Комплексное число

Иерархия чисел

Ко́мпле́ксные чи́сла (от лат. complexus — связь, сочетание<ref>Шаблон:Книга</ref>; о двойном ударении см. примечание<ref group=K>Два возможных ударения указаны согласно следующим источникам.

• Большая советская энциклопедия, 3-е изд. (1973), том 12, стр. 588, статья Ко́мпле́ксные числа.
• Советский энциклопедический словарь (1982), стр. 613, статья Ко́мпле́ксное число.
• Последнее издание «Словаря трудностей русского языка» (Розенталь Д. Э., Теленкова М. А., Айрис-пресс, 2005, стр. 273) указывает оба варианта: ко́мплексные (компле́ксные) числа.
• В Большой российской энциклопедии (том 14, 2010 год) приводятся варианты: Компле́ксное число (стр. 691, автор не указан), но Ко́мплексный анализ Шаблон:Wayback (стр. 695, автор: член-корр. РАН Е. М. Чирка).
• Орфографический словарь русского языка (изд. 6-е, 2010), Грамматический словарь русского языка, Русский орфографический словарь Российской академии наук под ред. В. В. Лопатина (изд. 4-е, 2013) и ряд других словарей указывают варианты: ко́мплексный и компле́ксный (матем.).</ref>) — числа вида <math>a+bi</math>, где <math>a</math> и <math>b</math> — вещественные числа, а <math>i</math> — мнимая единица<ref name=MAT>Шаблон:Книга</ref>, то есть число, для которого выполняется равенство: <math>i^2=-1</math>. Множество комплексных чисел обычно обозначается символомШаблон:Nbsp<math>\mathbb{C}</math>. Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид <math>a+0 i</math>. Главное свойство <math>\mathbb{C}</math> — в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен <math>n</math>-й степени (<math>n \geqslant 1</math>) имеет <math>n</math> корней. ДоказаноШаблон:Переход, что система комплексных чисел логически непротиворечива<ref group=K>При условии непротиворечивости системы вещественных чисел.</ref>.

Так же как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитанияШаблон:Переход, умноженияШаблон:Переход и деленияШаблон:Переход. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел; например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньшеШаблон:Переход. Удобно представлять комплексные числа <math>a+bi</math> точками на комплексной плоскостиШаблон:Переход; например, для изображения сопряжённых чисел используется операция отражения относительно горизонтальной осиШаблон:Переход. Альтернативное представление комплексного числа в тригонометрической записи оказалось полезным для вычисления степеней и корнейШаблон:Переход. Функции комплексного аргумента изучаются в комплексном анализеШаблон:Переход.

Первоначально идея о необходимости использования комплексных чисел возникла в результате формального решения кубических уравнений, при котором в формуле Кардано под знаком квадратного корня получалось отрицательное числоШаблон:Sfn. Большой вклад в исследование комплексных чисел внесли Эйлер, который ввёл общепризнанное обозначение <math>i</math> для мнимой единицы, Декарт, ГауссШаблон:Переход. Сам термин «комплексное число» ввёл в науку Гаусс в 1831 годуШаблон:Sfn.

Уникальные свойства комплексных чисел и функций нашли широкое применение для решения многих практических задач в различных областях математики, физики и техники: в электротехнике, обработке сигналов, теории управления, электромагнетизме, теории колебаний, теории упругости и многих другихШаблон:SfnШаблон:Переход. Преобразования комплексной плоскости оказались полезны в картографии и гидродинамике. Современная физика полагается на описание мира с помощью квантовой механики, которая опирается на систему комплексных чисел.

Известно также несколько обобщений комплексных чисел — например, кватернионыШаблон:Переход.

Комплексная арифметика

Связанные определения

Всякое комплексное число <math>z=a+bi</math> состоит из двух компонентовШаблон:Sfn:

• Величина <math>a</math> называется вещественной частью числа <math>z</math> и согласно международным стандартам ISO 31-11 и ISO 80000-2 обозначается <math>\operatorname{Re}z</math> или <math>\operatorname{Re}\left(z\right)</math> (от фр. Reel — действительныйШаблон:Sfn). В источниках иногда встречается готический символ<ref>Шаблон:Cite web</ref>: <math>\operatorname\Re\left(z\right)</math>.
  • Если <math>a=0</math>, то <math>z</math> называется чисто мнимым числом. Вместо <math>0+bi</math> обычно пишут просто <math>bi</math>. В некоторых источниках такие числа называются просто мнимыми, однако в других источниках<ref>Шаблон:Книга</ref> мнимыми могут называться любые комплексные числа <math>z=a+bi</math>, у которых <math>b\ne 0</math>. Поэтому термин мнимое число неоднозначен, и использовать его без дополнительных разъяснений не рекомендуется.
• Величина <math>b</math> называется мнимой частью числа <math>z</math> и согласно международным стандартам ISO 31-11 и ISO 80000-2 обозначается <math>\operatorname{Im}z</math> или <math>\operatorname{Im}\left(z\right)</math> (от фр. Imaginaire — мнимый<ref name=EVGR9/>). В источниках иногда встречается готический символ<ref>Шаблон:Cite web</ref>: <math>\operatorname\Im\left(z\right)</math>.
  • Если <math>b=0</math>, то <math>z</math> является вещественным числом. Вместо <math>a+0i</math> обычно пишут просто <math>a</math>. Например, комплексный ноль <math>0+0i</math> обозначается просто как <math>0</math>.

Противоположным для комплексного числа <math>z=a+bi</math> является число <math>-z=-a-bi</math>. Например, для числа <math>1-2i</math> противоположным будет число <math>-1+2i</math>.

В отличие от вещественных, комплексные числа нельзя сравнивать на больше/меньше; доказано, что нет способа распространить порядок, заданный для вещественных чисел, на все комплексные так, чтобы порядок был согласован с арифметическими операциями (чтобы из <math>a<b</math> вытекало <math>a+c<b+c</math>, а из <math>0<a</math> и <math>0<b</math> вытекало <math>0<ab</math>). Однако, комплексные числа можно сравнивать на равно/не равно<ref name=AMA180/>:

• <math>a+bi=c+di</math> означает, что <math>a=c</math> и <math>b=d</math> (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части).

Четыре арифметические операции для комплексных чисел (определённые ниже) имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами.

Сложение и вычитание

Определение сложения и вычитания комплексных чисел<ref name=AMA180/>:

<math>\left(a+bi\right) + \left(c+di\right) = \left(a+c\right) + \left(b+d\right)i</math>,

<math>\left(a+bi\right) - \left(c+di\right) = \left(a-c\right) + \left(b-d\right)i</math>.

Следующая таблица<ref name=AMA180/> показывает основные свойства сложения для любых комплексных <math>u,v,w</math>.

Свойство	Алгебраическая запись
Коммутативность (переместительность)	<math>u+v = v+u</math>
Ассоциативность (сочетательность)	<math>u+\left(v+w\right) = \left(u+v\right)+w</math>
Свойство нуля	<math>u+0 = u</math>
Свойство противоположного элемента	<math>u+\left(-u\right)=0</math>
Выполнение вычитания через сложение	<math>u-v=u+\left(-v\right)</math>

Умножение

Определение произведения<ref name=AMA180/> комплексных чисел <math>a+bi</math> и <math>c+di\colon</math>

<math>\left(a+bi\right) \cdot \left(c+di\right) = ac+bci+adi+bdi^2 = \left(ac+bdi^2\right) +\left(bc+ad\right)i=\left(ac-bd\right)+\left(bc+ad\right)i.

