Прямое произведение
Прямое произведение (дека́ртово произведение) — множество, элементами которого являются все возможные упорядоченные пары элементов заданных двух непустых исходных множеств. Предполагается, что впервые «декартово» (в честь Рене Декарта) произведение двух множеств ввёл Георг КанторШаблон:SfnШаблон:Sfn.
Понятие прямого произведения естественно обобщается на произведение множеств с дополнительной структурой (алгебраической, топологической и так далее), поскольку произведение множеств часто наследует структуры, имевшиеся на исходных множествах.
Прямое произведение в теории множеств
Произведение двух множеств
| в | в | в | в | в | в | в | в | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| и | и | и | и | и | и | и | и | |
| к | к | к | к | к | к | к | к | |
| Произведение множества {в, и, к} на множество цветов радуги | ||||||||
Прямое произведение множества <math>X</math> и множества <math>Y</math> — такое множество <math>X \times Y</math>, элементами которого являются упорядоченные пары <math>(x,y)</math> для всевозможных <math>x\in X</math> и <math>y\in Y</math>. Упорядоченную пару, образованную из элементов <math>a</math> и <math>b</math>, принято записывать, используя круглые скобки: <math>(a,b)</math>. Элемент <math>a</math> называют первой координатой (компонентой) пары, а элемент <math>b</math> — второй координатой (компонентой) пары.
Прямое произведение двух множеств наглядно можно представить в виде таблицы, строки которой определяют элементы первого множества, а столбцы, соответственно, второго. Все клетки данной таблицы в таком случае будут элементами декартова произведения.
Слово «упорядоченная» значит, что для <math>x\ne y</math>, <math>(x,y) \neq (y,x) </math>. Так, пары <math>(a,b)</math> и <math>(c,d)</math> равны в том и только том случае, если <math>a=c</math> и <math>b=d</math>.
Отображения произведения множеств в его множители — <math>\varphi\colon X\times Y\to X,\; \varphi(x,y)=x</math> и <math>\psi\colon X\times Y\to Y,\; \psi(x,y)=y</math> — называют координатными функциями.
Аналогично определяется произведение конечного семейства множеств.
Строго говоря, тождество ассоциативности <math>A \times (B \times C) = (A \times B) \times C</math> не имеет места, но в силу существования естественного взаимно однозначного соответствия (биекции) между множествами <math>A \times (B \times C)</math> и <math>(A \times B) \times C</math> этим различием можно зачастую пренебречь.
Декартова степень
| 000 | 001 | 002 | 010 | 011 | 012 | 020 | 021 | 022 |
| 100 | 101 | 102 | 110 | 111 | 112 | 120 | 121 | 122 |
| 200 | 201 | 202 | 210 | 211 | 212 | 220 | 221 | 222 |
| {0, 1, 2}3, 33 = 27 элементов | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
<math>n</math>-я декартова степень множества <math>X</math> определяется для целых неотрицательных <math>n</math>, как <math>n</math>-кратное декартово произведение <math>X</math> на себяШаблон:Sfn Шаблон:Sfn:
- <math>
\begin{matrix}
\underbrace{X\times X\times \ldots \times X}.
\\
n
\end{matrix} </math> Обычно обозначается как <math>X^n</math> или <math>X^{\times n}</math>.
При положительных <math>n</math> декартова степень <math>X^n</math> состоит из всех упорядоченных наборов элементов из <math>X</math> длины <math>n</math>. Так, вещественное пространство <math>\R^3</math> — множество кортежей из трёх вещественных чисел — есть 3-я степень множества вещественных чисел <math>\R</math>.
При <math>n=0</math> декартова степень <math>X^0</math> по определению содержит единственный элемент — пустой кортеж.
Прямое произведение семейства множеств
В общем случае, для произвольного семейства множеств (не обязательно различных) <math>\{X_i\}_{i\in I}</math> (множество индексов может быть бесконечным) прямое произведение <math>X = \prod_{i\in I} X_i</math> определяется как множество функций, сопоставляющих каждому элементу <math>i\in I</math> элемент множества <math>X_i</math>:
- <math>
X = \prod_{i\in I} X_i = \{f\colon I \to \bigcup\limits_{i\in I} X_i \mid f(i) \in X_i, i \in I \} </math>. Отображения <math>\pi_i \colon X \to X_i \colon f \mapsto f(i)</math> называются проекциями, и определяются следующим образом: <math>\pi_i\colon (a_1,\dots a_n) \mapsto a_i</math>.
