Бесконечное множество

Бесконе́чное мно́жество — множество, не являющееся конечным. Можно дать ещё несколько эквивалентных определений бесконечного множества:

• Множество, в котором для любого натурального числа <math>n</math> найдётся конечное подмножество из <math>n</math> элементов.
• Множество, в котором найдётся счётное подмножество.
• Множество, в котором найдётся подмножество, равномощное некоторому (ненулевому) предельному ординалу.
• Множество, для которого существует биекция с некоторым его собственным подмножеством.

Для любого бесконечного множества существует множество с ещё большей мощностью — таким образом, не существует бесконечного множества наибольшей мощности. Мощности бесконечных множеств называются алефами («алеф», א — первая буква еврейского алфавита) и обозначаются <math>\aleph_\alpha,</math> где индекс <math>\alpha</math> пробегает все порядковые числа. Мощности бесконечных множеств составляют вполне упорядоченный класс — наименьшей мощностью бесконечного множества является <math>\aleph_0</math> (алеф-0, мощность множества натуральных чисел), за ним следуют <math>\aleph_1, \aleph_2,\dots\aleph_\omega,\aleph_{\omega+1},\dots\aleph_{\omega_1},\dots\aleph_{\omega_{\omega_1}},\dots</math>

Примеры

• Множества натуральных чисел <math>\N,</math> целых чисел <math>\Z,</math> рациональных чисел <math>\Q,</math> действительных чисел <math>\R,</math> комплексных чисел <math>\Complex</math> — являются бесконечными множествами.
• Множество функций <math>\N \to \N</math> является бесконечным.
• Упорядоченное бесконечное множество может иметь "концы" (минимальный и максимальный элементы) — например, множество рациональных чисел на отрезке <math>[0, 1].</math>
• Совокупность всех бесконечных подмножеств счётного множества является несчётным бесконечным множеством.

См. также

• Бесконечность
• Кардинальное число
• Аксиоматика теории множеств
• Теорема Кантора — Бернштейна
• Континуум
• Континуум-гипотеза