</math> Следующая таблица<ref name=AMA180/> показывает основные свойства умножения для любых комплексных <math>u,v,w</math>.

Свойство	Алгебраическая запись
Коммутативность (переместительность)	<math>u \cdot v = v \cdot u</math>
Ассоциативность (сочетательность)	<math>u \cdot \left(v \cdot w\right) = \left(u \cdot v\right) \cdot w</math>
Свойство единицы	<math>u \cdot 1 = u</math>
Свойство нуля	<math>u \cdot 0 = 0</math>
Дистрибутивность (распределительность) умножения относительно сложения	<math>u \cdot \left(v+w\right)=u \cdot v + u \cdot w</math>

Правила для степеней мнимой единицы:

<math>i^1=i; \; i^2=-1; \; i^3=-i; \; i^4=1; \; i^5=i</math> и т. д.

То есть для любого целого числа <math>n</math> верна формула <math>i^{n}=i^{n \bmod 4}</math>, где выражение <math>n \bmod 4</math> означает получение остатка от деления <math>n</math> на 4.

После определения операций с комплексными числами выражение <math>a+bi</math> можно воспринимать не как формальную запись, а как выражение, составленное по приведённым выше правилам сложения и умножения. Чтобы это показать, раскроем все входящие в него переменные, следуя вышеприведённым соглашениям и определению сложения и умножения:

<math>\left(a+0i\right) + \left(b+0i\right)\cdot \left(0+1i\right) = \left(a+0i\right) + \left(0+bi\right) = a+bi</math>.

Деление

Комплексное число <math>\bar z=x-iy</math> называется сопряжённым к комплексному числу <math>z=x+iy</math> (подробнее ниже).

Для каждого комплексного числа <math>a+bi</math>, кроме нуля, можно найти обратное к немуШаблон:Sfn комплексное число <math>\frac{1}{a+bi}</math>. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число <math>a-bi</math>, комплексно сопряжённое знаменателю

<math>\frac{1}{a+bi}= \frac{a-bi}{\left(a+bi\right)\left(a-bi\right)}= \frac{a-bi}{a^2+b^2}= \frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}i</math>.

Определим результат деления<ref name=AMA180/> комплексного числа <math>a+bi</math> на ненулевое число <math>c+di\colon</math>

<math>\frac{a+bi}{c+di}=\frac{\left(a+bi\right)\left(c-di\right)}{\left(c+di\right)\left(c-di\right)}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i</math>.

Как и для вещественных чисел, деление можно заменить умножением делимого на число, обратное к делителю.

Другие операции

Для комплексных чисел определены также извлечение корня, возведение в степень и логарифмирование.

Основные отличия комплексных чисел от вещественных

Уже упоминалось, что комплексные числа нельзя сравнивать на больше-меньше (иными словами, на множестве комплексных чисел не задано отношение порядка). Другое отличие: любой многочлен степени <math>n>0</math> с комплексными (в частности, вещественными) коэффициентами имеет, с учётом кратности, ровно <math>n</math> комплексных корней (основная теорема алгебры)Шаблон:Sfn.

В системе вещественных чисел из отрицательного числа нельзя извлечь корень чётной степени. Для комплексных чисел возможно извлечение корня из любого числа любой степени, однако результат неоднозначен — комплексный корень <math>n</math>-й степени из ненулевого числа имеет <math>n</math> различных комплексных значений<ref name=EEM237/>. См., например, корни из единицы.

Дополнительные отличия имеют функции комплексного переменногоШаблон:Переход.

Замечания

Число <math>i</math> не является единственным числом, квадрат которого равен <math>-1</math>. Число <math>-i</math> также обладает этим свойством.

Выражение <math>\sqrt{-1}</math>, ранее часто использовавшееся вместо <math>i</math>, в современных учебниках считается некорректным, и под знаком радикала стали допускаться только неотрицательные выражения (см. «Арифметический корень»). Во избежание ошибок, выражение с квадратными корнями из отрицательных величин в настоящее время принято записывать как <math>5+i\sqrt{3}</math>, а не <math>5+\sqrt{-3}</math>, несмотря на то, что ранее второй вариант записи считался допустимымШаблон:Sfn<ref name=Bunch>Шаблон:Книга</ref>.

Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

<math>\sqrt{-3} \cdot \sqrt{-3} = \sqrt{ \left( -3 \right) \cdot \left( -3 \right)} = \sqrt{ \left( -3 \right)^2} = \sqrt{9}= 3</math>.

Эта ошибка связана с тем, что квадратный корень из <math>-3</math> определён неоднозначно (см. ниже #Формула Муавра и извлечение корней). При использовании современной записи такой ошибки не возникло бы<ref name=Bunch/>:

<math>\left( i \sqrt{3} \right) \cdot \left( i \sqrt{3} \right) = \left( i \cdot \sqrt{3} \right)^2 = i^2 \cdot \left( \sqrt{3} \right)^2 = -3</math>.

Геометрическое представление

Комплексная плоскость

Геометрическое представление комплексного числа

Комплексные числа можно представить на плоскости с прямоугольной системой координат: числу <math>z=x+iy</math> соответствует точка плоскости с координатами <math>\left\{ x, y \right\}</math> (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней расположены на горизонтальной оси, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осямиШаблон:Sfn.

Модуль <math>r</math> и аргумент <math>\varphi</math> комплексного числа

Бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат (см. рисунок справа), в которой координатами точки являются расстояние <math>r</math> до начала координат (модульШаблон:Переход) и угол <math>\varphi</math> радиус-вектора точки с горизонтальной осью (аргументШаблон:Переход).

В этом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов, а вычитанию чисел соответствует вычитание радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются (последнее несложно вывести из формулы Эйлера или из тригонометрических формул суммы). Если модуль второго сомножителя равенШаблон:Nbsp1, то умножение на него соответствует повороту радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа<ref name=EEM234/>. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза»<ref>ГОСТ Р 52002-2003. Электротехника. Термины и определения основных понятий Шаблон:Wayback. Пункт 152. Комплексная амплитуда (синусоидального электрического) тока — комплексная величина, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и начальной фазе данного синусоидального электрического тока.</ref>.

Пример: умножение на <math>i</math> поворачивает радиус-вектор числа на прямой угол в положительном направлении, а после умножения на <math>-i</math> радиус-вектор поворачивается на прямой угол в отрицательном направлении.

Модуль

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же самое, расстояние от точки комплексной плоскости до начала координат). Модуль комплексного числа <math>z=x+iy</math> обозначается <math>\left| z \right|</math> (иногда <math>r</math> или <math>\rho</math>) и определяется выражением<ref name=EEM234/>

<math>\left| z \right| = \sqrt{x^2+y^2}</math>.

Если <math>z</math> является вещественным числом, то <math>\left| z \right|</math> совпадает с абсолютной величиной этого числа в вещественном понимании термина.

