Кватернион
Шаблон:Универсальная карточка Кватернио́ны (от Шаблон:Lang-lat, по четыре) — система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел. Обычно обозначаются символом <math>\mathbb H</math>. Предложены Уильямом Гамильтоном в 1843 году.
Кватернионы удобны для описания изометрий трёх- и четырёхмерного евклидовых пространств и поэтому получили широкое распространение в механике. Также их используют в вычислительной математике — например, при создании трёхмерной графики<ref>Кватернионы в программировании игр Шаблон:Wayback (GameDev.ru)</ref>.
Анри Пуанкаре писал о кватернионах: «Их появление дало мощный толчок развитию алгебры; исходя от них, наука пошла по пути обобщения понятия числа, придя к концепциям матрицы и линейного оператора, пронизывающим современную математику. Это была революция в арифметике, подобная той, которую сделал Лобачевский в геометрии»<ref>Шаблон:Статья</ref>.
История
Система кватернионов была впервые опубликована Гамильтоном в 1843 году. Историки науки также обнаружили наброски по этой теме в неопубликованных рукописях Гаусса, относящихся к 1819—1820 годам<ref>Шаблон:Книга</ref>. Также кватернионы рассматривал Эйлер. Б. О. Родриг (1840 год) при рассмотрении поворотов абсолютно твёрдого тела вывел правила умножения кватернионов<ref>Шаблон:Статья</ref>Шаблон:Sfn.
Бурное и чрезвычайно плодотворное развитие комплексного анализа в XIX веке стимулировало у математиков интерес к следующей задаче: найти новый вид чисел, аналогичный по свойствам комплексным, но содержащий не одну, а две мнимые единицы. Предполагалось, что такая модель будет полезна при решении пространственных задач математической физики. Однако работа в этом направлении оказалась безуспешнойШаблон:Sfn.
Новый вид чисел был обнаружен ирландским математиком Уильямом Гамильтоном (который также занимался указанной задачей) в 1843 году, и он содержал не две, как ожидалось, а три мнимые единицы. Гамильтон работал сначала с дуплетами (точками на плоскости) и легко получил правила для умножения соответствующие комплексным числам, но для точек в пространстве (триплеты) не мог получить никакой формулы умножения для таких наборов. В конце концов решил попробовать четвёрки — точки в четырёхмерном пространстве. Эти числа Гамильтон назвал кватернионамиШаблон:Sfn. Позднее Фробениус строго доказал (1877) теорему, согласно которой расширить комплексное поле до поля или тела с двумя мнимыми единицами невозможноШаблон:Sfn.
Развитие кватернионов и их приложений в физике следовало по трём путям, связанным с алгебраическим подходом, апологетами которого выступали Кэли, который в 1858 году открыл матричное представление кватернионовШаблон:Sfn, Клиффорд, Б. Пирс, Ч. Пирс и Фробениус; с теорией комплексных кватернионов, представителями которого были Клиффорд, Штуди и Котельников; с физикой из-за имён Максвелла и ХэвисайдаШаблон:Sfn. Несмотря на необычные свойства новых чисел (их некоммутативность), эта модель довольно быстро принесла практическую пользу. Максвелл использовал компактную кватернионную запись для формулировки своих уравнений электромагнитного поля.<ref>А. Н. Крылов Отзыв о работах академика П. П. Лазарева. Шаблон:Wayback</ref> Позднее на основе алгебры кватернионов был создан трёхмерный векторный анализ (Гиббс, Хевисайд)Шаблон:Sfn. Применение кватернионов было вытеснено векторным анализом из уравнений электродинамики. Впрочем тесная связь уравнений Максвелла с кватернионами не исчерпывается только электродинамикой, поскольку была построена теория СТО с использованием кватернионов Шаблон:Нп3 и Шаблон:Нп3Шаблон:Sfn. Послевоенный период применения кватернионов в физике связан с широким применением теории групп и их представлений в физике элементарных частиц. Также возможно заменить стандартное гильбертово пространство квантовой механики на его определение над телом кватернионовШаблон:Sfn.
