p-адическое число
<math>p</math>-адическое число<ref>Произносится: пэ-адическое; соответственно: два-адическое, три-адическое и так далее.</ref> — теоретико-числовое понятие, определяемое для заданного фиксированного простого числа <math>p</math> как элемент расширения поля рациональных чисел. Это расширение является пополнением поля рациональных чисел относительно <math>p</math>-адической нормы, определяемой на основе свойств делимости целых чисел на <math>p</math>.
<math>p</math>-адические числа были введены Куртом Гензелем в 1897 году<ref>Шаблон:Статья</ref>.
Поле <math>p</math>-адических чисел обычно обозначается <math>\Q_p</math> или <math>\mathbf Q_p</math>.
Алгебраическое построение
Целые p-адические числа
Стандартное определение
Целым <math>p</math>-адическим числом для заданного простого <math>p</math> называетсяШаблон:Sfn бесконечная последовательность <math>x=\{x_1,x_2,\ldots\}</math> вычетов <math>x_n</math> по модулю <math>p^{n}</math>, удовлетворяющих условию:
- <math>x_n\equiv x_{n+1}\pmod{p^n}</math>.
Сложение и умножение целых <math>p</math>-адических чисел определяется как почленное сложение и умножение таких последовательностей. Для них непосредственно проверяются все аксиомы кольца. Кольцо целых <math>p</math>-адических чисел обычно обозначается <math>\Z_p</math>.
Определение через проективный предел
В терминах проективных пределов кольцо целых <math>p</math>-адических чисел определяется как предел:
- <math>\lim_{\leftarrow}\Z / {p^n}\Z</math>
колец <math>\Z / {p^n}\Z</math> вычетов по модулю <math>p^n</math> относительно естественных проекций <math>\Z/{p^{n+1}}\Z \to \Z/{p^n}\Z</math>.
Эти рассмотрения можно провести в случае не только простого числа <math>p</math>, но и любого составного числа <math>m</math> — получится кольцо <math>m</math>-адических чисел, но это кольцо в отличие от <math>\Z_p</math> обладает делителями нуля, поэтому дальнейшие построения к нему неприменимы.
Свойства
Обычные целые числа вкладываются в <math>\Z_p</math> очевидным образом: <math>x=\{x,x,\ldots\}</math> и являются подкольцом.
Беря в качестве элемента класса вычетов число <math>a_n = x_n\,\bmod\,{p^n}</math> (таким образом, <math>0\leqslant a_n<p^n</math>), можно записать каждое целое <math>p</math>-адическое число в виде <math>x=\{a_1,a_2,\ldots\}</math> однозначным образом. Такое представление называется каноническим. Записывая каждое <math>a_n</math> в <math>p</math>-ичной системе счисления <math>a_n=b_n\ldots b_2b_1</math> и, учитывая, что <math>a_n\equiv a_{n+1}\pmod{p^n}</math>, возможно всякое <math>p</math>-адическое число в каноническом виде представить в виде <math>x=\{b_1, b_2b_1, b_3b_2b_1,\ldots\}</math> или записать в виде бесконечной последовательности цифр в <math>p</math>-ичной системе счисления <math>x=\{\ldots b_n\ldots b_2b_1\}</math>. Действия над такими последовательностями производятся по обыкновенным правилам сложения, вычитания и умножения «столбиком» в <math>p</math>-ичной системе счисления.
В такой форме записи натуральным числам и нулю соответствуют <math>p</math>-адические числа с конечным числом ненулевых цифр, совпадающих с цифрами исходного числа. Отрицательным числам соответствуют <math>p</math>-адические числа с бесконечным числом ненулевых цифр, например в пятеричной системе −1=…4444=(4).
p-адические числа
<math>p</math>-адическим числом называется элемент поля частных <math>\Q_p</math> кольца <math>\Z_p</math> целых <math>p</math>-адических чисел. Это поле называется полем <math>p</math>-адических чисел.