Для любых комплексных <math>z, z_1, z_2</math> имеют место следующие свойства модуляШаблон:SfnШаблон:Sfn:

1) <math>\left| z \right| \geqslant 0</math>, причём <math> \left| z \right| = 0</math> только при <math>z = 0</math>;

2) <math>\left| z_1 + z_2 \right| \leqslant \left| z_1 \right| + \left| z_2 \right|</math> (неравенство треугольника);

3) <math>\left| z_1 \cdot z_2 \right| = \left| z_1 \right| \cdot \left| z_2 \right|</math>;

4) <math>\left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}</math>;

5) для пары комплексных чисел <math>z_1</math> и <math>z_2</math> модуль их разности <math>\left| z_1-z_2 \right|</math> равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости;

6) модуль числа <math>z</math> связан с вещественной и мнимой частями этого числа соотношениями:

<math>-\left|z\right| \leqslant \operatorname{Re}(z) \leqslant \left|z\right|; \quad -\left|z\right| \leqslant \operatorname{Im}(z) \leqslant \left|z\right|; \quad \left|z\right| \leqslant \left|\operatorname{Re}\left(z\right)\right| + \left|\operatorname{Im}\left(z\right)\right|</math>.

Аргумент

Аргументом ненулевого комплексного числа называется угол <math>\varphi</math> между радиус-вектором соответствующей точки и положительной вещественной полуосью. Аргумент числа <math>z</math> измеряется в радианах и обозначается <math>\operatorname{Arg} \left(z\right)</math>. Из этого определения следует, что<ref name=EEM234/>

<math>\operatorname {tg}\ \varphi = \frac {y} {x}; \quad \cos \varphi = \frac {x} { \left| z \right|}; \quad \sin \varphi = \frac {y} {\left| z \right|}</math>.

Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа <math>z</math> аргумент определяется с точностью до <math>2 \pi k</math>, где <math>k</math> — любое целое число. Главным значением аргумента называется такое значение <math>\varphi</math>, что <math>-\pi<\varphi\leqslant\pi</math>. Главное значение может обозначаться <math>\operatorname{arg} \left( z \right)</math>Шаблон:Sfn.

Некоторые свойства аргумента<ref name=AH6/>:

1) аргумент обратного числа отличается знаком от аргумента исходного:

<math>\operatorname{Arg} \left(\frac {1}{z}\right) = -\operatorname{Arg} \left( z \right)</math>;

2) аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей:

<math>\operatorname{Arg}(z_1 z_2) = \operatorname{Arg}(z_1) + \operatorname{Arg}(z_2)</math>;

3) аргумент частного от деления равен разности аргументов делимого и делителя:

<math>\operatorname{Arg}\frac{z_1}{z_2} = \operatorname{Arg}(z_1) - \operatorname{Arg}(z_2)</math>.

Сопряжённые числа

Ошибка создания миниатюры:

Геометрическое представление сопряжённых чисел

Если комплексное число <math>z</math> равно <math>x+iy</math>, то число <math>\bar z=x-iy</math> называется сопряжённым (или комплексно-сопряжённым) к <math>z</math> (обозначается также <math>z^*</math>). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются друг из друга зеркальным отражением относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как исходного, а их аргументы различаются знакомШаблон:Sfn:

• <math>\left| \bar{z} \right| = \left| z \right|;\quad \operatorname{Arg}(\bar{z}) = - \operatorname{Arg}(z)</math>.

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию, которая сохраняет все арифметические и алгебраические свойства. Эта операция имеет следующие свойства<ref name=AMA183/>:

• <math>z = \bar{z}</math> тогда и только тогда, когда <math>z</math> — вещественное число.
• <math>\bar{\bar{z}} = z</math> (сопряжённое к сопряжённому есть исходное; иначе говоря, операция сопряжения является инволюцией).

Произведение комплексно-сопряжённых чисел — неотрицательное вещественное число, равное нулю только для нулевого z<ref name=AH6/>:

• <math>z \cdot \bar z = \left| z \right|^2 = x^2 + y^2</math>.

Сумма комплексно-сопряжённых чисел — вещественное число<ref name=AH6/>:

• <math>z + \bar z = 2 \operatorname{Re} \left( z \right) = 2x</math>.

Другие соотношения<ref name=AH6/>:

• <math>\operatorname{Re}\,z=\frac{z+\bar z}{2};\quad\operatorname{Im}\,z=\frac{z-\bar z}{2i}</math>.
• <math>\overline{z_1 + z_2}=\bar z_1 + \bar z_2</math>;
• <math>\overline{z_1 - z_2}=\bar z_1 - \bar z_2</math>;
• <math>\overline{z_1\cdot z_2}=\bar z_1\cdot\bar z_2</math>;
• <math>\overline{z_1/z_2}=\bar z_1/\bar z_2</math>;

Или, в общем виде: <math>\overline{p \left( z \right)} = p \left(\bar z \right)</math>, где <math>p \left( z \right)</math> — произвольный многочлен с вещественными коэффициентами. В частности, если комплексное число <math>z</math> является корнем многочлена с вещественными коэффициентами, то сопряжённое число <math>\overline{z}</math> тоже является его корнем. Из этого следует, что существенно комплексные корни такого многочлена (то есть корни, не являющиеся вещественными) разбиваются на комплексно-сопряжённые пары<ref name=AH6/>.

Пример

Тот факт, что произведение <math>z \bar z</math> есть вещественное число, можно использовать, чтобы выразить комплексную дробь в канонической форме, то есть избавиться от мнимости в знаменателе. Для этого надо умножить числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю выражение<ref name=AH15/>, например:

<math>\frac{2+5i}{3-4i} = \frac{(2+5i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)} = \frac{-14+23i}{25} = -\frac{14}{25} + \frac{23}{25}i</math>.

Формы представления комплексного числа

Алгебраическая форма

Выше использовалась запись комплексного числа <math>z</math> в виде <math>x+iy</math>; такая запись называется алгебраической формой комплексного числа. Две другие основные формы записи связаны с представлением комплексного числа в полярной системе координат.

Тригонометрическая форма

Файл:ParameterizedCircle-2.svg

Тригонометрическое представление

Если вещественную <math>x</math> и мнимую <math>y</math> части комплексного числа выразить через модуль <math>r = \left| z \right|</math> и аргумент <math>\varphi</math> (то есть <math>x=r\cos\varphi</math>, <math>y=r\sin\varphi</math>), то всякое комплексное число <math>z</math>, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме<ref name=EEM234/>:

<math>z=r \left( \cos\varphi + i\sin\varphi \right)</math>

Как уже сказано выше, для нуля аргумент <math>\varphi</math> не определён; для ненулевого числа <math>\varphi</math> определяется с точностью до целого кратного <math>2\pi</math>.

Показательная форма

Фундаментальное значение в комплексном анализе имеет формула Эйлера<ref name=AH15/>:

<math>e^{i\varphi}=\cos \varphi+i\sin \varphi</math>,

где <math>e</math> — число Эйлера, <math>\cos</math>, <math>\sin</math> — косинус и синус, <math>e^{i\varphi}</math> — комплексная экспонента, продолжающая вещественную на случай общего комплексного показателя степени.

Применяя эту формулу к тригонометрической форме, получим показательную форму комплексного числа<ref name=AH15/>:

<math>z=re^{i\varphi}</math>.

