Преобразование Фурье

Шаблон:Универсальная карточка Преобразование Фурье́ (символ ℱ) — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую (вообще говоря, комплекснозначную) функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

Определение

В математике преобразование Фурье функции Шаблон:Math, зависящей от одной вещественной переменной, является интегральным и задаётся следующей формулой<ref>Шаблон:Cite web</ref>:

<math>\hat{f}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}\,dx,</math>

где <math>i</math> — мнимая единица.

Тогда «формула обращения» (обратное преобразование Фурье) имеет вид:

<math>f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)e^{i\omega x}\,d\omega</math>

Эта формула объясняет физический смысл преобразования Фурье: правая часть — (бесконечная) сумма гармонических колебаний <math>e^{i\omega x}</math> с частотами <math>\omega</math>, амплитудами <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}|\hat{f}(\omega)|</math> и фазовыми сдвигами <math>\arg \hat{f}(\omega)</math> соответственно.

В радиотехнике (обработке сигналов) преобразование Фурье задаётся без множителя <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}</math><ref>Шаблон:Cite web</ref>:

<math>\hat{f}(\omega)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}\,dx.</math>

Тогда «формула обращения» (обратное преобразование Фурье) имеет вид:

<math>f(x)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)e^{i\omega x}\,d\omega</math>

Общая формула определения преобразования Фурье с параметрами <math>a</math> и <math>b</math> выглядит как<ref>Шаблон:Cite web</ref>:

<math>\hat{f}(\omega)=\sqrt{\frac{\left|b\right|}{(2\pi )^{1-a}}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ibx\omega}\,dx.</math>

Обратное преобразование определяется так:

<math>f(x)=\sqrt{\frac{\left|b\right|}{(2\pi )^{1+a}}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\omega)e^{ib\omega x}\,d\omega.</math>

Свойства

Хотя формула, задающая преобразование Фурье, имеет ясный смысл только для функций класса <math>L_1(\R)</math>, преобразование Фурье может быть определено и для более широкого класса функций и даже обобщённых функций. Это возможно благодаря ряду свойств преобразования Фурье:

• Преобразование Фурье является линейным оператором:

<math>\widehat{(\alpha f+\beta g)}=\alpha\hat{f}+\beta\hat{g}.</math>

• Справедливо равенство Парсеваля: если <math>f\in L_1(\R)\cap L_2(\R)</math>, то преобразование Фурье сохраняет <math>L_2</math>-норму:

при наличии множителя <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}</math> в преобразовании Фурье:

<math>\int\limits_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2\,dx=\int\limits_{-\infty}^{\infty}|{\hat f(w)}|^2\,d\omega.</math>

при отсутствии множителя <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}</math> в преобразовании Фурье:

<math>\int\limits_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2\,dx=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}|{\hat f(w)}|^2\,d\omega.</math>

Это свойство позволяет по непрерывности распространить определение преобразования Фурье на всё пространство <math>L_2(\R)</math>.

Равенство Парсеваля будет при этом справедливо для всех <math>f\in L_2(\R)</math>.

• Теорема о свёртке: если <math>f,\;g\in L_1(\R)</math>, тогда

при наличии множителя <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}</math> в преобразовании Фурье:

<math>\widehat{(f\ast g)}=\sqrt{2\pi}\widehat{f} \widehat{g}</math>,

при отсутствии множителя <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}</math> в преобразовании Фурье:

<math>\widehat{(f\ast g)}=\widehat{f} \widehat{g}</math>,

где

<math>f\ast g=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(s)g(t-s)\,ds</math> — свертка функций <math>f</math> и <math>g</math>.

Эта формула может быть распространена и на случай обобщённых функций.

• Преобразование Фурье и дифференцирование. Если <math>f,\;f'\in L_1(\R)</math>, то

<math>\widehat{(f')}=i\omega\widehat{f}.</math>

Из этой формулы легко выводится формула для <math>n</math>-й производной:

<math>\widehat{(f^{(n)})}=(i\omega)^n\widehat{f}.</math>

Формулы верны и в случае обобщённых функций.

