Параллелограмм
Параллелогра́мм (Шаблон:Lang-grc ← Шаблон:Lang-grc2 — параллельный + Шаблон:Lang-grc2 — линия) — четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямыхШаблон:Sfn. Существуют другие варианты определенияШаблон:Переход.
Шаблон:ЯкорьЧастными случаями параллелограмма являются прямоугольник (все углы прямые), ромб (все стороны равны) и квадрат (прямоугольник и ромб одновременно)<ref name=VYG/>. Параллелограмм, не являющийся прямоугольником или ромбом называют ромбоидом (при этом в литературе первой половины XX века термином «ромбоид» иногда именовался дельтоид).
Используется для указания ввода, вывода в графических алгоритмах.
Свойства
Противолежащие стороны параллелограмма и противолежащие углы параллелограмма — равны. Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма. Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника. Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
Стороны параллелограмма <math>a, b</math> и опущенные на них высоты <math>h_a, h_b</math> соотносятся следующим образом:
- <math>\frac{a}{b}=\frac{h_b}{h_a}</math>
Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:
- <math>d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2)</math>,
где <math>a</math> и <math>b</math> — длины смежных сторон, а <math>d_1</math> и <math>d_2</math> — длины диагоналей. Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.
Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.
Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника (вариньонов параллелограмм).
Признаки параллелограмма
Четырёхугольник <math>\square ABCD</math> является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):
- у четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: <math>AB = CD</math> и <math>AB \parallel CD</math>;
- все противоположные углы попарно равны: <math>\angle A = \angle C</math> и <math>\angle B = \angle D</math>;
- у четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: <math>AB = CD</math> и <math>BC=DA</math>;
- все противоположные стороны попарно параллельны: <math> AB \parallel CD</math> и <math>BC \parallel DA</math>;
- диагонали делятся в точке их пересечения пополам: <math>AO = OC</math> и <math>BO = OD</math>, где <math>O</math> — точка пересечения диагоналей;
- сумма средних линий выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру;
- сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: <math>AC^2+BD^2 = AB^2+BC^2+CD^2+DA^2</math>.
Площадь параллелограмма
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту: <math>S = bh</math>, где <math>b</math> — сторона, <math>h</math> — высота, проведённая к этой стороне. Также площадь параллелограмма может быть вычислена как произведение длин его смежных сторон <math>a</math> и <math>b</math> и синуса угла <math>\alpha</math> между ними: <math>S = ab\sin \alpha</math>.
Ещё один способ определения площади параллелограмма — через длины смежных сторон <math>a</math> и <math>b</math> и длину любой из диагоналей <math>d</math> по формуле Герона как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников<ref>Шаблон:Cite web</ref>:
- <math>S=2 \cdot \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-d)}</math>,
где <math>p=(a+b+d)/2</math>.
Примечания
Шаблон:Родственный проект{{#if:||}}{{#if: параллелограмм || {{#ifeq: Параллелограмм | параллелограмм | | }} }} Шаблон:Примечания