Поле <math>p</math>-адических чисел содержит в себе поле рациональных чисел.
Нетрудно доказать, что любое целое <math>p</math>-адическое число, не кратное <math>p</math>, обратимо в кольце <math>\Z_p</math>, а кратное <math>p</math> однозначно записывается в виде <math>xp^n</math>, где <math>x</math> не кратно <math>p</math> и поэтому обратимо, а <math>n>0</math>. Поэтому любой ненулевой элемент поля <math>\Q_p</math> может быть записан в виде <math>xp^n</math>, где <math>x</math> не кратно <math>p</math>, а <math>n</math> любое; если <math>n</math> отрицательно, то, исходя из представления целых <math>p</math>-адических чисел в виде последовательности цифр в <math>p</math>-ичной системе счисления, мы можем записать такое <math>p</math>-адическое число в виде последовательности <math>x=\{\ldots b_k\ldots b_2b_1,b_0b_{-1}\ldots b_{n+1}\}</math>, то есть, формально представить в виде <math>p</math>-ичной дроби с конечным числом цифр после запятой и, возможно, бесконечным числом ненулевых цифр до запятой. Деление таких чисел можно также производить аналогично «школьному» правилу, но начиная с младших, а не старших разрядов числа.
Метрическое построение
Любое рациональное число <math>r</math> можно представить как:
- <math>r=p^n\frac ab</math>,
где <math>a</math> и <math>b</math> — целые числа, не делящиеся на <math>p</math>, а <math>n</math> — целое. Тогда <math>|r|_p</math> — <math>p</math>-адическая норма <math>r</math> — определяется как <math>p^{-n}</math>. Если <math>r=0</math>, то <math>|r|_p=0</math>.
Поле <math>p</math>-адических чисел есть пополнение поля рациональных чисел с метрикой <math>d_p</math>, определённой <math>p</math>-адической нормой: <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math>. Это построение аналогично построению поля вещественных чисел как пополнения поля рациональных чисел при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной.
Норма <math>|r|_p</math> продолжается по непрерывности до нормы на <math>\Q_p</math>.
Свойства
Каждый элемент <math>x</math> поля <math>p</math>-адических чисел может быть представлен в виде сходящегося ряда:
- <math>x=\sum_{i=n_0}^\infty a_ip^i</math>,
где <math>n_0</math> — некоторое целое число, а <math>a_i</math> — целые неотрицательные числа, не превосходящие <math>p-1</math>. А именно, в качестве <math>a_i</math> здесь выступают цифры из записи <math>x</math> в системе счисления с основанием <math>p</math>. Такая сумма всегда сходится в метрике <math>d_p</math> к самому <math>x</math>.
<math>p</math>-адическая норма <math>|x|_p</math> удовлетворяет сильному неравенству треугольника:
- <math>|x-z|_p\leqslant \max\left\{|x-y|_p,|y-z|_p\right\}</math>.
Числа <math>x\in \Q_p</math> с условием <math>|x|_p\leqslant 1</math> образуют кольцо <math>\Z_p</math> целых <math>p</math>-адических чисел, являющееся пополнением кольца целых чисел <math>\Z\subset \Q</math> в норме <math>|x|_p</math>. Числа <math>x\in \Q_p</math> с условием <math>|x|_p= 1</math> образуют мультипликативную группу и называются <math>p</math>-адическими единицами. Совокупность чисел <math>x\in \Q_p</math> с условием <math>|x|_p<1</math> является главным идеалом в <math>\Z_p</math> с образующим элементом <math>p</math>.
Метрическое пространство <math>(\Z_p,d_p)</math> гомеоморфно канторову множеству, а пространство <math>(\Q_p,d_p)</math> гомеоморфно канторову множеству с вырезанной точкой.
Для различных <math>p</math> нормы <math>|x|_p</math> независимы, а поля <math>\Q_p</math> неизоморфны.
