Формула Эйлера
Ошибка скрипта: Модуля «hatnote» не существует.{{#if: | }}
Формула Эйлера связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями. Названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл.
Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа <math>x</math> выполнено следующее равенство:
- <math>e^{ix}=\cos x+i\sin x</math>,
где <math>e</math> — одна из важнейших математических констант, определяющаяся следующей формулой: <math>e = \lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x</math>,
- <math>i</math> — мнимая единица.
История
Формула Эйлера впервые была приведена в статье английского математика Роджера Котса (помощника Ньютона) «Логометрия» (лат. Logometria), опубликованной в журнале «Философские труды Королевского общества» в 1714 году<ref>Шаблон:Статья</ref> и перепечатана в книге «Гармония мер» (лат. Harmonia mensurarum), которая была издана в 1722 году, уже после смерти автора<ref>Шаблон:Книга</ref>. Котс привёл её как небольшое предложение среди множества геометрических построений, которое после перевода на современный математический язык и исправления ошибки в знаке, имеет вид<ref>Шаблон:Книга</ref>:
- <math>\ln(\cos x+i\sin x)=i x</math>.
Эйлер опубликовал формулу в её привычном виде в статье 1740 года и в книге «Введение в анализ бесконечно малых» (лат. Introductio in analysin infinitorum) (1748)<ref>Шаблон:Книга</ref>, построив доказательство на равенстве бесконечных разложений в степенные ряды правой и левой частей. Ни Эйлер, ни Котс не представляли себе геометрической интерпретации формулы: представление о комплексных числах как точках на комплексной плоскости появилось примерно 50 лет спустя у К. Весселя.
Производные формулы
При помощи формулы Эйлера можно определить функции <math>\sin</math> и <math>\cos</math> следующим образом:
- <math>\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}</math>,
- <math>\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}</math>.
Далее можно ввести понятие тригонометрических функций комплексной переменной. Пусть <math>x=iy</math>, тогда:
- <math>\sin iy=\frac{e^{-y}-e^y}{2i}=i\mathop{\mathrm{sh}}\,y</math>,
- <math>\cos iy=\frac{e^{-y}+e^y}{2}=\mathop{\mathrm{ch}}\,y</math>.
Известное тождество Эйлера, связывающее три фундаментальные математические константы:
- <math>e^{i\pi}+1=0</math>
является частным случаем формулы Эйлера при <math>x=\pi</math>.
Применение в теории чисел
Ошибка скрипта: Модуля «Основная статья» не существует.
В аналитической теории чисел часто рассматриваются специальные суммы вида <math>\sum \limits_{x \in X} {e^{2 \pi i f(x)}}</math>, где <math>X</math> — некоторое множество рассматриваемых объектов, а <math>f:\ X \to {\mathbb R}</math> — функция, отражающая изучаемые свойства объектов.
Для теории чисел, изучающей целые числа, имеют значение прежде всего выводимые из формулы Эйлера индикаторные тождества, касающиеся произвольного целого числа <math>n</math>.
- <math>\sum \limits_{k=1}^{p} {e^{2 \pi \frac{nk}{p} i}} = p [p | n] = \left\{{ \begin{matrix} p, & n \equiv 0 \pmod p \\ 0, & n \not \equiv 0 \pmod p \end{matrix} }\right.</math>
- <math>\int \limits_{0}^{1} {e^{2 \pi n \alpha i}} = [n = 0] = \left\{{ \begin{matrix} 1, & n = 0 \\ 0, & n \not = 0 \end{matrix} }\right.</math>
Применение в комплексном анализе
Благодаря формуле Эйлера появилась так называемая тригонометрическая и показательная запись комплексного числа: <math>x=a+ib=|x|(\cos\varphi+i\sin\varphi)=|x|e^{i\varphi}</math>.
Также значительным следствием можно считать формулы возведения комплексного числа в произвольную степень: <math>x=|x|e^{i\varphi}</math>, <math>x^n=|x|^ne^{ni\varphi}</math>. Геометрический смысл данной формулы следующий: при возведении числа <math>x</math> в степень <math>n</math> его расстояние до центра возводится в степень <math>n</math>, а угол поворота относительно оси <math>OX</math> увеличивается в <math>n</math> раз.
Формула возведения в степень верна не только для целых <math>n</math>, но и для вещественных. В частности, показательная запись числа позволяет находить корни любой степени из любого комплексного числа.
