Файл:Hyperbola E.svgПлощадь области под графиком <math>y=\frac{1}{x}</math> на отрезке <math>1 \leq x \leq e</math> равна 1Файл:Exp derivative at 0.svg<math>e</math> — это такое число, для которого производная (тангенс угла наклона касательной) показательной функции f (x) = ex (синяя кривая) в точке x = 0 равна 1 (касательная — красная линия). Для сравнения показаны функции f (x) = 2x (пунктирная кривая) и f (x) = 4x (штриховая кривая); производные которых не равны 1 при x = 0.
Поскольку функция экспоненты <math>e^x</math> интегрируется и дифференцируется «сама в себя», логарифмы именно по основанию <math>e</math> принимаются как натуральные.
Производная экспоненты равна самой экспоненте:<math> \frac{de^x }{dx} = e^x.</math> Это свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, общим решением дифференциального уравнения <math>\frac{df(x)}{dx} = f(x)</math> являются функции <math>f(x) = c e^x</math>, где <math>c</math> — произвольная константа.
Предполагается, что <math>e</math> — нормальное число, то есть частота появления разных цифр в его записи одинакова. В настоящее время (2017) эта гипотеза не доказана.
Число <math>e</math> разлагается в бесконечную цепную дробь следующим образом (простое доказательство этого разложения, связанное с аппроксимациями Паде, приведено в<ref>Шаблон:Cite web</ref>): Шаблон:Lang-ref}}}}}}}}}}} </math>}}}} или в эквивалентной записи: Шаблон:Lang-ref}}} </math>}}
Для быстрого вычисления большого числа знаков удобнее использовать следующее разложение: Шаблон:Lang-ref}}</math>}}
Мера иррациональности числа <math>e</math> равна <math>2</math> (что есть наименьшее возможное значение для иррациональных чисел)<ref>Шаблон:MathWorld</ref>.
Число <math>e</math> иррационально. Доказательство иррациональности является элементарным.
Доказательство иррациональности
Предположим, что <math>e</math> рационально. Тогда <math>e=p/q</math>, где <math>p</math> — целое, а <math>q</math> — натуральное.
Следовательно
Шаблон:Lang-ref
Умножая обе части уравнения на <math>(q-1)!</math>, получаем
Шаблон:Lang-ref
Переносим <math>\sum_{n=0}^q{q!\over n!}</math> в левую часть:
Шаблон:Lang-ref
Все слагаемые правой части целые, следовательно, и сумма в левой части — целая. Но эта сумма и положительна, значит, она не меньше 1.
Данное число раньше иногда называли неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа <math>x</math> был равен <math>10^7\cdot\,\log_{1/e}\left(\frac{x}{10^7}\right)</math>.
Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык (с латыни) вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует.
Предполагается, что автором таблицы был английский математик Отред.
Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода.
Он обнаружил, что если исходная сумма <math>\$1</math> и начисляется <math>100\%</math> годовых один раз в конце года, то итоговая сумма будет <math>\$2</math>. Но если те же самые проценты начислять два раза в год, то <math>\$1</math> умножается на <math>1{,}5</math> дважды, получая <math>\$1{,}00 \cdot 1{,}5^2 = \$2{,}25</math>. Начисления процентов раз в квартал приводит к <math>\$1{,}00 \cdot 1{,}25^4 = \$2{,}44140625</math>, и так далее.
Бернулли показал, что если частоту начисления процентов бесконечно увеличивать, то процентный доход в случае сложного процента имеет предел: <math>\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>, и этот предел равен числу <math>e ~ (\approx 2{,}71828)</math>.
Шаблон:Lang-ref
Таким образом, константа <math>e</math> означает максимально возможную годовую прибыль при <math>100\%</math> годовых и максимальной частоте капитализации процентов<ref name="OConnor">Шаблон:Cite web</ref>.
Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой <math>b</math>, встречается в письмах ЛейбницаГюйгенсу, 1690—1691 годы.
Букву <math>e</math> начал использовать Эйлер в 1727 году, впервые она встречается в письме Эйлера немецкому математику Гольдбаху от 25 ноября 1731 года<ref>Lettre XV. Euler à Goldbach, dated November 25, 1731 in: P. H. Fuss, ed., Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle, vol. 1, (St. Petersburg, Russia: 1843), pp. 56—60 ; см. page 58.Шаблон:Wayback</ref><ref>Шаблон:Книга</ref>, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически», 1736 год. Соответственно, <math>e</math> обычно называют числом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву <math>c</math>, буква <math>e</math> применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.
Роджер Котс<ref>Roger Cotes (1714) "Logometria, " Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 29 (338) : 5-45; see especially the bottom of page 10. From page 10: "Porro eadem ratio est inter 2,718281828459 &c et 1, … " (Furthermore, by the same means, the ratio is between 2.718281828459… and 1, …)</ref>
1748
23
Леонард Эйлер<ref>Leonhard Euler, Introductio in Analysin Infinitorum (Lausanne, Switzerland: Marc Michel Bousquet & Co., 1748), volume 1, page 90.</ref>
1853
137
Вильям Шенкс<ref>William Shanks, Contributions to Mathematics, … (London, England: G. Bell, 1853), page 89.</ref>
Число известных цифр числа Шаблон:Mvar существенно возросло с момента появления компьютера, как из-за повышения производительности компьютеров, так и из-за усовершенствования алгоритмов<ref>Sebah, P. and Gourdon, X.; The constant Шаблон:Mvar and its computation</ref><ref>Gourdon, X.; Reported large computations with PiFast</ref>.
Примерно с 2010 года распространение современных высокоскоростных настольных компьютеров позволило любителям вычислять триллионы знаков числа Шаблон:Mvar за приемлемое время. 24 декабря 2023 года Джордан Раноус установил рекорд, доведя число Шаблон:Mvar до Шаблон:Num знаков<ref>Шаблон:Cite web</ref>.
Стихотворная мнемофраза, иллюстрирующая часть этого правила для первых девяти цифр после запятой:
Экспоненту помнить способ есть простой: два и семь десятых, дважды Лев Толстой
Приближения
<math> e \approx (1+\frac{1}{10^6})^{10^6}</math>, с точностью 0,000001.
В соответствии с теорией непрерывных дробей наилучшими рациональными приближениями числа <math>e</math> будут подходящие дроби разложения числа <math>e</math> в непрерывную дробь.
Число 19/7 превосходит число <math>e</math> менее чем на 0,004;
Число 87/32 превосходит число <math>e</math> менее чем на 0,0005;
Число 193/71 превосходит число <math>e</math> менее чем на 0,00003;
Число 1264/465 превосходит число <math>e</math> менее чем на 0,000003;
Число 2721/1001 превосходит число <math>e</math> менее чем на 0,0000002;
Простое доказательство трансцендентности чисел e (на школьном уровне) и π см. стр. 520—535 Веберъ Г., Вельштейнъ И. Энциклопедiя элементарной математики. Том 1. Элементарная алгебра и анализъ. 1906