• Преобразование Фурье и сдвиг.

<math>\widehat{f(x-x_0)}=e^{-i\omega x_0}\hat{f}(\omega).</math>

Эта и предыдущая формула являются частными случаями теоремы о свёртке, так как сдвиг по аргументу — это свёртка со сдвинутой дельта-функцией <math>\delta(x-x_0)</math>, а дифференцирование — свёртка с производной дельта-функции.

• Преобразование Фурье и растяжение.

<math>\widehat{f(ax)}=|a|^{-1}\hat{f}(\omega/a).</math>

• Формула суммирования Пуассона для принятого в данной статье определения:

при наличии множителя <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}</math> в преобразовании Фурье:

<math> \sum_{k = -\infty}^{+ \infty} f(k) = \sqrt{2\pi}\sum_{n = -\infty}^{+ \infty} \hat{f}(2\pi n) </math>

<math> \sum_{k=-\infty}^{+\infty}\hat{f}\left(k\right)=\sqrt{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f\left(2\pi n\right) </math>

при отсутствии множителя <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}</math> в преобразовании Фурье:

<math> \sum_{k = -\infty}^{+ \infty} f(k) = \sum_{n = -\infty}^{+ \infty} \hat{f}(2\pi n) </math>

<math> \sum_{k=-\infty}^{+\infty}\hat{f}\left(k\right)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f\left(2\pi n\right) </math>

Данные формулы могут быть получены из Шаблон:Iw, которая задана для другой формы определения преобразования Фурье.

• Преобразование Фурье обобщённых функций. Преобразование Фурье можно определить для широкого класса обобщённых функций. Определим вначале пространство гладких быстро убывающих функций (пространство Шварца):

<math>S(\mathbb R):=\left\{\varphi\in C^{\infty}(\mathbb R):\forall n,\;m\in\N\;x^n\varphi^{(m)}(x)\xrightarrow{x\to\infty}0\right\}.</math>

Ключевым свойством этого пространства является то, что это инвариантное подпространство по отношению к преобразованию Фурье.

Теперь определим его двойственное пространство <math>S^*(\R)</math>. Это некоторое подпространство в пространстве всех обобщённых функций — так называемые обобщённые функции медленного роста. Теперь для функции <math>f\in S^*(\R)</math> её преобразованием Фурье называется обобщённая функция <math>\hat{f}\in S^*(\R)</math>, действующая на основные функции по правилу

<math>\langle\hat{f},\;\varphi\rangle=\langle f,\;\hat{\varphi}\rangle.</math>

Например, вычислим преобразование Фурье дельта-функции (при наличии множителя <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}</math> в преобразовании Фурье):

<math>\langle\hat{\delta},\;\varphi\rangle=\langle\delta,\;\hat{\varphi}\rangle=\left\langle\delta,\;\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)e^{-i\omega x}\,dx\right\rangle=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)\cdot 1\,dx=\left\langle\frac{1}{\sqrt{2\pi}},\;\varphi\right\rangle.</math>

Таким образом, преобразованием Фурье дельта-функции является константа <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}</math>.

Принцип неопределённости

Рассмотрим сигнал <math>x(t)</math>, для которого преобразование Фурье имеет вид: <math>F(\omega)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-i\omega t}dt</math>.

Перейдя от частоты <math>\omega=2\pi f</math> к частоте <math>f</math> получим: <math>F(f)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-i 2\pi f t}dt</math>.

Чем больше концентрация сигнала <math>x(t)</math> во временной области, тем более размазанным должен быть модуль его преобразования Фурье <math>|F(f)|</math>. В частности, свойство масштабирования преобразования Фурье можно представить так: если сжать функцию в Шаблон:Mvar раз, то её преобразование Фурье растягивается в Шаблон:Mvar раз. Невозможно произвольно сконцентрировать как функцию, так и её преобразование Фурье.

Предположим, что <math>f(t)</math> — квадратично-интегрируемая функция. Тогда норма или энергия сигнала выражается как<ref name="Умняшкин">Шаблон:Cite web</ref>:

<math>E=\int\limits_{-\infty}^\infty f^2(t) dt</math>.