Определения
Стандартное
Кватернионы можно определить как сумму
- <math>q=a+bi+cj+dk</math>
где <math>a, b, c, d</math> — вещественные числа
- <math>i, j, k</math> — мнимые единицы со следующим свойством: <math>i^2=j^2=k^2=ijk=-1</math>, при этом результат их попарного произведения зависит от порядка следования (не является коммутативным): <math>ij=k</math>, a <math>ji=-k</math>.
| X | 1 | i | j | k |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | i | j | k |
| i | i | -1 | k | -j |
| j | j | -k | -1 | i |
| k | k | j | -i | -1 |
Как вектор и скаляр
Кватернион представляет собой пару <math>\left(a, \vec{u} \right),</math> где <math>\vec{u}</math> — вектор трёхмерного пространства, а <math>a</math> — скаляр, то есть вещественное число.
Операции сложения определены следующим образом:
- <math>\left(a, \vec{u} \right)+ \left(b , \vec{v}\right)= \left(a + b , \vec{u} + \vec{v}\right). </math>
Произведение определяется следующим образом:
- <math>\left(a, \vec{u}\right)\left(b, \vec{v}\right)= \left(ab - \vec{u}\cdot\vec{v}, a\vec{v} + b\vec{u} + \vec{u}\times\vec{v}\right),</math>
где <math>\cdot</math> обозначает скалярное произведение, а <math>\times</math> — векторное произведение.
В частности:
- <math>\left(a, 0\right)\left(0, \vec{v}\right)=\left(0, \vec{v}\right)\left(a, 0 \right)= \left(0, a\vec{v}\right),</math>
- <math>\left(a, 0\right)\left(b, 0\right)=\left(ab, 0\right),</math>
- <math>\left(0, \vec{u} \right)\left(0, \vec{v}\right)= \left( - \vec{u}\cdot\vec{v} , \vec{u}\times\vec{v}\right).</math>
Заметим, что:
- Алгебраические операции в кватернионах обладают свойством дистрибутивности;
- Антикоммутативность векторного произведения влечёт некоммутативность произведения кватернионов.
Через комплексные числа
Произвольный кватернион <math>\ q = a + bi + cj + dk</math> можно представить как пару комплексных чисел в виде
- <math>\ q = (a + bi) + (c + di)j</math>
или эквивалентно
- <math>\ q = z_1 + z_2 j, \quad z_1 = a + bi, \quad z_2 = c + di,</math>
где <math>\ z_1, z_2</math> — комплексные числа, поскольку <math>\ i^2 = -1</math> выполняется как для комплексных чисел, так и для кватернионов, а <math> k = ij</math>.
Через матричные представления
Вещественными матрицами
Кватернионы также можно определить как вещественные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой:
- <math>\begin{pmatrix}
a & -b & -c & -d \\ b & \;\;a & -d & \;\; c \\ c & \;\;d & \;\; a & -b \\ d & -c & \;\; b & \;\; a
\end{pmatrix}.</math>
При такой записи:
- сопряжённому кватерниону соответствует транспонированная матрица:
- <math>
\bar q \mapsto Q ^ T </math>;
- четвёртая степень модуля кватерниона равна определителю соответствующей матрицы:
- <math>
\left|q \right| ^ 4 = \det Q. </math>
Комплексными матрицами
Альтернативно, кватернионы можно определить как комплексные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммойШаблон:Sfn:
- <math>\begin{pmatrix} \;\;\alpha & \beta \\ -\bar \beta & \bar \alpha \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \;\;a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi \end{pmatrix},</math>
здесь <math>\bar \alpha</math> и <math>\bar \beta</math> обозначают комплексно-сопряжённые числа к <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>.
Такое представление имеет несколько замечательных свойств:
- комплексному числу соответствует диагональная матрица;
- сопряжённому кватерниону соответствует сопряжённая транспонированная матрица:
- <math>
\bar q \mapsto \bar Q ^ T </math>;
- квадрат модуля кватерниона равен определителю соответствующей матрицы:
- <math>
\left|q \right| ^ 2 = \det Q. </math>
Связанные объекты и операции
Для кватерниона
- <math>q=a+bi+cj+dk</math>
кватернион <math>a</math> называется скалярной частью <math>q,</math> а кватернион <math>u=bi+cj+dk</math> — векторной частью. Если <math>u=0,</math> то кватернион называется чисто скалярным, а при <math>a=0</math> — чисто векторным.
