Диффеоморфизм

Образ квадрата прямоугольной сетки при некотором диффеоморфизме этого квадрата в себя.

Диффеоморфизм — отображение определённого типа между гладкими многообразиями.

Определение

Диффеоморфизм — взаимно однозначное и гладкое отображение <math>f\colon M\to N</math> гладкого многообразия <math>M</math> в гладкое многообразие <math>N</math>, обратное к которому тоже является гладким.

Обычно под гладкостью понимается <math>C^\infty</math>-гладкость, однако таким же образом могут быть определены диффеоморфизмы с другим типом гладкости, в частности, класса <math>C^k</math> при любом натуральном <math>k</math>.

Примеры

Простейшими примерами диффеоморфизмов являются невырожденные линейные (аффинные) преобразования векторных (соответственно, аффинных) пространств одинаковой размерности.

Связанные определения

• Если для <math>M</math> и <math>N</math> существует диффеоморфизм <math>f\colon M\to N</math>, то говорят, что <math>M</math> и <math>N</math> диффеоморфны.
  • Обычно это отношение обозначается <math>M\cong N</math>.
  • Заметим, что диффеоморфными могут быть только многообразия одинаковой размерности.

• Множество диффеоморфизмов многообразия <math>M</math> в себя образует группу, называемую группой диффеоморфизмов <math>M</math> и обозначаемую <math>\operatorname{Diff}\,M</math>.

• Отображение <math>f\colon M\to N</math> называется локальным диффеоморфизмом в точке <math>x\in M</math> если его сужение на некоторую окрестность точки <math>x</math> является диффеоморфизмом на некоторую окрестность точки <math>y=f(x)\in N</math>.

Свойства

• Любой диффеоморфизм является гомеоморфизмом.
  • Обратное неверно. Более того, существуют гомеоморфные, но не диффеоморфные гладкие многообразия (например, экзотическая сфера).
• Взаимно однозначное отображение <math>f\colon M\to N</math> является диффеоморфизмом тогда и только тогда, когда <math>f</math> — гладкое отображение и его якобиан нигде не равен нулю.

См. также

• Гомеоморфизм

Литература

• Шаблон:Книга
• Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология (начальный курс), — Любое издание.
• Хирш М. Дифференциальная топология, — Любое издание.
• Спивак М. Математический анализ на многообразиях. — М.: Мир, 1968.