Следствия

(1) Модуль выражения <math>e^{i\varphi}</math>, где число <math>\varphi</math> вещественно, равен 1.

(2) <math>\cos\varphi=\frac{ e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}{2};\quad\sin\varphi=\frac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i}</math> — при существенно комплексном аргументе <math>\varphi</math> эти равенства могут служить определением (комплексного) косинуса и синуса.

(3)Шаблон:Sfn <math>\bar z = re^{-i\varphi};\quad\ r = \sqrt{z\bar z};\quad\ e^{i\varphi} = \sqrt{\frac z{\bar z}}</math>.

ПримерШаблон:Sfn. Представим в тригонометрической и показательной форме число <math>z=-1-\sqrt{3}i\colon</math>

<math>|z|=\sqrt{(-1)^2+(-\sqrt3)^2}=\sqrt{1+3}=2</math>;

<math>\varphi=-\pi+\operatorname{arctg}\Bigl(\frac{-\sqrt{3}}{-1}\Bigr)=-\pi+\operatorname{arctg}(\sqrt{3})=-\frac{2\pi}{3}</math> (поскольку <math>z</math> находится в III координатной четверти).

Отсюда:

<math>z = 2\left(\cos \frac{-2\pi}{3} + i \sin \frac{-2\pi}{3}\right) = 2e^{i \frac{-2\pi}{3}}</math>.

Формула Муавра и извлечение корней

Шаблон:Main Эта формула помогает возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет видШаблон:Sfn:

<math>z^n = \left[ r \left( \cos\varphi + i\sin\varphi \right) \right]^n = r^n \left( \cos n\varphi + i\sin n\varphi \right)</math>,

где <math>r</math> — модуль, а <math>\varphi</math> — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведённая формула справедлива при любом целом <math>n</math>, не обязательно положительном.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней <math>n</math>-й степени из ненулевого комплексного числаШаблон:Sfn:

<math>\begin{alignat}{2} z^{1/n} &= \left[ r \left( \cos \left( \varphi + 2\pi k \right) + i \sin \left( \varphi + 2\pi k \right) \right) \right]^{1/n}= \\

& =\sqrt[n]{r} \left(\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right), \\ \end{alignat}</math>

Файл:Kreis5Teilung.svg

Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)

где k принимает все целые значения от <math>k=0</math> до <math>k=n-1</math>. Это значит, что корни <math>n</math>-й степени из ненулевого комплексного числа существуют для любого натурального <math>n</math>, и их количество равно <math>n</math>. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного Шаблон:Nobr, вписанного в окружность радиуса <math>\sqrt[n]{r}</math> с центром в начале координат (см. рисунок).

Главное значение корня

Если в формуле Муавра в качестве аргумента <math>\varphi</math> выбрано его главное значение, то значение корня при <math>k=0</math> называется главным значением корня<ref>Шаблон:Mathworld</ref>. Например, главное значение корня числа <math>\sqrt[3]{2+11i}</math> равно <math>2+i</math>.

Квадратный корень

Для извлечения квадратного корня из комплексного числа можно преобразовать это число в тригонометрическую форму и воспользоваться формулой Муавра для <math>n=2</math>. Но существует и чисто алгебраическое представление для двух значений корня. При <math>b\neq 0</math> корнями из числа <math>a+bi</math> является пара чисел: <math>\pm(c+di)</math>, гдеШаблон:Sfn:

<math>c = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}} </math>,

<math>d = \sgn (b) \sqrt{\frac{-a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}} </math>.

Здесь <math>\sgn</math> — функция «знак», а радикалы обозначают обычный арифметический корень из неотрицательного вещественного числа. Формула легко проверяется возведением <math>c+di</math> в квадрат. Число <math>c+di</math> является главным значением квадратного корня.

Пример: для квадратного корня из <math>3+4i</math> формулы дают два значения: <math>2+i;\; -2-i</math>.

История

Зарождение понятия комплексного числа исторически было связано с желанием «легализовать» квадратные корни из отрицательных чисел. Как постепенно выяснилось, комплексные числа обладают богатыми алгебраическими и аналитическими свойствами; в частности, извлечение корней из них всегда возможно, хотя и неоднозначно.

Впервые, по-видимому, мнимые величины были упомянуты в труде Кардано «Великое искусство, или об алгебраических правилах» (1545), в рамках формального решения задачи по вычислению двух чисел, сумма которых равнаШаблон:Nbsp10, а произведение равноШаблон:Nbsp40. Он получил для этой задачи квадратное уравнение, корни которого: <math>5+\sqrt{-15}</math> и <math>5-\sqrt{-15}</math>. В комментарии к решению он написал: «эти сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитроумны», и «арифметические соображения становятся всё более неуловимыми, достигая предела столь же утончённого, сколь и бесполезного»<ref name="kline" />.

Возможность использования мнимых величин при решении кубического уравнения впервые описал Бомбелли (1572), он же дал правила сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел. Уравнение <math>x^3 = 15x + 4</math> имеет вещественный корень <math>x = 4</math>, однако по формулам Кардано получаем: <math>x=\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i}. </math> Бомбелли обнаружил, что <math>\sqrt[3]{2 \pm 11i}=2 \pm i</math>, так что сумма этих величин даёт нужный вещественный корень. Он отметил, что в подобных (неприводимых) случаях комплексные корни уравнения всегда сопряжены, поэтому в сумме и получается вещественное значение. Разъяснения Бомбелли положили начало успешному применению в математике комплексных чисел<ref name="kline"/><ref name=ST258>Шаблон:Книга</ref>.

Выражения, представимые в виде <math>a+b\sqrt{-1}</math>, появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, где <math>b\neq0</math>, стали называть «мнимыми» в XVI—XVII веках с подачи Декарта, который называл их так, отвергая их реальность. Для многих других крупных учёных XVII века природа и право на существование мнимых величин тоже представлялись весьма сомнительными. Лейбниц, например, в 1702 году писал: «Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы». Несмотря на эти сомнения, математики уверенно применяли к «мнимым» числам привычные для вещественных величин алгебраические правила и получали корректные результаты<ref name="kline">Шаблон:Книга</ref>.

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным результатам или же, например, извлечение корня может привести к открытию ещё какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени <math>n</math> из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722)Шаблон:Sfn.

Символ <math>i</math> для обозначения мнимой единицы предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву латинского слова imaginarius — «мнимый». Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль, что в системе комплексных чисел любой многочлен имеет корень (основная теорема алгебры, до Эйлера сходные предположения высказывали Альбер Жирар и Рене Декарт)<ref>Шаблон:Книга — С. 15—47.</ref>. К такому же выводу пришёл д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799)<ref name=ST258/>. Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году (ранее термин использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году, но тогда он не получил распространения)<ref>Шаблон:Cite web</ref>.

Геометрическое представление комплексных чисел, немало способствовавшее их легализации, предложили в конце XVIII — начале XIX веков сначала Вессель и Арган (их работы не привлекли внимания), а затем Гаусс<ref>Шаблон:Книга</ref>. Арифметическая (стандартная) модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном («Теория алгебраических пар», 1837); это доказало непротиворечивость их свойств. Термины «модуль», «аргумент» и «сопряжённое число» ввёл в начале XIX века Коши, значительно продвинувший комплексный анализ. С XIX века началось бурное и чрезвычайно плодотворное развитие исследований функций комплексного переменного<ref name=MAT/><ref>Шаблон:Книга</ref>.