Сопряжение
Для кватерниона <math>q</math> сопряжённым называетсяШаблон:Sfn:
- <math>\bar q=a-bi-cj-dk.</math>
Сопряжённое произведение есть произведение сопряжённых в обратном порядкеШаблон:Sfn:
- <math> \overline {pq} = \bar q \bar p. </math>
Для кватернионов справедливо равенство
- <math> \overline {p} =-\frac 12 (p+ipi+jpj+kpk). </math>
Модуль
Так же, как и для комплексных чиселШаблон:Sfn,
- <math> \left|q \right| =\sqrt{q\bar q}=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}</math>
называется модулем <math>q</math>. Если <math>\left|q \right| =1,</math> то <math>q</math> называется единичным кватернионом.
В качестве нормы кватерниона обычно рассматривают его модуль: <math> \left\|z \right\| = \left |z \right | </math>.
Таким образом, на множестве кватернионов можно ввести метрику. Кватернионы образуют метрическое пространство, изоморфное <math>\R^4</math> с евклидовой метрикой.
Кватернионы с модулем в качестве нормы образуют банахову алгебру.
Из тождества четырёх квадратов вытекает, что <math> \left|p\cdot q \right| = \left|p \right| \cdot \left|q \right| ,</math> иными словами, кватернионы обладают мультипликативной нормой и образуют ассоциативную алгебру с делением.
Обращение умножения (деление)
Кватернион, обратный по умножению к <math>q</math>, вычисляется такШаблон:Sfn: <math> q^{-1} = \frac {\bar q} {\left|q \right| ^ 2} </math>.
Алгебраические свойства
Множество кватернионов является примером тела, то есть кольца с делением и единицей. Множество кватернионов образует четырёхмерную ассоциативную алгебру с делением над полем вещественных (но не комплексных) чисел.
По теореме Фробениуса тела <math> \mathbb R</math>, <math> \mathbb C</math>, <math> \mathbb H</math> являются единственными конечномерными ассоциативными алгебрами с делением над полем вещественных чисел.
Некоммутативность умножения кватернионов приводит к неожиданным последствиям. Например, количество различных корней полиномиального уравнения над множеством кватернионов может быть больше, чем степень уравнения. В частности, уравнение <math> q^2 + 1 = 0 </math> имеет бесконечно много решений — это все единичные чисто векторные кватернионы.
Четыре базисных кватерниона и четыре противоположных им по знаку образуют по умножению группу кватернионов (порядка 8). Обозначается:
- <math> Q_8 = \left\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k \right\}. </math>
Кватернионы и повороты пространства
Шаблон:К объединению Шаблон:Main
Кватернионы, рассматриваемые как алгебра над <math>\mathbb R</math>, образуют четырёхмерное вещественное векторное пространство. Любой поворот этого пространства относительно <math>0</math> может быть записан в виде <math>q\mapsto \xi q \zeta</math>, где <math>\xi</math> и <math>\zeta</math> — пара единичных кватернионов, при этом пара <math>\left(\xi,\zeta\right)</math> определяется с точностью до знака, то есть один поворот определяют в точности две пары — <math>\left(\xi,\zeta\right)</math> и <math>\left(-\xi,-\zeta\right)</math>. Из этого следует, что группа Ли <math>\text{SO}\left(\R,4\right)</math> поворотов <math>\R^4</math> есть факторгруппа <math>S^3\times S^3/\Z_2</math>, где <math>S^3</math> обозначает мультипликативную группу единичных кватернионов.
Чисто векторные кватернионы образуют трёхмерное вещественно векторное пространство. Любой поворот пространства чисто векторных кватернионов относительно <math>0</math> может быть записан в виде <math>u\mapsto \xi u \bar\xi</math>, где <math>\xi</math> — некоторый единичный кватернион. Соответственно, <math>\text{SO}\left(\R,3\right)=S^3/\Z_2</math>, в частности, <math>\text{SO}\left(\R,3\right)</math> диффеоморфно <math>\R \mathrm{P}^3</math>.
«Целые» кватернионы
В качестве нормы кватерниона выберем квадрат его модуля: <math> \left\|z \right\| = \left |z \right | ^ 2 </math>.
Целыми по Гурвицу принято называть кватернионы <math>a + bi + cj + dk</math> такие, что все <math>2a, 2b, 2c, 2d</math> — целые и одинаковой чётности.
Целый кватернион называется
- чётным
- нечётным
- простым
если таким же свойством обладает его норма.
