Континуум-гипотеза

Шаблон:Карточка теоремы Конти́нуум-гипо́теза (проблема континуума, первая проблема Гильберта) — выдвинутое в 1877 году Георгом Кантором предположение о том, что любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным. Другими словами, гипотеза предполагает, что мощность континуума — наименьшая, превосходящая мощность счётного множества, и «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет. В частности, это предположение означает, что для любого бесконечного множества действительных чисел всегда можно установить взаимно-однозначное соответствие либо между элементами этого множества и множеством целых чисел, либо между элементами этого множества и множеством всех действительных чисел.

Если принять аксиому выбора, то континуум-гипотеза равносильна тому, что <math>2^{\aleph_0}=\aleph_1</math>.

Первые попытки доказательства этого утверждения средствами наивной теории множеств не увенчались успехом, в дальнейшем была показана невозможность доказать или опровергнуть гипотезу в аксиоматике Цермело — Френкеля (как с аксиомой выбора, так и без неё).

Континуум-гипотеза однозначно доказывается в системе Цермело — Френкеля с аксиомой детерминированности (ZF+AD).Шаблон:Sfn При этом утверждение <math>2^{\aleph_0}=\aleph_1</math> в ней неверно; более того, мощность континуума и <math>\aleph_1</math> в ней несравнимы.Шаблон:Sfn

История

Шаблон:Also Континуум-гипотеза стала первой из двадцати трёх математических проблем, о которых Гильберт доложил на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Поэтому континуум-гипотеза известна также как первая проблема Гильберта.

В 1940 году Гёдель доказал, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо в ZFC — системе аксиом Цермело — Френкеля с аксиомой выбора, а в 1963 году Коэн с помощью разработанного им Шаблон:Не переведено доказал, что континуум-гипотеза также недоказуема в ZFC<ref>Пол Дж. Коэн Теория множеств и континуум-гипотеза. — М.: Мир, 1969. — С. 347.</ref>. Оба эти результата опираются на предположение о непротиворечивости ZFC, причём оно является необходимым, так как в противоречивой теории любое утверждение является тривиально доказуемым. Таким образом, континуум-гипотеза является независимой от ZFC.

В предположении отрицания континуум-гипотезы <math>\mathrm {ZFC+\neg CH}</math> имеет смысл задавать вопрос: для каких ординалов <math>\alpha</math> может выполняться равенство <math>\mathfrak c=\aleph_\alpha</math>? Ответ на этот вопрос даёт доказанная в 1970 году Шаблон:Не переведено.

Эквивалентные формулировки

Известно несколько утверждений, эквивалентных континуум-гипотезе:

• Прямая <math>\R</math> может быть раскрашена в счётное количество цветов так, что ни для какой одноцветной четвёрки чисел <math>a, b, c, d</math> не выполняется условие <math>a + b = c + d</math><ref>Stephen Fenner, William Gasar. Statement in Combinatorics that is Independent of ZFC (An Exposition) Шаблон:WaybackШаблон:Ref</ref>.
• Плоскость <math>\R^2</math> может быть полностью покрыта счётным семейством множеств, каждое из которых имеет вид <math>y=f(x)</math> (то есть имеет единственную точку пересечения с каждой вертикальной прямой) или <math>x=f(y)</math> (имеет единственную точку пересечения с каждой горизонтальной прямой)<ref>Шаблон:Книга</ref>.
• Пространство <math>\R^3</math> можно разбить на 3 множества так, что они пересекаются с любой прямой, параллельной осям <math>Ox</math>, <math>Oy</math> и <math>Oz</math>, соответственно, лишь в конечном числе точек (каждому множеству соответствует своя ось)<ref>Шаблон:Книга</ref>.
• Пространство <math>\R^3</math> можно разбить на 3 множества так, что для каждого из них существует такая точка <math>P</math>, что это множество пересекается с любой прямой, проходящей через <math>P</math>, лишь в конечном числе точек<ref>Шаблон:Cite web</ref>.

Вариации и обобщения

Обобщённая континуум-гипотеза (GCH) утверждает, что для любого бесконечного кардинала <math>\kappa</math> не существует кардинала между <math>\kappa</math> и <math>2^\kappa</math>. Обобщённая континуум-гипотеза также не противоречит аксиоматике Цермело — Френкеля, и, как показали Серпинский в 1947 году и Шпеккер в 1952 году, из неё следует аксиома выбора.Шаблон:Sfn GCH независима от CH как в ZF, так и в ZFC. GCH в ZF следует из аксиомы конструктивности.

Алеф-гипотезой (AH) называется утверждение, что для любого алефа <math>\aleph_\alpha</math> выполнено <math>2^{\aleph_\alpha}=\aleph_{\alpha+1}</math>. Данное утверждение эквивалентно GCH в ZFC, поэтому очень часто именно его называют обобщённой континуум гипотезой. В ZF обобщённая континуум гипотеза в точности эквивалентна AC+AH.Шаблон:Sfn

В ZFC обобщённая континуум-гипотеза (а значит и алеф-гипотеза) эквивалентна утверждению, что в любом множестве, превосходящем по мощности некоторое бесконечное множество <math>S</math>, найдётся подмножество, равномощное булеану <math>\mathcal P (S)</math><ref>Шаблон:БСЭ3</ref>.

Специальной алеф-гипотезой (AH(0)) называют утверждение <math>2^{\aleph_0}=\aleph_1</math>. Это утверждение эквивалентно обычной континуум-гипотезе в ZFC, из-за чего очень часто континуум-гипотезу формулируют именно так. Однако в ZF они неэквивалентны: AH(0) независима от CH в ZF. По этим причинам в ZF часто ошибочно подразумевают под континуум-гипотезой именно специальную алеф-гипотезу. AH(0) влечёт CH. В ZF+AD континуум-гипотеза выполняется, но специальная алеф-гипотеза неверна.

См. также

• Аксиома Мартина

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Манин Ю. И. Проблема континуума // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Новейшие достижения.». — 1975. — № 5. — С. 5—72. — ISSN 0202-747X.
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Книга