Среднее значение для распределения энергии сигнала по времени имеет вид<ref name="Умняшкин"/>:

<math>t_0=\int\limits_{-\infty}^\infty t f^2(t) dt</math>.

В качестве меры длительности сигнала можно использовать удвоенную величину среднеквадратичной длительности <math>\Delta t=2\sqrt{D_t}</math>, называемую эффективной длительностью сигнала, где

<math>D_t=\int\limits_{-\infty}^\infty (t-t_0)^2f^2(t) dt</math>.

В терминах теории вероятности <math>D_t</math> — это центральный второй момент функции <math>f(t)</math>.

Среднее значение для распределения энергии сигнала в частотной области имеет вид:

<math>F_0=\int\limits_{-\infty}^\infty f |F(f)|^2 df = 0</math>,

так как подынтегральная функция нечётна.

В качестве меры локализации сигнала в частотной области можно использовать величину <math>\Delta f=2\sqrt{D_f}</math>, называемую эффективной шириной полосы частот сигнала, где

<math>D_f=\int\limits_{-\infty}^\infty (f-F_0)^2|F(f)|^2 df=\int\limits_{-\infty}^\infty f^2|F(f)|^2 df</math>.

В терминах теории вероятности <math>D_f</math> — это центральный второй момент функции <math>|F(f)|</math><ref name="Умняшкин"/>.

Принцип неопределённости гласит, что для дифференцируемых вещественных сигналов <math>x(t)</math> с энергией <math>E</math>, для которых интеграл <math>t_0</math> сходится (то есть <math>t_0<\infty</math>) и <math>\lim_{t \to \pm\infty}t f^2(t)=0</math>, произведение эффективной длительности сигнала <math>\Delta t</math> и эффективной ширины полосы частот сигнала <math>\Delta f</math> ограничено снизу<ref name="Умняшкин"/>:

<math>\Delta t \Delta f \ge \frac{E}{\pi}</math>,

Равенство <math>\Delta t \Delta f = \frac{E}{\pi}</math> достигается только в случае гауссова импульса <math>f(t)=C e^{-k t^2}</math>, где <math>k</math> и <math>C</math> некоторые константы (<math>k>0</math>)<ref name="Умняшкин"/>.

В квантовой механике импульс и положение волновой функции являются парами преобразований Фурье с точностью до постоянной Планка. При правильном учёте этой постоянной, неравенство выше становится утверждением принципа неопределённости Гейзенберга.

Более сильным принципом неопределённости является принцип неопределённости Хиршмана, который выражается как:

<math>H\left(\left|x\right|^2\right)+H\left(\left|F\right|^2\right)\ge \ln\left(\frac{e}{2}\right)</math>

где <math>H(p)</math> — дифференциальная энтропия функции плотности вероятности <math>p(z)</math>:

<math>H(p) = -\int\limits_{-\infty}^\infty p(z)\ln\bigl(p(z)\bigr)dz</math>,

Равенство достигается для функции Гаусса, как и в предыдущем случае.

Применения

Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятностей, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии и многих других. В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды, то есть обратимый переход от временно́го пространства в частотное пространство. Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:

• Преобразования являются линейными операторами и, с соответствующей нормализацией, унитарными (свойство, известное как теорема Парсеваля, или, в более общем случае, как теорема Планшереля).
• Преобразования обратимы, причём обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование.
• Синусоидальные базисные функции (вернее, комплексные экспоненты) являются собственными функциями дифференцирования, что означает, что данное представление превращает линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические.
• По теореме о свёртке, преобразование Фурье превращает сложную операцию свёртки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свёртке операций, таких как умножение многочленов.
• Дискретная версия преобразования Фурье может быть быстро рассчитана на компьютерах с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ).

Разновидности

Многомерное преобразование

Преобразование Фурье функций, заданных на пространстве <math>\R^n</math>, определяется формулой<ref>Математическая энциклопедия. 1985, Том 5. — С. 719.</ref>:

<math>\hat{f}(\omega)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int\limits_{\R^n}f(x)e^{-ix\cdot\omega}\,dx</math>

Здесь <math>\omega</math> и <math>x</math> — векторы пространства <math>\R^n</math>, <math>x\cdot\omega</math> — их скалярное произведение.