Взаимосвязь с тригонометрией
Формула Эйлера предоставляет связь между математическим анализом и тригонометрией, а также позволяет интерпретировать функции синуса и косинуса как взвешенные суммы экспоненциальной функции:
- <math>\cos x = \mathrm{Re}\left(e^{ix}\right) ={e^{ix} + e^{-ix} \over 2}</math>
- <math display="inline">\sin x = \mathrm{Im}\left(e^{ix}\right) ={e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}.</math>
Вышеуказанные уравнения могут быть получены путём сложения или вычитания формул Эйлера:
- <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x \;</math>
- <math display="inline">e^{-ix} = \cos(- x) + i \sin(- x) = \cos x - i \sin x \;</math>
с последующим решением относительно синуса или косинуса.
Также эти формулы могут служить определением тригонометрических функций комплексной переменной. Например, выполняя подстановку x = iy, получаем:
- <math> \cos(iy) = {e^{-y} + e^{y} \over 2} = \cosh(y) </math>
- <math> \sin(iy) = {e^{-y} - e^{y} \over 2i} = -{1 \over i} {e^{y} - e^{-y} \over 2} = i\sinh(y). </math>
Комплексные экспоненты позволяют упростить тригонометрические расчеты, поскольку ими проще манипулировать, нежели синусоидальными компонентами. Один из подходов предусматривает преобразование синусоид в соответствующие экспоненциальные выражения. После упрощения результат выражения остается вещественным. Например:
- <math>
\begin{align} \cos x\cdot \cos y & = \frac{(e^{ix}+e^{-ix})}{2} \cdot \frac{(e^{iy}+e^{-iy})}{2} \\ & = \frac{1}{2}\cdot \frac{e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2} \\ & = \frac{1}{2} \left[ \underbrace{ \frac{e^{i(x+y)} + e^{-i(x+y)}}{2} }_{\cos(x+y)} + \underbrace{ \frac{e^{i(x-y)} + e^{-i(x-y)}}{2} }_{\cos(x-y)} \right]. \end{align} </math>
Суть другого подхода в представлении синусоид в качестве вещественных частей комплексного выражения и проведения манипуляций непосредственно с комплексным выражением. Например:
- <math>
\begin{align} \cos(nx) & = \mathrm{Re} \{\ e^{inx}\ \} = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \} \\ & = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix} + e^{-ix} - e^{-ix})\ \} \\ & = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot \underbrace{(e^{ix} + e^{-ix})}_{2\cos(x)} - e^{i(n-2)x}\ \} \\ & = \cos[(n-1)x]\cdot 2 \cos(x) - \cos[(n-2)x]. \end{align}</math>
Данная формула используется для рекурсивного вычисления значений cos(nx) для целых значений n и произвольных значений x (в радианах).
Доказательство
Доказательство формулы Эйлера можно провести с использованием ряда Маклорена. Разложим функцию <math>e^{ix}</math> в ряд Тейлора в окрестности точки a = 0 (в ряд Маклорена) по степеням <math>x</math>. Получим:
<math>e^{ix} = 1 + \frac{ix}{1!} + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \ldots=\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots\right) + i\left(\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots\right)</math>
Но
<math>1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots=\cos x</math>
<math>\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots=\sin x</math>
Поэтому <math>e^{ix}=\cos x + i\sin x</math>, что и требовалось доказать.
Наглядная демонстрация
Известно, что <math>e^x = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n</math>. Нижеследующие изображения иллюстрируют, что предел <math>e^{i\varphi} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{i\varphi}{n}\right)^n</math> равен точке, находящейся на единичной окружности, и длина дуги от этой точки до точки 1 равняется <math>\varphi</math>. Это, в частности, связано с тем, что <math>\lim \limits_{x \to 0} {\frac{\sin x}{x}} = 1</math>.
-
n=1
-
n=2
-
n=3
-
n=4
-
n=5
-
n=6
-
n=8
-
n=16
Процесс изменения <math>e^{\varphi i}</math> при изменении <math>\varphi</math> можно также наглядно продемонстрировать через производную.
Общеизвестно, что <math>\left({e^x}\right)' = e^x</math> и <math>\left({e^{f(x)}}\right)' = f'(x) e^{f(x)}</math>. Этот же факт остаётся верным и для комплексного значения функции. Рассматривая функцию <math>f(\varphi) = e^{\varphi i}</math>, получим <math>f'(\varphi) = i f(\varphi)</math>. Поскольку в геометрическом представлении комплексных чисел умножение на <math>i</math> аналогично повороту на 90 градусов, то графическое изображение функции <math>f(\varphi) = e^{\varphi i}</math> и её производной будет аналогично чертежу действия центростремительной силы, для которого известен физический смысл.
Показательная форма комплексного числа
Показательная и тригонометрические формы комплексных чисел связаны между собой формулой Эйлера.
Пусть комплексное число <math> z </math> в тригонометрической форме имеет вид <math> z = r(\cos\varphi+i\sin\varphi)</math> . На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим:
- <math> z = re^{i\varphi} </math>
Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь <math> r = |z| </math> , <math> \varphi = \arg z </math>.