С учётом этого успешного подхода начались поиски способа представления векторов в трёхмерном пространстве, аналогичное комплексной плоскости. В результате пятнадцатилетних поисков Гамильтон предложил в 1843 году обобщение комплексных чисел — кватернионы, которые он был вынужден сделать не трёхмерными, а четырёхмерными (трёхмерные векторы изображала мнимая часть кватернионов); также Гамильтону пришлось отказаться от коммутативности операции умножения<ref name=MAT/>.

В 1893 году Чарлз Штейнмец предложил использовать комплексные числа для расчётов электрических цепей переменного тока (см. ниже).

Комплексные функции

Аналитические функции

Шаблон:Main Комплексная функция одной переменной — это функция <math>w=f(z)</math>, которая определена на некоторой области комплексной плоскости и ставит в соответствие точкам <math>z</math> этой области комплексные значения <math>w</math><ref name=SMIR7/>. Примеры:

<math> w = z^2+z+1;\quad w = z+\frac{1}{z}</math>.

Каждая комплексная функция <math>w = f(z) = f(x+iy)</math> может рассматриваться как пара вещественных функций от двух переменных: <math>f(z)=u(x,\;y)+iv(x,\;y)</math>, определяющих её вещественную и мнимую часть соответственно. Функции <math>u</math>, <math>v</math> называются компонентами комплексной функции <math>f(z)</math>. Аналогично определяется функция нескольких комплексных переменных<ref name=SMIR7/>.

Наглядное представление комплексной функции графиком затруднительно, так как даже для функции одной комплексной переменной график требует четырёх измерений (два на область определения и ещё два для области значений). Если вместо значения функции рассматривать её модуль <math>|w|=|f(z)|</math>, то полученный рельеф функции размещается в трёх измерениях и даёт некоторое представление о поведении функцииШаблон:Sfn.

Все стандартные функции анализа — многочлен, дробно-линейная функция, степенная функция, экспонента, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, логарифм — могут быть распространены на комплексную плоскость. При этом для них будут иметь место те же алгебраические, дифференциальные и другие тождества, что и для вещественного оригинала<ref name=SMIR7/>, например:

<math>\sin^2 z + \cos^2 z = 1; \qquad e^u \cdot e^v = e^{u+v}</math>.

Для комплексных функций определяются понятия предела, непрерывности и производной так же, как в вещественном анализе, с заменой абсолютной величины на комплексный модульШаблон:Sfn.

Дифференцируемые комплексные функции (то есть функции, имеющие производную) обладают рядом особенностей по сравнению с вещественнымиШаблон:Sfn.

• Вещественная и мнимая часть дифференцируемой функции — гармонические функции, связанные условиями Коши — Римана.
• Всякая дифференцируемая в некоторой окрестности точки <math>z</math> комплексная функция дифференцируема неограниченное число раз в этой точке (то есть аналитична, или голоморфна).

Определённый интеграл для функций одной комплексной переменной, вообще говоря, зависит от пути интегрирования (то есть выбора кривой от начальной до конечной точки в комплексной плоскости). Однако если интегрируемая функция аналитична в односвязной области, то её интеграл внутри этой области не зависит от путиШаблон:Sfn.

Преобразования комплексной плоскости

Всякая комплексная функция может рассматриваться как преобразование комплексной плоскости (или как преобразование одной комплексной плоскости в другую). Примеры:

• <math>w=z+c</math> — параллельный перенос, определяемый радиус-вектором точки <math>c</math>.
• <math>w=uz</math>, где <math>u</math> — комплексное число с единичным модулем, — это поворот вокруг начала координат на угол, равный аргументу <math>u</math>;
• <math>w=\bar z</math> — зеркальное отражение относительно вещественной оси.

Поскольку любое движение на плоскости есть комбинация перечисленных трёх преобразований, функции <math>w=uz+c</math> и <math>w=u\bar z+c</math> дают общее выражение для движения на комплексной плоскости<ref name=GP>Шаблон:Книга</ref>.

Другие линейные преобразования<ref name=GP/>:

• <math>w=rz</math>, где <math>r</math> — положительное вещественное число, задаёт растяжение с коэффициентом <math>r</math>, если <math>r>1</math>, или сжатие в <math>\tfrac1r</math> раз, если <math>r<1</math>;
• преобразования <math>w=az+b</math> и <math>w=a\bar z+b</math>, где <math>a,b</math> — произвольные комплексные числа, задают преобразование подобия;
• преобразование <math>w=az+b\bar z+c</math>, где <math>|a|\ne |b|</math>, — общий вид аффинного преобразования комплексной плоскости (при <math>|a| = |b|</math> преобразование не будет аффинным, так как оно будет вырождать плоскость в прямую).

Важную роль в комплексном анализе играют дробно-линейные преобразованияШаблон:Sfn:

<math>w=\frac{az+b}{cz+d}</math>.

При этом <math>ad \ne bc</math> (иначе функция <math>w(z)</math> вырождается в константу). Характеристическое свойство дробно-линейного преобразования: оно переводит окружности и прямые в окружности и прямые (то есть в так называемые обобщённые окружности<ref>Шаблон:Cite web</ref><ref>Шаблон:Cite web</ref>, в число которых входят «окружности бесконечного радиуса» — прямые). При этом образом окружности может оказаться прямая, и наоборот<ref name=EVGR180/>.

Среди других практически полезных функций преобразования: инверсия <math>w=1/\bar z</math>, функция Жуковского. Инверсия, как и дробно-линейное преобразование, переводит обобщённые окружности в обобщённые окружности.

Аналитическая геометрия на комплексной плоскости

Исследование плоских фигур нередко облегчается, если перенести их на комплексную плоскость. Многие теоремы планиметрии допускают наглядную и компактную запись с помощью комплексных чисел, напримерШаблон:Sfn:

• Три (различные) точки <math>z_1,z_2,z_3</math> лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие:

<math>\frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3}</math> является вещественным числом.

• Четыре (различные) точки <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> лежат на одной обобщённой окружности (окружности или прямой) тогда и только тогда, когда выполняется условие:

отношение <math>\frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} : \frac{z_1 - z_4}{z_2 - z_4}</math> является вещественным числом.

• Если даны три вершины параллелограмма: <math>z_1, z_2, z_3, </math> то четвёртая определяется равенствомШаблон:Sfn: <math>z_4 = z_1 - z_2 + z_3</math>.

Параметрическое уравнение прямой на комплексной плоскости имеет видШаблон:Sfn:

<math>z = ut + v</math>, где <math>u,v</math> — комплексные числа, <math>u \ne 0, t</math> — произвольный вещественный параметр.

Угол между двумя прямыми <math>z = ut + v</math> и <math>z = u't + v'</math> равен <math>\operatorname{arg}(u'/u)</math>. В частности, прямые перпендикулярны, только когда <math>u'/u</math> — чисто мнимое число. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда <math>u' / u</math> есть вещественное число; если при этом <math>(v'-v)/u</math> также вещественно, то обе прямые совпадают. Каждая прямая <math>z = ut + v</math> рассекает комплексную плоскость на две полуплоскости: на одной из них выражение <math>t=\operatorname{Im}\frac{z-v}{u}</math> положительно, на другой — отрицательно<ref name=AH17/>.