Обратное преобразование Фурье в этом случае задаётся формулой

<math>f(x)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int\limits_{\R^n}\hat{f}(\omega)e^{ix\cdot\omega}\,d\omega</math>.

Эти формулы также можно записать в виде<ref name="Кол­мо­го­ров">Кол­мо­го­ров А. Н., Фо­мин С. В. Эле­мен­ты тео­рии функ­ций и функ­цио­наль­но­го ана­ли­за. 2004. — C. 452—453.</ref>:

<math>\hat{f}(\omega_1, \ldots, \omega_n)= \frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \!\! \ldots \!\! \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x_1,\ldots, x_n) e^{-i(x_1\omega_1+\ldots+x_n\omega_n)} dx_1\ldots dx_n,</math>

<math>f(x_1, \ldots, dx_n)= \frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \!\! \ldots \!\! \int\limits_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega_1,\ldots, \omega_n) e^{i(x_1\omega_1+\ldots+x_n\omega_n)} d\omega_1\ldots d\omega_n.</math>

Как и в одномерном случае, множитель <math>\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}</math> в преобразовании Фурье может отсутствовать. Тогда множитель в обратном преобразовании Фурье будет равен <math>\frac{1}{(2\pi)^n}</math><ref name="Кол­мо­го­ров"/>.

Формула для преобразования Фурье в многомерном случае может быть интерпретирована как разложение функции <math>f</math> в линейную комбинацию (суперпозицию) «плоских волн» вида <math>e^{ix\cdot\omega}</math> с амплитудами <math>\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}|\hat{f}(\omega)|</math>, частотами <math>\omega</math> и фазовыми сдвигами <math>\arg\hat{f}(\omega)</math> соответственно.

Замечание относительно области задания преобразования Фурье и его основные свойства остаются справедливыми и в многомерном случае, со следующими уточнениями:

• Взятие частных производных под действием преобразования Фурье превращается в умножение на одноимённую координату:

<math>\widehat{\frac{\partial f}{\partial x_k}}=i\omega_k\hat{f}(\omega).</math>

• Изменяется константа в теореме о свёртке:

<math>\widehat{(f\ast g)}=(2\pi)^{n/2}\hat{f}\hat{g}.</math>

• Преобразование Фурье и сжатие координат:

<math>\widehat{\left(f\left(\frac{x}{|a|}\right)\right)}=|a|^n\hat{f}(\omega|a|).</math>

• Более общо, если <math>A\colon \R^n\to\R^n</math> — обратимое линейное отображение, то

<math>\widehat{\left(f(Ax)\right)}=|\det(A)|^{-1}\hat{f}((A^T)^{-1}\omega).</math>

Ряды Фурье

Непрерывное преобразование само фактически является обобщением более ранней идеи рядов Фурье, которые определены для <math>2\pi</math>-периодических функций и представляют собой разложение таких функций в (бесконечную) линейную комбинацию гармонических колебаний с целыми частотами:

<math>f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}_n\,e^{inx}.</math>

Разложение в ряд Фурье применимо также к функциям, заданным на ограниченных промежутках, поскольку такие функции могут быть периодически продолжены на всю прямую.

Ряд Фурье является частным случаем преобразования Фурье, если последнее понимать в смысле обобщённых функций. Для любой <math>2\pi</math>-периодической функции имеем

<math>\hat{f}(\omega)=\sqrt{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}_n\delta(\omega-n).</math>

Иными словами, преобразование Фурье периодической функции представляет собой сумму точечных нагрузок в целых точках и равно нулю вне их.

Дискретное преобразование

Дискретное преобразование Фурье — преобразование конечных последовательностей (комплексных) чисел, которое, как и в непрерывном случае, превращает свёртку в поточечное умножение. Используется в цифровой обработке сигналов и в других ситуациях, где необходимо быстро выполнять свёртку, например, при умножении больших чисел.