В частности, для конечного семейства множеств <math>\{A_1, \dots ,A_n\}</math> любая функция <math> f:\{1,\dots ,n\} \to \bigcup\limits_{i = 1}^n A_i </math> с условием <math>f(i) \in A_i</math> эквивалентна некоторому кортежу длины <math>n</math>, составленному из элементов множеств <math>\{A_i\}_{i = 1}^n</math>, так, что на <math>i</math>-ом месте кортежа стоит элемент множества <math>A_i</math>. Поэтому декартово (прямое) произведение конечного числа множеств <math>\{A_i\}_{i = 1}^n</math> может быть записано так:
- <math>
A_1 \times \dots \times A_n = \{(a_1, \dots ,a_n) \mid a_i \in A_i, i \in \{1, \dots ,n\}\} </math>
Прямое произведение отображений
Пусть <math>f</math> — отображение из <math>A</math> в <math>B</math>, а <math>g</math> — отображение из <math>X</math> в <math>Y</math>. Их прямым произведением <math>f\times g</math> называется отображение из <math>A\times X</math> в <math>B\times Y</math>: <math>(f\times g)(a,\; x) = (f(a),\; g(x))</math>.
Аналогично вышеизложенному, данное определение обобщается на многократные и бесконечные произведения.
В математических структурах
Прямое произведение групп
Ошибка скрипта: Модуля «Основная статья» не существует. Прямое (декартово) произведение двух групп <math>(G,*)</math> и <math>(H,\circ)</math> — это группа из всех пар элементов <math>(g,h)</math> с операцией покомпонентного умножения: <math>(g_1,h_1)\times(g_2,h_2)=(g_1*g_2,h_1\circ h_2)</math>. Эта группа обозначается как <math>G\times H</math>. Ассоциативность операции умножения в группе <math>G\times H</math> следует из ассоциативности операций перемножаемых групп. Сомножители <math>G</math> и <math>H</math> изоморфны двум нормальным подгруппам своего произведения, <math>\{(g,1_H)\mid g\in G\}</math> и <math>\{(1_G,h)\mid h\in H\}</math> соответственно. Пересечение этих подгрупп состоит из одного элемента <math>(1_G,1_H)</math>, который является единицей группы-произведения. Координатные функции произведения групп являются гомоморфизмами.
Это определение распространяется на произвольное число перемножаемых групп. В случае конечного числа прямое произведение изоморфно прямой сумме. Отличие возникает при бесконечном числе множителей.
В общем случае, <math>\overline{\prod_{i\in I}} G_i=\{f\colon I\to\bigcup_{i\in I} G_i\}</math>, где <math>f(i)\isin G_i</math> и <math>(f_1\times f_2)(i)=f_1(i)*f_2(i)</math>. (Операция в правой части — это операция группы <math>G_i</math>). Единицей группы-произведения будет последовательность, составленная из единиц всех перемножаемых групп: <math>(1_i),\; i\in I</math>. Например, для счётного числа групп: <math>\overline{\prod_{i\in\mathbb{N}}} \mathbb{Z}_2=(2^\mathbb{N},\; \operatorname{xor})</math>, где в правой части стоит множество всех бесконечных двоичных последовательностей.
Подгруппа на множестве всех <math>f</math>, носитель которых (то есть множество <math>\mathrm{supp}\,(f) = \{i\in I\mid f(i)\ne 1_i\}</math>) конечен, называется прямой суммой. Например, прямая сумма того же самого набора множеств <math>\prod_{i\in\mathbb{N}} \mathbb{Z}_2\ =\ (\mathbb{N},\; \operatorname{xor})</math> содержит все двоичные последовательности с конечным числом единиц, а их можно трактовать как двоичные представления натуральных чисел.
Декартово произведение индексированной системы групп есть её прямое произведение в категории Grp.
Прямая сумма индексированной системы групп есть её копроизведение в категории Grp.
Прямое произведение алгебраических систем
Аналогично произведению групп определяются произведения колец, алгебр, модулей и линейных пространств, и, вообще говоря, алгебраических систем с одинаковой сигнатурой — все операции и отношения покоординатно определяются на прямом произведении носителей (прямое произведение алгебраических систем).
Прямое произведение векторных пространств
Декартово произведение <math>U \times V</math> двух векторных пространств <math>U</math> и <math>V</math> над общим полем <math>F</math> — это множество упорядоченных пар векторов <math>\left\{\left(u,v\right)\mid u\in U\wedge v\in V\right\}</math>, то есть теоретико-множественное декартово произведение множеств векторов из <math>U</math> и <math>V</math>, с линейностью, заданной покоординатно: <math>\left(a,b\right)+\left(c,d\right)=\left(a+c,b+d\right)</math>, <math>\mathrm{\alpha}\left(a,b\right)=\left(\mathrm{\alpha}a,\mathrm{\alpha}b\right)</math>.
Определение распространяется на любую индексированную систему линейных (векторных) пространств: декартовым произведением индексированной системы векторных пространств над общим полем является теоретико-множественное декартово произведение множеств векторов сомножителей, на котором задана покоординатная линейность, то есть при суммировании суммируются все проекции, при умножении на число все проекции умножаются на это число: <math>c=a+b\leftrightarrow \forall i:c_i=a_i+b_i</math>, <math>b=\mathrm{\alpha}a\leftrightarrow \forall i:b_i=\mathrm{\alpha}a_i</math>.
Декартово произведение индексированной системы линейных пространств есть её прямое произведение в категории <math>\operatorname{Vec}_F</math>, где <math>F</math> есть подлежащее поле системы.