Уравнение окружности с центром <math>c</math> и радиусом <math>r</math> имеет чрезвычайно простой вид: <math>|z-c| = r</math>. Неравенство <math>|z-c| < r</math> описывает внутренность окружности (открытый круг)<ref name=AH17/>. Часто удобна параметрическая форма уравнения окружностиШаблон:Sfn: <math>z=c+e^{i\varphi}</math>.

Место в общей алгебре, топологии и теории множеств

Множество комплексных чисел <math>\mathbb{C}</math> образует поле, которое является конечным расширением степени 2 поля вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math>. Основное алгебраическое свойство <math>\mathbb{C}</math> — оно алгебраически замкнуто, то есть в нём любой многочлен имеет (комплексные) корни и, следовательно, распадается на линейные множители. Говорят также, что <math>\mathbb{C}</math> есть алгебраическое замыканиеШаблон:Sfn поля <math>\mathbb{R}</math>.

Характеристика комплексного поля равна нулю, мощность <math>\mathbb{C}</math> как множества та же, что и у поля вещественных чисел, то есть континуум. Теорема Фробениуса установила, что существуют только два тела, являющиеся конечными расширениями <math>\mathbb{R}</math> — поле комплексных чисел и тело кватернионовШаблон:Sfn.

Превратить поле комплексных чисел в упорядоченное поле невозможно, потому что в упорядоченном поле квадрат любого элемента неотрицателен, и мнимая единица в нём не может существовать.

Из свойств модуля следует, что комплексные числа образуют структуру двумерного нормированного пространства над полем <math>\mathbb{R}</math>.

Поле <math>\mathbb{C}</math> допускает бесконечно много автоморфизмов, но только один из них (не считая тождественного) оставляет вещественные числа на местеШаблон:Sfn.

Поля <math>\mathbb{R}</math> и <math>\mathbb{C}</math> — единственные связные локально компактные топологические поля<ref>Шаблон:Книга</ref>.

Некоторые практические применения

Те особенности комплексных чисел и функций, которые отличают их от вещественных, оказались полезными, а часто и незаменимыми в математике, в естественных науках и технике.

Математика

Приложения комплексных чисел сами по себе занимают видное место в математике — в частности, понятия алгебраических чисел, нахождение корней многочленов, теория Галуа, комплексный анализ и т. д.

Перенеся геометрическую задачу с обычной плоскости на комплексную, мы нередко получаем возможность значительно упростить её решениеШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Многие сложные задачи теории чисел (например, теория биквадратичных вычетов) и вещественного математического анализа (например, вычисление сложных или несобственных интегралов) удалось решить только с помощью средств комплексного анализа. Мощным инструментом для открытий в теории чисел оказались, например, гауссовы числа вида <math>a+bi</math>, где <math>a,b</math> — целые числаШаблон:Sfn. Для исследования распределения простых чисел понадобилась комплексная дзета-функция Римана<ref>Шаблон:Книга</ref>.

Нередко проблемы вещественного анализа проясняются при их комплексном обобщении. Классический пример — разложение в ряд Тейлора

<math>\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\ldots</math>

Этот ряд сходится только в интервале <math>(-1;\;1)</math>, хотя точки <math>\pm 1</math> не являются какими-то особенными для приведённой функции. Положение проясняется при переходе к функции комплексного переменного <math>f(z)=\frac{1}{1+z^2}</math>, у которой обнаруживаются две особые точки: полюса <math>\pm i</math>. Соответственно, эту функцию можно разложить в ряд только в круге единичного радиусаШаблон:Sfn.

При решении линейных дифференциальных уравнений важно сначала найти все комплексные корни характеристического многочлена, а затем попытаться решить систему в терминах базовых экспонент<ref>Шаблон:Книга</ref>. В разностных уравнениях используются для аналогичной цели комплексные корни характеристического уравнения системы разностных уравнений<ref>Шаблон:Книга</ref>. С помощью теории вычетов, являющейся частью комплексного анализа, вычисляются многие сложные интегралы по замкнутым контурамШаблон:Sfn..

Исследование функции часто связано с анализом её частотного спектра с помощью комплексного преобразования Фурье или ЛапласаШаблон:Sfn.

О представлении комплексных чисел в информатике и компьютерной поддержке комплексной арифметики изложено в статье Комплексный тип данных.

Конформное отображение

Файл:Conformal map.svg

Пример конформного преобразования

Шаблон:Main Как уже отмечалось выше, всякая комплексная функция может рассматриваться как преобразование одной комплексной плоскости в другую. Гладкая (аналитическая) функция обладает двумя особенностями: если в заданной точке производная не равна нулю, то коэффициент растяжения/сжатия при этом преобразовании одинаков по всем направлениям, угол поворота также постоянен (конформное отображение)Шаблон:Sfn. С этим фактом связано широкое применение комплексных функций в картографии<ref>Шаблон:Книга</ref><ref>Шаблон:Cite web</ref> и гидродинамике<ref>Шаблон:Книга</ref>.

Квантовая механика

Шаблон:Main Основой квантовой механики является понятие комплексной волновой функции. Для описания динамики квантовой системы используются дифференциальные уравнения с комплексными коэффициентами типа уравнения Шрёдингера. Решения этих уравнений заданы в комплексном гильбертовом пространстве. Операторы, соответствующие наблюдаемым величинам, эрмитовы. Коммутатор операторов координаты <math>\hat{x}</math> и импульса <math>\hat{ p }_x </math> представляет собой мнимое число:

<math> \left [ \hat{ x }, \hat{ p }_x \right ] = \hat{x} \hat{p}_x - \hat{p}_x \hat{x} = i \hbar \,</math>.

Здесь <math>\hbar</math> — редуцированная постоянная Планка <math>h</math>, то есть <math>h/2\pi</math> (постоянная Дирака)<ref name=LAND/>.

Важную роль в квантовой механике играют матрицы Паули и матрицы Дирака, некоторые из них содержат комплексные значения<ref name="LAND">Шаблон:Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Квантовая механика</ref>. Ю. Вигнер уточнял, что «…использование комплексных чисел в квантовой механике не является вычислительным трюком прикладной математики; они входят в самую суть формулировки основных законов квантовой механики»<ref>Шаблон:Статья</ref>.

Электротехника

Шаблон:Main Поскольку переменный ток есть колебательный процесс, его удобно описывать и исследовать с применением комплексных чисел. Вводятся также понятия импеданса, или комплексного сопротивления, для реактивных элементов электрической цепи, таких как ёмкость и индуктивность, — это помогает рассчитать токи в цепиШаблон:Sfn. Ввиду того, что традиционно символ <math>i</math> в электротехнике обозначает величину тока, мнимую единицу там обозначают буквой <math>j</math><ref>Шаблон:Книга</ref>. Во многих областях электротехники (в основном радиочастотной и оптической) используется не запись уравнений тока и напряжения для цепи, а напрямую уравнения Максвелла в их спектральном представлении, физические величины которых заданы в комплексной плоскости, и при переходе из Шаблон:Math- в Шаблон:Math-пространство (где Шаблон:Math — время, Шаблон:Math — координата, Шаблон:Math — угловая частота, Шаблон:Math — волновой вектор) посредством преобразования Фурье получаются более простые уравнения без производных<ref>Шаблон:Книга</ref>.

