Аксиомы отделимости

Аксиомы отделимости — наборы дополнительных требований, налагаемых на топологические пространства, позволяющие изучать ограниченные классы топологических пространств со свойствами в той или иной степени близкими к метрическим пространствам. На предположении выполнения аксиом отделимости основано применение такой техники математического доказательства, как принцип разделимости.

Аксиомы

Введено множество аксиом отделимости, наиболее широко используемых — шесть, обозначаемые соответственно T₀, T₁, T₂, T₃, T_3½, T₄ (от нем. Trennungsaxiom); кроме того, иногда используются другие аксиомы и их вариации (R₀, R₁, T_2½, T₅, T₆ и другие).

T₀

Шаблон:ЯкорьT₀ (аксиома Колмогорова): для любых двух различных точек <math>x</math> и <math>y</math> по крайней мере одна точка должна иметь окрестность, не содержащую вторую точку.

T₁

Шаблон:ЯкорьT₁ (аксиома Тихонова): для любых двух различных точек <math>x</math> и <math>y</math> должна существовать окрестность точки <math>x</math>, не содержащая точку <math>y</math>, и окрестность точки <math>y</math>, не содержащая точку <math>x</math>. Эквивалентное условие: все одноточечные множества замкнуты.

T₂

Шаблон:ЯкорьT₂ (аксиома Хаусдорфа): для любых двух различных точек <math>x</math> и <math>y</math> должны найтись непересекающиеся окрестности <math>U(x)</math> и <math>V(y)</math>.

T₃

Шаблон:ЯкорьT₃: Для любого замкнутого множества и не содержащейся в нём точки существуют их непересекающиеся окрестности<ref name=":0">Виро, Иванов, Харламов, Нецветаев, с.105</ref><ref name=":1">математическая энциклопедия</ref>. Эквивалентное условие: для любой точки <math>x</math> и её окрестности <math>U</math> существует окрестность <math>V</math>, такая, что <math>x\in V\subset\bar{V}\subset U</math>. Иногда в определение аксиомы отделимости T₃ включают требования аксиомы отделимости T₁.<ref>Энгелькинг, с.71</ref><ref name=":2">Келли, с.154</ref> Также иногда в определении регулярного пространства не включается требование аксиомы T₁<ref name=":1" /><ref name=":2" />. Регулярное пространство — пространство, удовлетворяющие аксиомам T₁ и T₃.

T_3½

Шаблон:ЯкорьT_3½: для любого замкнутого множества <math>F</math> и не содержащейся в нём точки <math>a</math> существует непрерывная (в данной топологии) числовая функция <math>f(x)</math>, заданная на этом пространстве, принимающая значения от <math>0</math> до <math>1</math> на всем пространстве, причем <math>f(a)=0</math> и <math>f(x)=1</math> для всех <math>x</math>, принадлежащих <math>F</math>. Пространства, удовлетворяющие аксиомам T₁ и T_3½ называются вполне регулярными пространствами или тихоновскими пространствами; при этом иногда выполнение T₁ включают в определение T_3½<ref>Энгелькинг, с.73</ref>, а в определении вполне регулярного пространства не включают требование аксиомы T₁ (тогда в определение тихоновского пространства она включается)<ref name=":1" />.

T₄

Шаблон:ЯкорьT₄: для любых двух замкнутых непересекающихся множеств существуют их непересекающиеся окрестности<ref name=":0" /><ref name=":1" />. Эквивалентное условие: для любого замкнутого множества <math>F</math> и его окрестности <math>U</math> существует окрестность <math>V</math>, такая, что <math>F\subset V\subset\bar{V}\subset U</math> (<math>\bar{V}</math> — замыкание <math>V</math>). Нормальное пространство — пространства, удовлетворяющие T₁ и T₄<ref name=":1" /><ref>Виро, Иванов, Харламов, Нецветаев, с.106</ref>. Иногда в определение T₄ включают требование выполнения T₁<ref>Энгелькинг, с.74</ref><ref name=":3">Келли, с.153</ref>, а в определении нормального пространства не включается требование T₁<ref name=":3" />.

Свойства

Некоторые соотношения аксиом отделимости и связанных с ними классов друг с другом:

• <math>T_0</math>, <math>T_1</math> и <math>T_2</math> не следуют из остальных аксиом (если в их определение не включается аксиома <math>T_1</math>);
• из <math>T_1</math> следует <math>T_0</math>;
• регулярные пространства являются хаусдорфовыми;
• вполне регулярные пространства являются регулярными;
• нормальные пространства являются также и вполне регулярными;
• компактные хаусдорфовы пространства являются нормальными.

Литература

• О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев Задачный учебник по топологии
• Энгелькинг Р. Общая топология: Пер. с англ. — Шаблон:М: Мир, 1986. — 752 с.
• Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.
• Шаблон:Книга — статья из математической энциклопедии, автор — В. И. Зайцев