологии. Его первоначальное определение топологического пространства включало в себя требование, которое теперь называется хаусдорфовостью.

Иногда для обозначения структуры хаусдорфового топологического пространства на множестве применяется термин хаусдорфова топология.

Определение

Файл:Hausdorff space.svg

Топологическое пространство <math>X</math> называется хаусдорфовым, если любые две различные точки <math>x</math>, <math>y</math> из <math>X</math> обладают непересекающимися окрестностями <math>U(x)</math>, <math>V(y)</math>.

Примеры и контрпримеры

Хаусдорфовыми являются все метрические пространства и метризуемые пространства, в частности: евклидовы пространства <math>\R^n</math>, многообразия, большинство используемых в анализе бесконечномерных функциональных пространств, таких, как <math>L^p\ </math> или <math>W^{1,\;p}</math>, <math>p\geqslant 1\ </math>.

Если топологическая группа является T₀-пространством, то она хаусдорфова. Если T₀ не выполнено, то факторизация по замыканию нейтрального элемента группы даст хаусдорфово пространство<ref>Шаблон:Книга</ref>. По этой причине некоторые источники включают хаусдорфовость в определение топологической группы.

Простейший (и важный) пример нехаусдорфова пространства — связное двоеточие, а в более общем случае — алгебры Гейтинга. Не является хаусдорфовой, например, топология Зарисского на алгебраическом многообразии. Нехаусдорфов, вообще говоря, спектр кольца.

Свойства

• Единственность предела последовательности (в более общем случае — фильтра), если таковой предел существует.
• Свойство, равносильное определению хаусдорфовости топологии, — замкнутость диагонали <math>\Delta=\{(x,\;x)\;|\;x\in X\}</math> в декартовом квадрате <math>X\times X</math> пространства <math>X</math>.
• В хаусдорфовом пространстве замкнуты все его точки (то есть одноточечные множества).
• Подпространство и декартово произведение хаусдорфовых пространств тоже хаусдорфовы.
• Вообще говоря, хаусдорфовость не передаётся факторпространствам.
• Компактное хаусдорфово пространство нормально и оно метризуемо тогда и только тогда, когда имеет счётную базу топологии.
• Любое непрерывное взаимно однозначное отображение компактного пространства в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом.
• Любое конечное хаусдорфово пространство дискретно.

Литература

• Шаблон:Книга