Прямая сумма векторных пространств — такое подмножество их декартова произведения, элементы которого имеют лишь конечное число отличных от нуля проекций <math>\bigoplus{A}=\left\{a\in\prod{A}\mid\left\vert\left\{i\in\operatorname{dom}A\mid a_i\ne 0\right\}\right\vert<\aleph_0\right\}</math>, где <math>\operatorname{dom}A</math> есть индексное множество индексированной системы <math>A</math>. Для конечного числа слагаемых прямая сумма не отличается от декартова произведения.
Прямая сумма индексированной системы линейных пространств есть её копроизведение в категории <math>\operatorname{Vec}_F</math>, где <math>F</math> есть подлежащее поле системы.
Прямое произведение топологических пространств
Шаблон:Main Топология декартова произведения на теоретико-множественном («бесструктурном») произведении <math>X\times Y</math> топологических пространств задаётся базой, состоящей из всевозможных произведений <math>U\times V</math>, где <math>U</math> — открытое подмножество <math>X</math> и <math>V</math> — открытое подмножество <math>Y</math>.
Определение естественным образом обобщается на случай произведения конечного числа пространств.
Для произведения бесконечного набора сомножителей определение усложняется: для индексированной системы топологических пространств <math>X</math> есть и бесструктурного произведения элементов <math>B=\prod{\overline X}</math>, вводится цилиндр, восставленный над <math>U\subseteq X_i</math> как множество всех точек из <math>B</math>, чьи <math>i</math>-е проекции лежат в <math>U</math>, то есть <math>\operatorname{Cyl}\left(i,\;U\right) = \left\{x\in B\mid x_i\in U\right\}</math>, где <math>i\in\operatorname{dom}X</math> и <math>\operatorname{dom}X</math> есть индексное множество индексированной системы <math>X</math>. Топология произведения будет задана на предбазе из цилиндров, восставленных надо всеми открытыми множествами всех топологий из набора <math>X</math>: <math>\left\{\operatorname{Cyl}\left(i,\;U\right)\mid i\in\operatorname{dom}X\and U\in\operatorname{T}\left(X_i\right)\right\}</math>, где <math>\operatorname{T}\left(X_i\right)</math> есть совокупность всех отрытых множеств (топология) пространства <math>X_i</math>, то есть задаваться базой, составленной из всевозможных пересечений конечного числа открытых цилиндров. Данная топология является «контрвариантно» наведённой проекторами — это минимальная топология на теоретико‑множественном декартовом произведении, при которой все проекторы непрерывны (такая топология аналогична компактно-открытой топологии пространств отображений, если считать индексное множество <math>I</math> имеющим дискретную топологию).
Декартово произведение индексированной системы топологических пространств есть её прямое произведение в категории <math>\operatorname{Top}</math>.
Прямая сумма топологий строится на бесструктурной прямой сумме пространств, как множеств точек. Открытыми в ней являются все множества, пересечения которых со всеми слагаемыми открыты. Данная топология является «ковариантно» наведённой копроекторами — это максимальная топология на теоретико‑множественной прямой сумме, при которой все копроекторы (то есть вложения слагаемых в сумму) непрерывны.
Прямая сумма индексированной системы топологических пространств есть её копроизведение в категории <math>\operatorname{Top}</math>.
Теорема Тихонова утверждает компактность произведений любого количества компактных пространств; однако для бесконечных произведений её не удаётся доказать без использования аксиомы выбора (или равносильных ей утверждений теории множеств).
Также теорема Александрова показывает, что любое топологическое пространство можно вложить в (бесконечное) произведение связных двоеточий, если только выполнена аксиома Колмогорова.
Прямое произведение графов
Ошибка скрипта: Модуля «Основная статья» не существует.
| — | | |
| | — | |
| | | |
| | — | |
Множество вершин прямого произведения двух графов <math>G</math> и <math>H</math> задаётся как произведение вершин графов сомножителей. Рёбрами будут соединены следующие пары вершин:
- <math>(g,\;h)(g',\;h)</math>, где <math>g</math> и <math>g'</math> — соединённые ребром вершины графа <math>G</math>, а <math>h</math> — произвольная вершина графа <math>H</math>;
- <math>(g,\;h)(g,\;h')</math>, где <math>g</math> — произвольная вершина графа <math>G</math>, а <math>h</math> и <math>h'</math> — соединённые ребром вершины графа <math>H</math>.
Иначе говоря, множество рёбер произведения графов является объединением двух произведений: рёбер первого на вершины второго, и вершин первого на рёбра второго.
Вариации и обобщения
Идея прямого произведения получила дальнейшее развитие в теории категорий, где она послужила основой для понятия произведения объектов. Неформально, произведение двух объектов <math>A</math> и <math>B</math> — это наиболее общий объект в данной категории, для которого существуют проекции на <math>A</math> и <math>B</math>. Во многих категориях (множеств, групп, графов, …) произведением объектов является именно их прямое произведение. Важно, что в большинстве случаев важно не столько конкретное определение прямого произведения, сколько указанное выше свойство универсальности. Различные определения будут давать при этом изоморфные объекты.