Целый кватернион называется примитивным, если он не делится ни на какое натуральное число, кроме <math>1</math>, нацело (иными словами, <math> \gcd \left(2a, 2b, 2c, 2d \right) \le 2 </math>).
Целые единичные кватернионы
Существует 24 целых единичных кватерниона:
- <math> \pm 1</math>; <math> \pm i</math>; <math> \pm j</math>; <math> \pm k</math>; <math> \frac {\pm 1 \pm i \pm j \pm k } {2}. </math>
Они образуют группу по умножению, лежат в вершинах правильного 4-мерного многогранника — 3-кубооктаэдра (не путать с 3-мерным многогранником-кубооктаэдром).
Разложение на простые сомножители
Для примитивных кватернионов верен аналог основной теоремы арифметики.
Теорема.<ref> Шаблон:Cite web </ref> Для любого фиксированного порядка множителей в разложении нормы кватерниона <math>N(q)</math> в произведение простых целых положительных чисел <math>N(q) = p_1 p_2 ... p_n</math> существует разложение кватерниона <math>q</math> в произведение простых кватернионов <math>q = q_1 q_2 ... q_n</math> такое, что <math>N(q_i) = p_i</math>. Причём данное разложение единственно по модулю домножения на единицы — это значит, что любое другое разложение будет иметь вид
- <math>
q = \left(q_1 \epsilon_1 \right) \left(\bar\epsilon_1 q_2 \epsilon_2 \right) \left(\bar\epsilon_2 q_3 \epsilon_3 \right) ... \left(\bar\epsilon_{n-1} q_n \right) </math>, где <math> \epsilon_1</math>, <math> \epsilon_2</math>, <math> \epsilon_3</math>, … <math> \epsilon_{n-1}</math> — целые единичные кватернионы.
Например, примитивный кватернион <math>q=(1+i)^2(1+i+j)(2+i)</math> имеет норму 60, значит, по модулю домножения на единицы он имеет ровно 12 разложений в произведение простых кватернионов, отвечающих 12 разложениям числа 60 в произведений простых:
<math> 60 = 2\cdot2\cdot3\cdot5 \quad 60 = 2\cdot2\cdot5\cdot3 \quad 60 = 2\cdot3\cdot2\cdot5 \quad 60 = 2\cdot5\cdot2\cdot3 \quad 60 = 2\cdot3\cdot5\cdot2 \quad 60 = 2\cdot5\cdot3\cdot2 </math>
<math> 60 = 3\cdot2\cdot2\cdot5 \quad 60 = 5\cdot2\cdot2\cdot3 \quad 60 = 3\cdot2\cdot5\cdot2 \quad 60 = 5\cdot2\cdot3\cdot2 \quad 60 = 3\cdot5\cdot2\cdot2 \quad 60 = 5\cdot3\cdot2\cdot2 </math>
Общее число разложений такого кватерниона равно <math>24^3 \cdot 12 = 165888</math>
Функции кватернионного переменного
Вспомогательные функции
Знак кватерниона вычисляется так:
- <math>
\operatorname {sgn}\, q = \frac {q} {\left|q \right|}. </math>
Аргумент кватерниона — это угол в четырёхмерном пространстве между кватернионом и вещественной единицей:
- <math> \arg q = \arccos \frac {a} {\left|q \right|}. </math>
В дальнейшем используется представление заданного кватерниона <math>q</math> в виде
- <math>q = a + \left| \mathbf{u} \right| \mathrm{i} = \left| q \right| \mathrm{e}^{\mathrm{i}\,\mathrm{arg}\,q}.</math>
Здесь <math>a</math> — вещественная часть кватерниона, <math>\mathrm{i} = \left| \mathbf{u} \right|^{-1} \mathbf{u}</math>. При этом <math>\mathrm{i}^2 = -1</math>, поэтому проходящая через <math>q</math> и вещественную прямую плоскость имеет структуру алгебры комплексных чисел, что позволяет перенести на случай кватернионов произвольные аналитические функции. Они удовлетворяют стандартным соотношениям, если все аргументы имеют вид <math>a+b\mathrm{i}</math> для фиксированного единичного вектора <math>\mathrm{i}</math>. В случае если требуется рассматривать кватернионы с разным направлением, формулы значительно усложняются, в силу некоммутативности алгебры кватернионов.