Пусть <math>x_0,\;x_1,\;\ldots,\;x_{n-1}</math> — последовательность комплексных чисел. Рассмотрим многочлен <math>f(t)=x_0+x_1t+x_2t^2+\ldots+x_{n-1}t^{n-1}</math>. Выберем какие-нибудь <math>n</math> точек на комплексной плоскости <math>z_0,\;z_1,\;\ldots,\;z_{n-1}</math>. Теперь многочлену <math>f(t)</math> мы можем сопоставить новый набор из <math>n</math> чисел: <math>f_0:=f(z_0),\;f_1:=f(z_1),\;\ldots,\;f_{n-1}:=f(z_{n-1})</math>. Заметим, что это преобразование обратимо: для любого набора чисел <math>f_0,\;f_1,\;\ldots,\;f_{n-1}</math> существует единственный многочлен <math>f(t)</math> степени не выше <math>n-1</math> с такими значениями в <math>z_0,\;\ldots,\;z_{n-1}</math> соответственно (см. Интерполяция).

Набор <math>\{f_k\}</math> и называется дискретным преобразованием Фурье исходного набора <math>\{x_k\}</math>. В качестве точек <math>z_k</math> обычно выбирают корни <math>n</math>-й степени из единицы:

<math>z_k=e^\frac{2\pi ik}{n}</math>.

Такой выбор продиктован тем, что в этом случае обратное преобразование принимает простую форму, а также тем, что вычисление преобразования Фурье может быть выполнено особенно быстро. Так, в то время как вычисление свёртки двух последовательностей длины <math>n</math> напрямую требует порядка <math>n^2</math> операций, переход к их преобразованию Фурье и обратно по быстрому алгоритму может быть выполнен за <math>O(n\log n)</math> операций. Для преобразований Фурье свёртке соответствует покомпонентное умножение, которое требует лишь порядка <math>n</math> операций.

Оконное преобразование

<math>F(t,\;\omega)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(\tau)W(\tau-t)e^{-i\omega\tau}\,d\tau,</math>

где <math>F(t,\;\omega)</math> даёт распределение частот (вообще говоря, несколько искажённое) части оригинального сигнала <math>f(t)</math> в окрестности момента времени <math>t</math>.

Классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всём диапазоне существования переменной. Нередко интерес представляет только локальное распределение частот, в то время как требуется сохранить изначальную переменную (обычно время). В этом случае используется обобщение преобразования Фурье — так называемое оконное преобразование Фурье. Для начала необходимо выбрать некоторую оконную функцию <math>W</math>, причём эта функция должна иметь хорошо локализованный спектр.

На практике дискретный спектральный анализ реализован в современных цифровых осциллографах и анализаторах спектра. Используется, как правило, выбор окна из 3—10 типов. Применение окон принципиально необходимо, поскольку в реальных приборах исследуется всегда некоторая вырезка из исследуемого сигнала. При этом разрывы сигнала вследствие вырезки резко искажают спектр из-за наложения спектров скачков на спектр сигнала.

Некоторые анализаторы спектра используют быстрое (или кратковременное) оконное преобразование. При нём сигнал заданной длительности разбивается на ряд интервалов с помощью скользящего окна того или иного типа. Это позволяет получать, исследовать и строить в виде спектрограмм динамические спектры и анализировать их поведение во времени. Спектрограмма строится в трёх координатах — частота, время и амплитуда. При этом амплитуда задаётся цветом или оттенком цвета каждого прямоугольника спектрограммы. Подобные анализаторы спектра называют анализаторами спектра реального времени. Основным их производителем является корпорация Keysight Technologies (США), Rohde & Schwarz (Германия), Tektronix (США). Такие анализаторы появились в конце прошлого века и ныне бурно развиваются. Частотный диапазон исследуемых ими сигналов достигает сотен гигагерц.

Указанные методы спектрального анализа реализуются и в системах компьютерной математики, например, Mathcad, Mathematica, Maple и MATLAB.

