Связное пространство
(перенаправлено с «Компонента связности»)
Связное пространство — топологическое пространство, которое не может быть представлено как объединение двух или более непересекающихся непустых открытых подмножеств. Связность является важнейшим топологическим инвариантом и обобщает понятие линейной связности.
Определение
Непустое топологическое пространство называется несвязным, если его можно представить в виде объединения двух непустых непересекающихся открытых подмножеств. Связное пространство — топологическое пространство, не являющееся несвязным.
Пустое пространство обычно считается несвязным, хотя в литературе по этому поводу имеются разночтения.
Говорят, что подмножество топологического пространства является связным, если оно связано как пространство с индуцированной топологией.
Эквивалентные определения
Пусть <math>X</math> — топологическое пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:
- <math>X</math> связно.
- <math>X</math> нельзя разбить на два непустых непересекающихся замкнутых подмножества.
- Единственные подмножества <math>X</math>, являющиеся одновременно открытыми и замкнутыми, — пустое множество <math>\varnothing</math> и всё пространство <math>X</math>.
- Единственные подмножества с пустой границей — пустое множество <math>\varnothing</math> и всё пространство <math>X</math>.
- <math>X</math> не может быть представлено в виде объединения двух непустых множеств, каждое из которых не пересекается с замыканием другого.
- Единственными непрерывными функциями из <math>X</math> в двухточечное множество (с дискретной топологией) являются константы.
Связанные определения
- Каждый элемент топологического пространства содержится в его некотором максимальном связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества называются его компонентами связности, связными компонентами или просто компонентами.
- Пространство, в котором каждая компонента связности состоит из одной точки, называется вполне несвязным. Примером могут служить любые пространства с дискретной топологией, пространство <math>\mathbb{Q}</math> рациональных чисел на числовой прямой и канторово множество.
- Если существует база топологии пространства <math>X</math>, состоящая из связных открытых множеств, тогда топология пространства <math>X</math> и само пространство <math>X</math> (в этой топологии) называются локально связными.
- Связное компактное хаусдорфово пространство называется континуумом.
- Пространство <math>X</math>, для любых двух различных точек <math>x</math> и <math>y</math> которого существуют открытые непересекающиеся множества <math>U \ni x</math> и <math>V \ni y</math> такие, что <math>X = U \cup V</math>, называется вполне раздельным.Шаблон:Нет АИ Любое вполне раздельное пространство вполне несвязно, однако обратное неверно. Например, рассмотрим пространство, состоящее из двух копий множества <math>\mathbb{Q}</math>, введём на нём отношение эквивалентности по правилу <math>q \sim p \Leftrightarrow q = p,\; q \neq 0,\; p \neq 0</math>. Факторпространство по этому отношению является вполне несвязным, однако для двух (по определению различных) копий нуля не найдётся двух открытых множеств, удовлетворяющих определению вполне раздельного пространства.
Свойства
- В любом топологическом пространстве одноточечные подмножества — связные.
- В связном пространстве каждое подмножество (кроме пустого и всего пространства) имеет непустую границу.
- Подмножества с пустой границей являются одновременно открытыми и замкнутыми подмножествами и называются просто открыто-замкнутыми. В связном пространстве все открыто-замкнутые подмножества тривиальны — либо пусты, либо совпадают со всем пространством.
- Образ связного множества при непрерывном отображении связен.
- Связность пространства — топологическое свойство, то есть свойство, инвариантное относительно гомеоморфизмов.
- Замыкание связного подмножества <math>A</math> связно.
- Более того, всякое «промежуточное» подмножество <math>B</math> (<math>A\subset B \subset \bar{A}</math>) тоже связно. Другими словами, если связное подмножество <math>A</math> плотно в <math>B</math>, то множество <math>B</math> тоже связно.
- Пусть <math>\{A_{\alpha}\}</math> — семейство связных множеств, каждое из которых имеет непустое пересечение со связным множеством <math>A</math>. Тогда множество
- <math>A \cup \left(\bigcup_{\alpha} A_{\alpha}\right)</math>
- тоже связно. (То есть если к связному множеству подклеивать произвольное семейство связных множеств, объединение всегда будет оставаться связным.)
- Произведение связных пространств связно. Если хоть один из множителей несвязен, произведение будет несвязным.
- Каждая компонента пространства <math>X</math> является замкнутым множеством. Различные компоненты пространства <math>X</math> не имеют общих точек. Компоненты связности подмножества <math>A</math> пространства <math>X</math> — это максимальные связные подмножества множества <math>A</math>.
- Непрерывное отображение из связного пространства во вполне несвязное сводится к отображению в одну точку.
- Локально связные пространства не обязаны быть связными, а связные — не обязаны быть локально связными.
- В локально связном пространстве компоненты связности открыты.
- Любое линейно связное пространство связно.
- Обратное неверно; например замыкание графика функции <math>\sin\tfrac1x</math> связно, но не линейно связно (это множество содержит отрезок <math>[-1,1]</math> на оси ординат).
Примеры
- Псевдодуга — пример вполне линейно несвязного континуума.
- Веер Кнастера — Куратовского — пример такого связного подмножества плоскости, что удаление из него одной точки делает его вполне несвязным.
- Множество Мандельброта — пример связного множества, относительно которого неизвестно, является ли оно линейно связным.