База топологии

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

База топологии (база топологического пространства, базис топологии, открытая база) — семейство открытых подмножеств топологического пространства <math>X</math>, такое, что любое открытое множество в <math>X</math> представимо в виде объединения элементов этого семейства.

Часто базу топологии предъявляют для того, чтобы ввести топологию. Например, на метрическом пространстве топология определяется через базу, образованную всеми открытыми шарами.

Определение

Семейство <math>\mathfrak{B}</math> открытых множеств топологического пространства <math>X</math> называется базой топологии (или топологического пространства), если любое открытое множество из <math>X</math> представимо в виде объединения элементов семейства <math>\mathfrak{B}</math>.

Семейство <math>\mathfrak{B}</math> открытых множеств топологического пространства <math>X</math> является базой, тогда и только тогда, когда для каждой точки <math>x</math> пространства <math>X</math> и её окрестности <math>U</math> найдётся множество <math>V</math> из <math>\mathfrak{B}</math> такое, что <math>x\in V\subset U</math>.

Вес топологического пространства

Минимальная из мощностей всех баз пространства <math>X</math> называется весом топологического пространства <math>X</math>. Вес пространства <math>X</math> обычно обозначается <math>w(X)</math>.

Свойства
  • Для каждой базы <math>\mathfrak{B}</math> существует подмножество <math>\mathfrak{B}_0</math>, являющееся базой и имеющее мощность, равную весу пространства.
  • Если вес пространства <math>X</math> не более, чем счетный (то есть <math>X</math> имеет счётную базу), то <math>X</math> называют пространством со второй аксиомой счетности.
  • В пространстве веса <math>\tau</math> существует всюду плотное множество мощности <math>\leqslant \tau</math>.

Вариации и обобщения

  • Локальная база пространства <math>X</math> в точке <math>x \in X</math> (база точки <math>x</math>) — семейство <math>\mathfrak{B}(x)</math> окрестностей точки <math>x</math> со свойством: для любой окрестности <math>O_x</math> точки <math>x</math> найдется элемент <math>V \in \mathfrak{B}(x)</math> такой, что <math>x \in V \subset O_x</math>.
    • Минимум мощностей всех локальных баз пространства <math>X</math> в точке <math>x \in X</math> называется характером пространства <math>X</math> в точке <math>x</math> и обозначается <math>\chi(x,X)</math>.
    • Супремум характеров пространства <math>X</math> во всех точках <math>x\in X</math> называется характером пространства <math>X</math> и обозначается <math>\chi(X)</math>.
    • Пространства, имеющие счетную локальную базу в каждой точке, называются пространствами с первой аксиомой счетности.
    • Семейство <math>\mathfrak{B}</math> открытых в X множеств является базой тогда и только тогда, когда для каждой точки <math>x \in X</math> подсемейство <math>\mathfrak{B}(x)</math> всех элементов <math>\mathfrak{B}</math>, содержащих точку <math>x</math> является локальной базой точки <math>x</math>.
  • Система окрестностей — это семейство <math>\{ \mathfrak{B}(x) \}_{x\in X}</math>, такое, что <math>\mathfrak{B}(x)</math> является локальной базой пространства <math>X</math> в точке <math>x</math> для каждого <math>x\in X</math>.
  • Предбаза — семейство <math>Y</math> открытых подмножеств топологического пространства <math>X</math> такое, что совокупность всех множеств, являющихся пересечением конечного числа элементов <math>Y</math>, образует базу пространства <math>X</math>.
  • Замкнутая база — семейство всех дополнений к элементам некоторой базы.
  • <math>\pi</math>-база (решёточная база) — семейство <math>\mathfrak{B}</math> непустых открытых подмножеств пространства <math>X</math> такое, что всякое непустое открытое в <math>X</math> множество содержит множество из <math>\mathfrak{B}</math>, то есть <math>\mathfrak{B}</math> плотно по Хаусдорфу в пространстве <math>X</math>. Любая база есть <math>\pi</math>-база. Обратное неверно, например, в компактификации Стоуна — Чеха <math>\beta \mathbb{N}</math> множества натуральных чисел семейство одноточечных подмножеств множества <math>\mathbb{N}</math> является <math>\pi</math>-базой, но не является базой.
  • Псевдобаза — такое семейство открытых подмножеств, что пересечение всех его элементов, содержащих фиксированную точку, совпадает с этой точкой. Существует только в T1-пространствах. Пример пространства со счётной псевдобазой, в котором нет счётной базы — пространство последовательностей нулей и единиц с дискретной топологией (псевдобаза — множества, состоящие из всех последовательностей с фиксированным значением на некоторой позиции).