Элементарные функции
Стандартное определение аналитических функций на ассоциативной нормированной алгебре основано на разложении этих функций в степенные ряды. Рассуждения, доказывающие корректность определения таких функций, полностью аналогичны комплексному случаю и основаны на вычислении радиуса сходимости соответствующих степенных рядов. Учитывая указанное выше «комплексное» представление для заданного кватерниона, соответствующие ряды можно привести к указанной ниже компактной форме. Здесь приведены лишь некоторые наиболее употребительные аналитические функции, аналогично можно вычислить любую аналитическую функцию. Общее правило таково: если <math>f(a+b\mathrm{i}) = c + d \mathrm{i}</math> для комплексных чисел, то <math>f(q) = c + d \mathbf{i}</math>, где кватернион <math>q</math> рассматривается в «комплексном» представлении <math>q = a + b \mathbf{i}</math>.
- Степень и логарифм
- <math>
\mathrm{e}^q = \mathrm{e}^a \left( \cos \left|\mathbf{u} \right| + \frac{\mathbf{u}}{\left| \mathbf{u} \right|} \sin \left| \mathbf{u} \right| \right) </math>
- <math>
\ln q = \ln \left|q \right| + \frac{\mathbf{u}}{\left| \mathbf{u} \right|} \arg q </math>
Отметим, что, как обычно в комплексном анализе, логарифм оказывается определён лишь с точностью до <math>2\pi \frac{\mathbf{u}}{\left| \mathbf{u} \right|}</math>.
- Тригонометрические функции
- <math>
\sin q = \sin a \, \operatorname {ch} \left|\mathbf{u} \right| + \frac{\mathbf{u}}{\left| \mathbf{u} \right|} \cos a \, \operatorname {sh} \left|\mathbf{u} \right| </math>
- <math>
\cos q = \cos a \, \operatorname {ch} \left|\mathbf{u} \right| - \frac{\mathbf{u}}{\left| \mathbf{u} \right|} \sin a \, \operatorname {sh} \left|\mathbf{u} \right| </math>
- <math>
\operatorname {tg}\, q = \frac{\sin q}{\cos q} </math>
Линейное отображение
Отображение <math>f:\mathbb H\rightarrow \mathbb H</math> алгебры кватернионов называется линейным, если верны равенства
- <math>f(x+y)=f(x)+f(y)</math>
- <math>f(ax)=af(x)</math>
- <math>x,y\in\mathbb H, a\in\mathbb R</math>
где <math>\mathbb R</math> — поле действительных чисел. Если <math>f</math> является линейным отображением алгебры кватернионов, то для любых <math>a, b\in\mathbb H</math> отображение
- <math>(afb)(x)=af(x)b</math>
является линейным отображением. Если <math>f</math> — тождественное отображение (<math>f(x)=x</math>), то для любых <math>a, b\in\mathbb H</math> мы можем отождествить тензорное произведение <math>a\otimes b</math> с отображением
- <math>(a\otimes b)\circ x=axb</math>
Для любого линейного отображения <math>f:\mathbb H\rightarrow \mathbb H</math> существует тензор <math>a\in\mathbb H\otimes\mathbb H</math>, <math>a=a_{s0}\otimes a_{s1}</math>, такой, что
- <math>f(x)=a\circ x=(a_{s0}\otimes a_{s1})\circ x=a_{s0}xa_{s1}</math>
В приведённых выше равенствах предполагается суммирование по индексу <math>s</math>. Поэтому мы можем отождествить линейное отображение <math>f</math> и тензор <math>a</math>.