Логические основания

Расширение поля вещественных чисел до комплексных, как и любое другое расширение алгебраической структуры, ставит множество вопросов, основные из которых — это вопросы о том, как определить операции над новым типом чисел, какие свойства будут иметь новые операции и (главный вопрос) допустимо ли такое расширение, не приведёт ли оно к неустранимым противоречиям.

Для анализа подобных вопросов в теории комплексных чисел надо сформировать набор аксиом.

Аксиоматика комплексных чисел

Можно определить аксиоматику множества комплексных чисел <math>\mathbb{C}</math>, если опираться на аксиоматическую теорию вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math>. А именно, определим <math>\mathbb{C}</math> как минимальное поле, содержащее множество вещественных чисел и по меньшей мере одно число, вторая степень которого равна −1, — мнимую единицу. Говоря более строго, аксиомы комплексных чисел следующиеШаблон:SfnШаблон:Sfn.

С1: Для всяких комплексных чисел <math>u,v</math> определена их сумма <math>u+v</math>.

С2: Сложение коммутативно: <math>u+v = v+u</math>. Далее в некоторых аксиомах для краткости будем опускать оговорку «для всяких <math>u,v,w</math>».

С3: Сложение ассоциативно: <math>(u+v)+w = u+(v+w)</math>.

С4: Существует элемент 0 (ноль) такой, что <math>u+0 = u</math>.

С5: Для всякого комплексного числа <math>u</math> существует противоположный ему элемент <math>-u</math> такой, что <math>u+(-u) = 0</math>.

С6: Для всяких комплексных чисел <math>u,v</math> определено их произведение <math>uv</math>.

С7: Умножение коммутативно: <math>uv = vu</math>.

С8: Умножение ассоциативно: <math>(uv)w = u(vw)</math>.

С9: Умножение связано со сложением распределительным (дистрибутивным) законом: <math>(u+v)w = uw+vw</math>.

С10: Существует элемент 1 (единица), не равный нулю и такой, что <math>u \cdot 1 = u</math>.

С11: Для всякого ненулевого числа <math>u</math> существует обратное ему число <math>u'</math> такое, что <math>u \cdot u' = 1</math>.

С12: Множество комплексных чисел <math>\mathbb{C}</math> содержит подполе, изоморфное полю вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math>. Для простоты далее это подполе обозначается той же буквой <math>\mathbb{R}</math>.

С13: Существует элемент <math>i</math> (мнимая единица) такой, что <math>i^2 + 1 = 0</math>.

С14 (аксиома минимальности): Пусть <math>M</math> — подмножество <math>\mathbb{C}</math>, которое: содержит <math>\mathbb{R}</math> и мнимую единицу и замкнуто относительно сложения и умножения. Тогда <math>M</math> совпадает со всем <math>\mathbb{C}</math>.

Из этих аксиом вытекают как следствия все прочие свойства. Первые 11 аксиом означают, что <math>\mathbb{C}</math> образует поле, а 12-я аксиома устанавливает, что это поле является расширением <math>\mathbb{R}</math>. Приведённая аксиоматика категорична, то есть любые её модели изоморфныШаблон:Sfn.

Существуют и другие варианты аксиоматики комплексных чисел. Например, вместо того, чтобы опираться на уже построенное упорядоченное поле вещественных чисел, можно в качестве базы использовать аксиоматику теории множеств<ref>Шаблон:Cite web</ref>.

Непротиворечивость и модели

Стандартный способ доказать непротиворечивость новой структуры — смоделировать (интерпретировать) её аксиомы с помощью объектов другой структуры, чья непротиворечивость сомнений не вызывает. В нашем случае мы должны реализовать эти аксиомы на базе вещественных чиселШаблон:Sfn.

Стандартная модель

Рассмотрим всевозможные упорядоченные пары вещественных чисел. В данной модели каждая такая пара <math>(a,b)</math> будет соответствовать комплексному числу <math>a+bi</math>.Шаблон:Sfn

Далее определим<ref name=NECH167/>:

1. пары <math>(a,b)</math> и <math>(c,d)</math> считаются равными, если <math>a=c</math> и <math>b=d</math>;
2. сложение: сумма пар <math>(a,b)</math> и <math>(c,d)</math> определяется как пара <math>(a+c,b+d)</math>;
3. умножение: произведение пар <math>(a,b)</math> и <math>(c,d)</math> определяется как пара <math>(ac-bd, ad+bc)</math>.

Пояснение: сложное, на первый взгляд, определение умножения легко выводится из соотношения <math>i^2=-1\colon</math>

<math>(a+bi)(c+di) = (a+bi)c+(a+bi)di = ac + bci + adi + bdi^2 = (ac-bd) + i (ad+bc)</math>.

Несложно убедиться, что описанная структура пар образует поле и удовлетворяет всему приведённому перечню аксиом комплексных чисел. Вещественные числа моделируются парами <math>(a,0)</math>, образующими подполе <math>\mathbb{R}</math>, причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Пары <math>(0,0)</math> и <math>(1,0)</math> соответствуют нулю и единице поля. Такой способ является частным случаем процедуры Кэли — Диксона.

Мнимая единица — это пара <math>(0,1)</math>, Квадрат её равен <math>\left( -1,\;0 \right)</math>, то естьШаблон:Nbsp<math>-1</math>. Любое комплексное число можно записать в виде <math>(a, b) = (a,0)(1,0) + (b,0) (0,1) = a (1,0) + b (0,1) = a + b i</math>.

Описанная модель доказывает, что приведённая аксиоматика комплексных чисел непротиворечива. Потому что если бы в ней было противоречие, то это означало бы противоречие и в базовой для данной модели арифметике вещественных чисел, которую мы заранее предположили непротиворечивой<ref name=NECH167/>.

Матричная модель

Комплексные числа можно также определить как подкольцо кольца вещественных матрицШаблон:Nbsp2×2 вида

<math>\begin{pmatrix}x & -y \\ y & x\end{pmatrix}</math>

с обычным матричным сложением и умножением<ref name=MAT/>. Вещественной единице будет соответствовать

<math>\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}</math>,

мнимой единице —

<math>\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}</math>.

Множество таких матриц является двумерным векторным пространством. Умножение на комплексное число <math>x+iy</math> является линейным оператором. В базисе <math>e_1=1, e_2=i</math> линейный оператор умножения на <math>x+iy</math> представляется указанной выше матрицей, так как<ref name=MAT/>:

<math>(x+iy)\cdot 1 = x\cdot 1 + y\cdot i</math>;

<math>(x+iy)\cdot i = (-y)\cdot 1 + x\cdot i. </math>

Матричная модель позволяет легко продемонстрировать связь между комплексными числами и линейными преобразованиями плоскости определённого типа. А именно, существует взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и поворотными гомотетиями плоскости (комбинациями растяжения относительно точки и поворота): каждая поворотная гомотетия может быть представлена на комплексной плоскости как умножение на комплексное число<ref>Шаблон:Книга</ref>.