Задание топологии с помощью базы, предбазы и системы окрестностей

  • Семейство <math>\mathfrak{B}</math> подмножеств произвольного множества <math>X</math> является базой некоторой топологии на <math>X</math> в том, и только в том случае, когда <math>\mathfrak{B}</math> удовлетворяет следующим условиям:
  1. Каждая точка <math>x\in X</math> принадлежит некоторому множеству <math>U</math> из семейства <math>\mathfrak{B}</math>.
  2. Для любых множеств <math>U,V\in \mathfrak{B}</math> и точки <math>x\in U\cap V</math> существует множество <math>W\in \mathfrak{B}</math> такое, что <math>x\in W\subset U\cap V</math>.
В этом случае <math>\mathfrak{B}</math> является базой топологии на <math>X</math>, в которой множества открыты тогда и только тогда, когда они представимы в виде объединения некоторых подмножеств из <math>\mathfrak{B}</math>. Такую топологию называют топологией, порождённой базой <math>\mathfrak{B}</math>.
  • Для того, чтобы семейство <math>\mathfrak{B}</math> подмножеств произвольного множества <math>X</math> было предбазой некоторой топологии на <math>X</math> необходимо и достаточно выполнение вышеуказанного Шаблон:Nobr При этом в этой топологии открыты те и только те множества, которые представимы в виде объединения конечных пересечений некоторых подмножеств из <math>\mathfrak{B}</math>. Такую топологию называют топологией, порождённой предбазой <math>\mathfrak{B}</math>. Это наименьшая топология, содержащая семейство <math>\mathfrak{B}</math>.
  • Совокупность <math>\{ \mathfrak{B}(x) \}_{x\in X}</math> семейств подмножеств произвольного множества <math>X</math> является системой окрестностей некоторой топологии на <math>X</math> тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующим условиям:
  1. Для каждого <math>x\in X</math> семейство <math>\mathfrak{B}(x)</math> непусто и <math>x\in U</math> для любого <math>U\in \mathfrak{B}(x)</math>.
  2. Для всякого <math>y\in U\in \mathfrak{B}(x)</math> найдётся <math>V\in \mathfrak{B}(y)</math> такое, что <math>V\subset U</math>.
  3. Для всяких множеств <math>V,W\in \mathfrak{B}(x)</math> существует <math>U\in \mathfrak{B}(x)</math>, такое, что <math>U\subset V\cap W</math>.
В этом случае <math>\{ \mathfrak{B}(x) \}_{x\in X}</math> является системой окрестностей топологии на <math>X</math>, состоящей из всех подмножеств, представимых в виде объединения подсемейств семейства <math>\bigcup_{x\in X} \mathfrak{B}(x)</math>. Такую топологию называют топологией, порождённой системой окрестностей <math>\{ \mathfrak{B}(x) \}_{x\in X}</math>.

Примеры

  • Базой любого топологического пространства является семейство всех его открытых множеств.
  • Дискретная топология имеет в качестве базы семейство всех его одноточечных подмножеств.
  • Если <math>X</math> и <math>Y</math> — топологические пространства с базами топологий <math>\mathfrak{B}_X</math> и <math>\mathfrak{B}_Y</math>, тогда топология на декартовом произведении <math>X\times Y</math> задаётся с помощью базы
<math>\mathfrak{B}_{X\times Y} = \{U\times V\,: U\in\mathfrak{B}_X,\,V\in\mathfrak{B}_Y\}</math>
При этом топология на <math>X\times Y</math> не будет зависеть от того, какие базы пространств X и Y используются для её задания. Такая топология называется (стандартной) топологией декартова произведения топологических пространств.
  • Топология пространства действительных чисел <math>\R</math> задаётся системой всех интервалов <math>(a,b)</math>, которая составляет базу этой топологии. Аналогично топология пространства <math>{\R}^n</math> задаётся базой открытых брусов <math>(a_1,b_1)\times(a_2,b_2)\times\dots\times(a_n,b_n)</math>, и эта топология, очевидно, совпадает со стандартной топологией прямого произведения пространств.
  • Упорядоченная топология обычно определяется как топология порождённая набором открыто-интервальных множеств.
  • Метрическая топология обычно определяется как топология порождённая набором открытых шаров, задаваемых определенной метрикой.

См. также

Литература

  • Александров П. С., Колмогоров А. Н. Введение в общую теорию множеств и функций. — М.—Л., 1948.
  • Урысон П. С. Труды по топологии и другим областям математики. — Т. 1—2. — М.—Л., 1951.
  • Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности. — М., 1973.
  • Архангельский А. В., Пономарев В. И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. — М., 1974.
  • Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры / Пер. с франц. — М., 1968.
  • Шаблон:Книга
  • Шаблон:Книга

Ссылки

  • [[Категория:Слова {{ #switch: МЭ|ar =арабского|de =немецкого|el =греческого|en =английского|es =испанского|it =итальянского|ja =японского|fa =персидского|fr =французского|la =латинского|nl =нидерландского|pl =польского|ru=русского|uk=украинского|cs=чешского|lt=литовского|grc=греческого|zh=китайского|неопределённого}} происхождения{{#if:|{{ #switch: |да=/ru|нет=|/}}|/ru}}]]
Источник — https://camokathomelab.servebeer.com/mediawiki/index.php?title=База_топологии&oldid=18215