Регулярные функции
Шаблон:Main Существуют разные способы определения регулярных функций кватернионного переменного. Самый явный — рассмотрение кватернионно дифференцируемых функций, при этом можно рассматривать праводифференцируемые и леводифференцируемые функции, не совпадающие в силу некоммутативности умножения кватернионов. Очевидно, что их теория полностью аналогична. Определим кватернионно леводифференцируемую функцию <math>f</math> как имеющую предел
- <math>\frac{df}{dq} = \lim_{h \to 0} \left[ h^{-1}\left(f\left(q+h\right) - f\left(q\right)\right) \right]</math>
Оказывается, что все такие функции имеют в некоторой окрестности точки <math>q</math> вид
- <math>f = a + q b</math>
где <math>a,b</math> — постоянные кватернионы. Другой способ основан на использовании операторов
- <math>\frac{\partial}{\partial \bar q} = \frac{\partial}{\partial t} + \vec i \frac{\partial}{\partial x} + \vec j \frac{\partial}{\partial y} + \vec k \frac{\partial}{\partial z}</math>
- <math>\frac{\partial}{\partial q} = \frac{\partial}{\partial t} - \vec i \frac{\partial}{\partial x} - \vec j \frac{\partial}{\partial y} - \vec k \frac{\partial}{\partial z}</math>
и рассмотрении таких кватернионных функций <math>f</math>, для которых<ref>R. Fueter Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen, — Comment. math. Helv. 8, pp.371—378, 1936.</ref>
- <math>\frac{\partial f}{\partial \bar q} = 0</math>
что полностью аналогично использованию операторов <math>\frac{\partial}{\partial \bar z}</math> и <math>\frac{\partial}{\partial z}</math> в комплексном случае. При этом получаются аналоги интегральной теоремы Коши, теории вычетов, гармонических функций и рядов Лорана для кватернионных функций<ref>A. Sudbery Quaternionic Analysis, — Department of Mathematics, University of York, 1977.</ref>.
Дифференцирование отображений
Непрерывное отображение <math>f:\mathbb H\rightarrow \mathbb H</math> называется дифференцируемым на множестве <math>U\subset \mathbb H</math>, если в каждой точке <math>x\in U</math> изменение отображения <math>f</math> может быть представлено в виде
- <math>f(x+h)-f(x)=\frac{d f(x)}{d x}\circ h+o(h)</math>
где
- <math>\frac{d f(x)}{d x}:\mathbb H\rightarrow\mathbb H</math>
линейное отображение алгебры кватернионов <math>\mathbb H</math> и <math>o:\mathbb H\rightarrow \mathbb H</math> такое непрерывное отображение, что
- <math>\lim_{a\rightarrow 0}\frac{|o(a)|}{|a|}=0</math>
Линейное отображение <math>\frac{d f(x)}{d x}</math> называется производной отображения <math>f</math>.
Производная может быть представлена в виде<ref>Выражение <math>\frac{d_{sp} f(x)}{d x} </math> не является дробью и должно восприниматься как единый символ. Данное обозначение предложено для совместимости с обозначением производной. Значение выражения <math>\frac{d_{sp} f(x)}{d x} </math> при заданном <math>x</math> является кватернионом.</ref>
- <math>\frac{d f(x)}{d x}=
\frac{d_{s0} f(x)}{d x} \otimes \frac{d_{s1} f(x)}{d x} </math> Соответственно дифференциал отображения <math>f</math> имеет вид
- <math>df=\frac{d f(x)}{d x}\circ dx=
\left( \frac{d_{s0} f(x)}{d x} \otimes \frac{d_{s1} f(x)}{d x}\right)\circ dx= \frac{d_{s0} f(x)}{d x} dx \frac{d_{s1} f(x)}{d x} </math>
Здесь предполагается суммирование по индексу <math>s</math>. Число слагаемых зависит от выбора функции <math>f</math>. Выражения <math>\frac{d_{s0}d f(x)}{d x}</math> и <math>\frac{d_{s1} f(x)}{d x}</math> называются компонентами производной.
Для произвольного кватерниона <math>a</math> верно равенство
- <math>\frac{d f(x)}{d x}\circ a=\lim_{t\to 0}(t^{-1}(f(x+ta)-f(x)))</math>
Виды умножений
Умножение Грассмана
Так по-другому называется общепринятое умножение кватернионов (<math>pq</math>).
Евклидово умножение
Отличается от общепринятого тем, что вместо первого сомножителя берётся сопряжённый к нему: <math>\bar p q</math>. Оно также некоммутативно.
Скалярное произведение
Аналогично одноимённой операции для векторов:
- <math>
p \cdot q = \frac{\bar p q + \bar q p}{2} </math>.
Эту операцию можно использовать для выделения одного из коэффициентов, например, <math> \left(a + bi + cj + dk\right) \cdot i = b </math>.
Определение модуля кватерниона можно видоизменить:
- <math> \left|p \right| = \sqrt{p \cdot p} </math>.
Внешнее произведение
- <math>
\operatorname {Outer}\left(p, q\right) = \frac {\bar p q - \bar q p} {2} </math>.
Используется не очень часто, тем не менее рассматривается в дополнение к скалярному произведению.