Другие варианты

Дискретное преобразование Фурье является частным случаем (и иногда применяется для аппроксимации) дискретного во времени преобразования Фурье (DTFT), в котором <math>x_k</math> определены на дискретных, но бесконечных областях, и таким образом спектр является непрерывным и периодическим. Дискретное во времени преобразование Фурье является по существу обратным для рядов Фурье.

Эти разновидности преобразования Фурье могут быть обобщены на преобразования Фурье произвольных локально компактных абелевых топологических групп, которые изучаются в гармоническом анализе; они преобразуют группу в её дуальную группу. Эта трактовка также позволяет сформулировать теорему о свёртке, которая устанавливает связь между преобразованиями Фурье и свёртками. См. также дуализм Понтрягина.

Интерпретация в терминах времени и частоты

В терминах обработки сигналов преобразование берёт представление функции сигнала в виде временны́х рядов и отображает его в частотный спектр, где <math>\omega</math> — угловая частота. То есть оно превращает функцию времени в функцию частоты; это разложение функции на гармонические составляющие на различных частотах.

Когда функция <math>f</math> является функцией времени и представляет физический сигнал, преобразование имеет стандартную интерпретацию как спектр сигнала. Абсолютная величина получающейся в результате комплексной функции <math>F(\omega)</math> пропорциональна амплитудам соответствующих частот <math>\omega</math>, в то время как фазовые сдвиги являются аргументами этой комплексной функции.

Однако преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Они могут в равной степени применяться для анализа пространственных частот, также как для практически любых других функций.

Примеры формул

Следующая таблица содержит список формул для преобразования Фурье. <math>F(\omega)</math> и <math>G(\omega)</math> обозначают Фурье компоненты функций <math>f(t)</math> и <math>g(t)</math>, соответственно. <math>f</math> и <math>g</math> должны быть интегрируемыми функциями или обобщёнными функциями.

