Гомеоморфизм
Гомеоморфи́зм — непрерывная биекция с непрерывной обратной. Является центральным понятием топологии.
Примерами гомеоморфизмов являются подобия геометрических фигур и изометрии метрических пространств. Однако в общем случае они не обязаны сохранять геометрические свойства. Так, гомеоморфизмы могут изменять углы, длины, площади, объёмы и кривизну, растягивать объекты, скручивать, мять и изгибать.
Пространства называются гомеомо́рфными, если между ними существует гомеоморфизм. Все топологические свойства гомеоморфных пространств одинаковы, поэтому с точки зрения топологии такие пространства неразличимы.
С точки зрения теории категорий гомеоморфизмы являются изоморфизмами в категории топологических пространств. Иными словами, гомеоморфизм устанавливает взаимно однозначное соответствие между топологическими структурами.
Термин «гомеоморфизм» происходит от сочетания двух древнегреческих слов: Шаблон:Lang-grc2 — похожий и Шаблон:Lang-grc2 — форма.
Определение
Пусть <math>(X,\mathcal{T}_X)</math> и <math>(Y,\mathcal{T}_Y)</math> — два топологических пространства. Функция <math>f:X \to Y</math> называется гомеоморфизмом, если:
- <math>f</math> взаимно однозначна;
- <math>f</math> непрерывна;
- обратная функция <math>f^{-1}</math> непрерывна.
Иными словами, <math>f</math> биективна и для любого подмножества <math>A\subseteq X</math> условие <math>A\in \mathcal{T}_X</math> выполняется в том и только в том случае, если <math>f(A)\in \mathcal{T}_Y</math>.
Если между пространствами <math>X</math> и <math>Y</math> существует гомеоморфизм, то пишут <math>X\simeq Y</math> или <math>X\cong Y</math> и называют их гомеоморфными или топологически эквивалентными. Гомеоморфизм из пространства в себя называется его автогомеоморфизмом.
Примеры
- На плоскости любые два выпуклых многоугольника гомеоморфны.
- Пространства разной мощности не гомеоморфны. Два пространства, наделённых дискретной топологией, гомеоморфны тогда и только тогда, когда они равномощны.
- Произвольный открытый интервал <math>(a,b) \subset \mathbb{R}</math> гомеоморфен всей вещественной прямой <math>\mathbb{R}</math>. Гомеоморфизм <math>f:(a,b) \to \mathbb{R}</math> задаётся, например, формулой
- <math>f(x) = \mathrm{ctg}\left(\pi\frac{x-a}{b-a}\right).</math>
- В частности, любые два открытых интервала гомеоморфны.
- Отрезок <math>[0, \; 1]</math> не гомеоморфен вещественной прямой <math>\mathbb{R}</math>. Это связано с тем, что отрезок компактен, а прямая — нет.
- Если <math>n \neq m</math>, то <math>\R^n \not\cong \R^m</math>.
- Теорема о гомеоморфизмеШаблон:Нет АИ. Пусть <math>|a,b|\subset \mathbb{R}</math> — интервал на числовой прямой (открытый, полуоткрытый или замкнутый). Пусть <math>f:|a,b| \to f\bigl( |a,b| \bigr)\subset \R</math> — биекция. Тогда <math>f</math> является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда <math>f</math> строго монотонна и непрерывна на <math>|a,b|.</math>
Топологические инварианты и свойства
Характеристика топологических пространств, которая принимает одинаковое значение на гомеоморфных пространствах, называется топологическим инвариантом. Примерами таких характеристик являются: количество компонент связности, размерность, эйлерова характеристика, числа Бетти, фундаментальная группа, группы гомологий и когомологий, гомотопические группы.
Аналогично определяются топологические свойства, то есть свойство пространства называется топологическим, если оно сохраняется при гомеоморфизмах. Примерами таких свойств являются: метризуемость, все виды отделимости, связность и линейная связность, компактность, односвязность, свойство быть топологическим многообразием.
Некоторые топологические инварианты и свойства определены лишь для пространств особого типа. Примером такого инварианта является род поверхности. Кроме того, ориентируемость является свойством многообразия.
Локальный гомеоморфизм
Непрерывное отображение <math>f:X\to Y</math> топологических пространств называется локальным гомеоморфизмом, если у каждой точки пространства <math>X</math> имеется такая окрестность <math>U</math>, что образ <math>f(U)</math> открыт в <math>Y</math> и сужение <math>f|_{U}:U\to f(U)</math> является гомеоморфизмомШаблон:Sfn.
Любой гомеоморфизм является локальным гомеоморфизмом, однако обратное неверно. Так, локальный гомеоморфизм является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда он биективен.
Например, отображение <math>x \to (\cos x, \sin x)</math> является локальным гомеоморфизмом из вещественной прямой <math>{\mathbb R}</math> в окружность <math>S^1</math>. Более того, каждое накрытие является локальным гомеоморфизмом. Кроме того, среди тождественных вложений <math>(0,1) \to {\mathbb R}</math> и <math>[0,1] \to {\mathbb R}</math> первое является локальным гомеоморфизмом, а второе — нет.
Локальные гомеоморфизмы не обязательно сохраняют топологические свойства. Однако если между топологическими пространствами существует локальный гомеоморфизм, то они имеют одинаковые так называемые локальные свойства. Среди них: локальная связность, локальная линейная связность, локальная компактность, локальная односвязность и локальная метризуемость.