Векторное произведение
Аналогично одноимённой операции для векторов. Результатом является тоже вектор:
- <math>
p \times q = \frac{pq - qp}{2}</math>.
Современное применение
В XX веке были сделаны несколько попыток использовать кватернионные модели в квантовой механике<ref>Шаблон:Книга</ref> и теории относительности<ref name=ALEX>Шаблон:Книга— С. 519—534.</ref>. Реальное применение кватернионы нашли в современной компьютерной графике и программировании игр<ref>Шаблон:Книга.</ref>, а также в вычислительной механике<ref name="wittenburg">Шаблон:Книга — С. 25—26, 34—36.</ref><ref name="pogorelov">Шаблон:Книга. — С. 22—26, 31—36.</ref>, в инерциальной навигации и теории управления<ref>Шаблон:Книга — С. 87—103, 593—604.</ref><ref>Шаблон:Cite web</ref>. С 2003 года издаётся журнал «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике»<ref>Шаблон:Cite web</ref>.
Во многих областях применения были найдены более общие и практичные средства, чем кватернионы. Например, в наши дни для исследования движений в пространстве чаще всего применяется матричное исчисление<ref>Шаблон:Книга</ref>. Однако там, где важно задавать трёхмерный поворот при помощи минимального числа скалярных параметров, использование параметров Родрига — Гамильтона (то есть четырёх компонент кватерниона поворота) весьма часто оказывается предпочтительным: такое описание никогда не вырождается, а при описании поворотов тремя параметрами (например, углами Эйлера) всегда существуют критические значения этих параметров, когда описание вырождается<ref name="wittenburg" /><ref name="pogorelov" />.
Как алгебра над <math>\mathbb{R}</math>, кватернионы образуют вещественное векторное пространство <math>\scriptstyle\mathbb H</math>, снабжённое тензором третьего ранга <math>S</math> типа (1,2), иногда называемого структурным тензором. Как всякий тензор такого типа, <math>S</math> отображает каждую 1-форму <math>t</math> на <math>\scriptstyle\mathbb H</math> и пару векторов <math>\left(a, b\right)</math> из <math>\scriptstyle\mathbb H</math> в вещественное число <math>S\left(t, a, b\right)</math>. Для любой фиксированной 1-формы <math>t</math> <math>S</math> превращается в ковариантный тензор второго ранга, который, в случае его симметрии, становится скалярным произведением на <math>\mathbb H</math>. Поскольку каждое вещественное векторное пространство является также вещественным линейным многообразием, такое скалярное произведение порождает тензорное поле, которое, при условии его невырожденности, становится (псевдо- или собственно-)евклидовой метрикой на <math>\mathbb H</math>. В случае кватернионов это скалярное произведение индефинитно, его сигнатура не зависит от 1-формы <math>t</math>, а соответствующая псевдоевклидова метрика есть метрика Минковского<ref>Vladimir Trifonov A Linear Solution of the Four-Dimensionality Problem // Euruphysics Letters, — IOP Publishing, V. 32, № 8 / 12.1995. — С. 621—626 — DOI: 10.1209/0295-5075/32/8/001.</ref>. Эта метрика автоматически продолжается на группу Ли ненулевых кватернионов вдоль её левоинвариантных векторных полей, образуя так называемую закрытую ФЛРУ (Фридман — Леметр — Робертсон — Уолкер) метрику<ref>Vladimir Trifonov Natural Geometry of Nonzero Quaternions // International Journal of Theoretical Physics, — Springer Netherlands, V. 46, № 2 / 02.2007. — С. 251—257 — ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).</ref> — важное решение уравнений Эйнштейна. Эти результаты проясняют некоторые аспекты проблемы совместимости квантовой механики и общей теории относительности в рамках теории квантовой гравитации<ref>Vladimir Trifonov GR-Friendly Description of Quantum Systems // International Journal of Theoretical Physics, — Springer Netherlands, V. 47, № 2 / 02.2008. — С. 492—510 — ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).</ref>.
См. также
- Кватернионы и вращение пространства
- Кватернионный анализ
- Октонионы
- Теорема Фробениуса
- Складывание рамок
Примечания
Литература
- на русском языке
- на других языках
- Шаблон:Cite book
- Martin John Baker EuclideanSpace.com Шаблон:Wayback — применение кватернионов в 3D графике.