	Функция	Образ с множителем <math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}</math>	Образ с множителем <math>1</math>	Примечания
	<math>f(x)</math>	<math>F(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ix\omega}dx</math>	<math>F(\omega)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ix\omega}dx</math>
1	<math>af(t)+bg(t)</math>	<math>aF(\omega)+bG(\omega)</math>	<math>aF(\omega)+bG(\omega)</math>	Линейность
2	<math>f(t-a)</math>	<math>e^{-i\omega a}F(\omega)</math>	<math>e^{-i\omega a}F(\omega)</math>	Запаздывание
3	<math>e^{iat}f(t)</math>	<math>F(\omega-a)</math>	<math>F(\omega-a)</math>	Частотный сдвиг
4	<math>f(at)</math>	a|^{-1}F\left(\frac{\omega}{a}\right)</math>	a|^{-1}F\left(\frac{\omega}{a}\right)</math>	a|^{-1}F\left(\frac{\omega}{a}\right)</math> становится плоским
5	<math>\frac{d^n f(t)}{dt^n}</math>	<math>(i\omega)^n F(\omega)</math>	<math>(i\omega)^n F(\omega)</math>	Свойство преобразования Фурье от <math>n</math>-й производной
6	<math>\int\limits_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau</math>	<math>\sqrt{\frac{\pi}{2}} F(0)\delta(\omega)+\frac{1}{\sqrt{2\pi}i\omega}F(\omega)</math>	<math>\pi F(0)\delta(\omega)+\frac{1}{i\omega}F(\omega)</math>	Свойство преобразования Фурье от интеграла
7	<math>t^n f(t)</math>	<math>i^n\frac{d^n F(\omega)}{d\omega^n}</math>	<math>i^n\frac{d^n F(\omega)}{d\omega^n}</math>	Это обращение правила 5
8	<math>f(t)*g(t)</math>	<math>\sqrt{2\pi}F(\omega)G(\omega)</math>	<math>F(\omega)G(\omega)</math>	Запись <math>f*g</math> означает свёртку <math>f</math> и <math>g</math>: <math>f(t)*g(t)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(\tau) g(t - \tau) d\tau</math>. Это правило — теорема о свёртке
9	<math>f(t)g(t)</math>	<math>\frac{F(\omega)*G(\omega)}{\sqrt{2\pi}}</math>	<math>\frac{F(\omega)*G(\omega)}{2\pi}</math>	Это обращение 8
10	<math>\delta(t)</math>	<math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}</math>	<math>1</math>	<math>\delta(t)</math> означает дельта-функцию Дирака
11	<math>1</math>	<math>\sqrt{2\pi}\delta(\omega)</math>	<math>2\pi\delta(\omega)</math>	Обращение 10.
12	<math>t^n</math>	<math>i^n\sqrt{2\pi}\delta^{(n)}(\omega)</math>	<math>i^n 2\pi\delta^{(n)}(\omega)</math>	Здесь <math>n</math> — натуральное число, <math>\delta^{(n)}(\omega)</math> — <math>n</math>-я производная дельта-функции Дирака. Следствие правил 7 и 11. Использование его вместе с правилом 1 позволяет делать преобразования любых многочленов
13	<math>e^{iat}</math>	<math>\sqrt{2\pi}\delta(\omega-a)</math>	<math>2\pi\delta(\omega-a)</math>	Следствие 3 и 11
14	<math>\cos(at)</math>	<math>\sqrt{2\pi}\frac{\delta(\omega-a)+\delta(\omega+a)}{2}</math>	<math>\pi(\delta(\omega-a)+\delta(\omega+a))</math>	Следствие 1 и 13 с использованием формулы Эйлера <math>\cos(at)=\frac{1}{2}\left(e^{iat}+e^{-iat}\right)</math>
15	<math>\sin(at)</math>	<math>\sqrt{2\pi}\frac{\delta(\omega-a)-\delta(\omega+a)}{2i}</math>	<math>-i\pi(\delta(\omega-a)-\delta(\omega+a))</math>	Также из 1 и 13
16	<math>\exp(-at^2)</math>	<math>\frac{1}{\sqrt{2a}}\exp\left(\frac{-\omega^2}{4a}\right)</math>	<math>\sqrt{\frac{\pi}{a}}\exp\left(\frac{-\omega^2}{4a}\right)</math>	Показывает, что функция Гаусса <math>\exp(-t^2/2)</math> совпадает со своим изображением
17	<math>W\sqrt{\frac{2}{\pi}}\mathrm{sinc}(Wt)</math>	<math>\mathrm{rect}\left(\frac{\omega}{2W}\right)</math>	<math>\sqrt{2\pi}\mathrm{rect}\left(\frac{\omega}{2W}\right)</math>	Прямоугольная функция — передаточная характеристика идеального фильтра нижних частот, а функция sinc(x) — его импульсная характеристика
18	<math>\frac{1}{t}</math>	<math>-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega)</math>	<math>-i\pi\sgn(\omega)</math>	Здесь <math>\sgn(\omega)</math> — функция sgn. Это правило согласуется с 7 и 11
19	<math>\frac{1}{t^n}</math>	<math>-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\omega)</math>	<math>-i\pi\frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\omega)</math>	Обобщение 18
20	<math>\sgn(t)</math>	<math>\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{1}{i\omega}</math>	<math>\frac{2}{i\omega}</math>	Обращение 17
21	<math>\theta(t)</math>	<math>\frac{1}{\sqrt{2\pi}}(\frac{1}{i\omega}+\pi\delta(\omega))</math>	<math>\frac{1}{i\omega}+\pi\delta(\omega)</math>	Здесь <math>\theta(t)</math> — функция Хевисайда. Следует из правил 1 и 20

См. также

• Ортогональные функции
• Дискретное преобразование Фурье
• Дискретное преобразование Фурье над конечным полем
• Вейвлет
• Чирплет
• Преобразование Гильберта — Хуанга
• Гильбертово пространство

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Интегральные преобразования. Шаблон:Wayback EqWorld: Мир математических уравнений
• Online Computation of the transform or inverse transform
• Преобразование Фурье. Шаблон:Wayback — перевод статьи An Interactive Guide To The Fourier Transform | BetterExplained. Шаблон:WaybackШаблон:Ref
• Рональд Н. Брейсуэлл. Преобразование Фурье. Scientific American. В мире науки. № 8, 1989. — C. 48—56. Шаблон:Wayback