Индекс подгруппы

{{#if: | }} Индекс подгруппы <math>H</math> в группе <math>G</math> ― число классов смежности в каждом (правом или левом) из разложений группы <math>G</math> по этой подгруппе <math>H</math> (в бесконечном случае ― мощность множества этих классов).

Индекс подгруппы <math>H</math> в группе <math>G</math> обычно обозначается <math>[G:H]</math>.

Связанные определения

• Если число смежных классов конечно, то <math>H</math> называется подгруппой конечного индекса в <math>G</math>.

Свойства

• Пересечение конечного числа подгрупп конечного индекса само имеет конечный индекс (теорема Пуанкаре).
• Произведение порядка подгруппы <math>H</math> на её индекс <math>[G:H]</math> равно порядку группы <math>G</math> (теорема Лагранжа).
  • Это соотношение имеет место как для конечной группы <math>G</math>, так и в случае бесконечной <math>G</math> ― для соответствующих мощностей.
• Формула Дея — рекурсивная формула для выражения числа <math>N_n</math> подгрупп данного индекса данной группы <math>G</math> через число гомоморфизмов <math>H_n</math> из <math>G</math> в симметрическую группу <math>S_n</math>.

  <math>N_n=\frac{H_n}{(n-1)!}-\sum_{i=1}^{n-1}\frac{N_i{\cdot}H_{n-i}}{(n-i)!}</math>

Литература

• Шаблон:Нп3, On the number of subgroups of given index in <math>SL_2(\mathbb Z)</math>, Archiv der Mathematik, December 1978, Volume 31, Number 1, 224-231

Шаблон:Rq