Для любых элементов <math>r_\infty</math>, <math>r_2</math>, <math>r_3</math>, <math>r_5</math>, <math>r_7</math>, … таких, что <math>r_\infty \in \mathbb R</math> и <math>r_p\in \Q_p</math>, можно найти последовательность рациональных чисел <math>x_n</math> таких, что для любого <math>p</math> выполнено <math>|x_i-r_p|_p\to 0</math> и <math>|x_i-r_\infty|\to 0</math>.
Применения
Если <math>F(x_1,x_2,\ldots,x_n)</math> — многочлен с целыми коэффициентами, то разрешимость при всех <math>k</math> сравнения:
- <math>F(x_1,x_2,\cdots,x_n)\equiv 0 \pmod{p^k}</math>
эквивалентна разрешимости уравнения:
- <math>F(x_1,x_2,\cdots,x_n) = 0</math>
в целых <math>p</math>-адических числах. Необходимым условием разрешимости этого уравнения в целых или рациональных числах является его разрешимость в кольцах или, соответственно, полях <math>p</math>-адических чисел при всех <math>p</math>, а также в поле вещественных чисел. Для некоторых классов многочленов (например, для квадратичных форм) это условие является также достаточным. На практике для проверки разрешимости уравнения в целых <math>p</math>-адических числах достаточно проверить разрешимость указанного сравнения для определённого конечного числа значений <math>k</math>. Например, согласно лемме Гензеля, при <math>n=1</math> достаточным условием для разрешимости сравнения при всех натуральных <math>k</math> служит наличие простого решения у сравнения по модулю <math>p</math> (то есть, простого корня у соответствующего уравнения в поле вычетов по модулю <math>p</math>). Иначе говоря, при <math>n=1</math> для проверки наличия корня у уравнения в целых <math>p</math>-адических числах, как правило, достаточно решить соответствующее сравнение при <math>k=1</math>.
<math>p</math>-адические числа находят широкое применение в теоретической физике<ref>Vladimiriv V. S., Volovich I. V., Zelenov E. I. P-adic analysis and mathematical physics // Singapure: World Sci., 1993</ref>. Известны <math>p</math>-адические обобщённые функции<ref>Владимиров В. С. «Обобщённые функции над полем p-адических чисел» // УМН, 1988, т. 43 (5), с. 17-53</ref>, <math>p</math>-адический аналог оператора дифференцирования (оператор Владимирова)<ref>Владимиров В. С. О спектральных свойствах p-адических псевдодифференциальных операторов типа Шредингера // Изв. РАН, Сер. мат., 1992, т. 56, с. 770—789</ref>, <math>p</math>-адическая квантовая механика<ref> Vladimiriv V. S., Volovich I. V. p-adic quantum mechanics // Commun. Math. Phys., 1989, vol. 123, P. 659—676 </ref><ref>Vladimiriv V. S., Volovich I. V. P-adic Schrodinger-type equation // Lett. Math. Phys., 1989, vol. 18, P. 43-53</ref>, <math>p</math>-адическая спектральная теория<ref>Владимиров В. С., Волович И. В., Зеленов Е. И. Спектральная теория в p-адической квантовой механике и теория представлений // Изв. АН СССР, т. 54 (2), с. 275—302, (1990) </ref>, <math>p</math>-адическая теория струн<ref>Volovich I. V. P-adic string // Class. Quant. Grav., 1987, vol. 4, P. L83-L84 </ref><ref>Frampton P. H. Retrospective on p-adic string theory // Труды математического института имени В. А. Стеклова. Сборник, № 203 — М.: Наука, 1994. — ISBN 5-02-007023-8 — С. 287—291.</ref>
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции, — Шаблон:М: Мир, 1982.
- Шаблон:Nobr Курс арифметики, — Шаблон:М: Мир, 1972.
- Шаблон:Статья
- Конрад К. Введение в p-адические числа Летняя школа «Современная математика», 2014, Дубна