Модель факторкольца многочленов

Рассмотрим кольцо многочленов <math>\mathbb{R}[x]</math> с вещественными коэффициентами и построим его факторкольцо по модулю многочлена <math>x^2+1</math> (или, что то же, по идеалу, порождённому указанным многочленом). Это значит, что два многочлена из <math>\mathbb{R}[x]</math> мы будем считать эквивалентными, если при делении на многочлен <math>x^2+1</math> они дают одинаковые остатки. Например, многочлен <math>x^2</math> будет эквивалентен константе <math>-1</math>, многочлен <math>x^3</math> будет эквивалентен <math>-x</math> Шаблон:Итд<ref name=FAD/>

Множество классов эквивалентности образует кольцо с единицей. Так как многочлен <math>x^2+1</math> неприводим, то это факторкольцо является полем. Роль мнимой единицы играет многочлен <math>i(x)=x</math>, поскольку квадрат его (см. выше) эквивалентен <math>-1</math>. Каждый класс эквивалентности содержит остаток вида <math>a+bx</math> (от деления на <math>x^2+1</math>), который в силу сказанного можно записать как <math>a+bi</math>. Следовательно, это поле изоморфно полю комплексных чисел<ref name=FAD>Шаблон:Книга</ref>.

Данный изоморфизм был обнаружен Коши в 1847 году. Этот подход может быть использован для построения обобщений комплексных чисел, таких как алгебры Клиффорда<ref>Шаблон:Книга</ref>.

Расширенное комплексное поле как фактор-поле рациональных дробей полиномов с вещественными коэффициентами

Нетривиальная факторизация поля в поле невозможна, но поля, расширенные бесконечностью, могут нетривиально факторизоваться. Более того, возможны нетривиальные факторизации обычных полей в расширенные. В частности, обычное или расширенное поле рациональных дробей полиномов одной переменной с вещественными коэффициентами факторизуется в расширенное поле комплексных чисел (сферу Римана) путём отождествления полинома <math>x^2+1</math> с нулём. Каждая дробь при этом заменяется на частное остатков от деления числителя и знаменателя своего несократимого представления на <math>x^2+1</math>. В силу несократимости, при этом не может образоваться неопределённость <math>0/0</math>, в остальных случаях знаменатель, равный нулю, означает бесконечность, случай знаменателя, не равного нулю, рассматриваются в стандартной технике (домножением на сопряжённый знаменателю). Другим способом получения того же результата является параметризация полиномов числителя и знаменателя несократимого представления дроби мнимой единицей.

Параметризуя рациональные дроби полиномов различными числами, можно получать различные факторизации: при параметризации вещественным числом — расширенное поле вещественных, комплексным (не вещественным) — комплексных чисел. Число, используемое для параметризации, есть корень простого (над вещественным полем) полинома, отождествляемого с нулём, т. е. по модулю которого берутся числители и знаменатели (в случае вещественного числа — первой степени, комплексного — квадратный с отрицательным дискриминантом и, соответственно, двумя сопряжёнными комплексными корнями).

Алгебраическая характеризация

Как уже упоминалось выше, поле комплексных чисел алгебраически замкнуто и имеет характеристику ноль (из последнего свойства вытекает, что оно содержит подполе рациональных чисел <math>\mathbb Q</math>). Кроме того, любой базис трансцендентности <math>\mathbb C</math> над <math>\mathbb Q</math> имеет мощность континуум<ref group="K">То есть отличается от <math>\mathbb Q(x_i), i \in \mathbb R</math> (поля рациональных функций для набора переменных <math>x_i</math> мощности континуум) на алгебраическое расширение</ref>. Этих трёх свойств достаточно, чтобы задать поле комплексных чисел с точностью до изоморфизма полей — между любыми двумя алгебраически замкнутыми полями характеристики 0 с континуальным базисом трансцендентности существует некоторое отождествление, согласованное с операциями сложения и умножения этих полей<ref>David Marker. Model Theory: An Introduction, ISBN 978-0-387-22734-4. Proposition 2.2.5. Springer Science & Business Media, 2002. См. также некоторые пояснения Шаблон:Wayback.</ref><ref>William Weiss and Cherie D’Mello. Fundamentals of Model Theory Шаблон:Wayback. Lemma 7: Any two algebraically closed fields of characteristic 0 and cardinality <math>\aleph_1</math> are isomorphic и комментарий после неё.</ref><ref group=K>Поскольку отображение в алгебраически замкнутое поле всегда может быть продлено на алгебраическое расширение, для установления изоморфизма между алгебраическими замкнутыми полями достаточно установить изоморфизм между их простыми подполями и биекцию между базисами трансцендентности.</ref>.

При этом отождествлении другие структуры, вроде нормы или топологии, могут не сохраняться. Например, алгебраическое замыкание <math>\overline\mathbb{Q}_p</math> поля <math>p</math>-адических чисел также удовлетворяет трём указанным свойствам. Однако Шаблон:S норма не является Шаблон:Iw и, следовательно, не эквивалентна обычной норме комплексных чисел при любом выборе изоморфизма<ref name="ME">Шаблон:Книга: «Это расширение есть пополнение поля рациональных чисел относительно неархимедова нормирования… Поле <math>Q_p</math> локально компактно».</ref>. Поэтому они задают различную структуру топологического векторного пространства: множество из любого элемента векторного пространства и его целозначных кратностей дискретно в комплексном случае и компактно — в <math>p</math>-адическом<ref name=ME/>.

Вариации и обобщения

Ближайшее обобщение комплексных чисел было обнаружено в 1843 году. Им оказалось тело кватернионов, которое, в отличие от поля комплексных чисел, содержит три мнимые единицы, традиционно обозначаемые <math>i,j,k</math>. Согласно теореме Фробениуса, комплексные числа являются одним из трёх возможных случаев конечномерной алгебры с делением над полем вещественных чисел. В 1919 году выяснилось, что и комплексные числа из вещественных, и кватернионы из комплексных чисел могут быть получены единой процедурой удвоения размерности, также известной как «процедура Кэли — Диксона»<ref name=DICK/>.

Дальнейшим применением этой процедуры образуются числа, описанные Артуром Кэли в 1845 году, до обнаружения этой процедуры, и названные «числами Кэли» (октонионы, октавы). Числа, получаемые следующим применением процедуры, названы седенионами. Несмотря на то, что эту процедуру можно повторять и далее, дальнейшие числа названий пока не имеют<ref name=DICK>Шаблон:Citation</ref>.

Другие типы расширений комплексных чисел (гиперкомплексные числа):

• Бикватернионы
• Комплексные числа гиперболического типа (двойные)
• Комплексные числа параболического типа (дуальные)

Примечания

Комментарии Шаблон:Примечания Использованная литература Шаблон:Примечания

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:H

Ссылки

• Шаблон:Cite web
  • (часть 2 из 2), «Математика» № 11 (2001).
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Iw, Йос Лейс, Орельян Альварез. Фильм Dimensions. Главы Файл:YouTube full-color icon (2017).svg 5 и Файл:YouTube full-color icon (2017).svg 6: Комплексные числа.Шаблон:Ref

Шаблон:Ambox{{#if: || }}