Матрицы Паули
Ма́трицы Па́ули — это набор из трёх эрмитовых и одновременно унитарных 2×2 матриц, составляющий базис в пространстве всех эрмитовых 2×2 матриц с нулевым следом. Были предложены Вольфгангом Паули для описания спина электрона в квантовой механике. Матрицы имеют вид
- <math>
\sigma_1 = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}, </math>
- <math>
\sigma_2 = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix}, </math>
- <math>
\sigma_3 = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}. </math>
Вместо <math>\sigma_1, \sigma_2,\sigma_3</math> иногда используют обозначение <math>\sigma_x, \sigma_y,\sigma_z</math> и <math>X, Y, Z</math>.
Часто также употребляют матрицу
- <math>
\sigma_0 = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}, </math> совпадающую с единичной матрицей <math>I</math>, которую также иногда обозначают как <math>E</math>.
Матрицы Паули вместе с матрицей <math>\sigma_0</math> образуют базис в пространстве всех эрмитовых матриц 2×2 (а не только матриц с нулевым следом).
Свойства
Основные соотношения
- Эрмитовость: <math>\sigma_i^\dagger = \sigma_i</math>.
- Равенство нулю следа: <math>\operatorname{Tr} (\sigma_i) = 0, \ i = 1, 2, 3</math>.
- <math>\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \sigma_0^2= I,</math> где <math>I= \sigma_0 </math> — единичная матрица размерности 2×2.
- Унитарность: <math>\sigma_i^\dagger = \sigma_i^{-1} = \sigma_i</math>.
- Определитель матриц Паули равен −1.
- Алгебра, порождённая элементами <math>\sigma_0, -i\sigma_x, -i\sigma_y, -i\sigma_z</math>, изоморфна алгебре кватернионов <math>\lang 1,i,j,k\rang</math>.
Правила умножения матриц Паули:
- <math>\sigma_1\sigma_2 = i\sigma_3,</math>
- <math>\sigma_2\sigma_3 = i\sigma_1,</math>
- <math>\sigma_3\sigma_1 = i\sigma_2,
</math>
- <math>\sigma_i\sigma_j = -\sigma_j\sigma_i</math> для <math>i\ne j.</math>
Эти правила умножения можно переписать в компактной форме
- <math>\sigma_i \sigma_j = i \varepsilon_{ijk} \sigma_k + \delta_{ij} \sigma_0,\quad i,j,k = 1, 2, 3</math>,
где <math>\delta_{ij}</math> — символ Кронекера, а <math>\varepsilon_{ijk}</math> — символ Леви-Чивиты.
Из этих правил умножения следуют коммутационные соотношения
- <math>\begin{matrix}
[\sigma_i, \sigma_j] &=& 2 i\,\varepsilon_{i j k}\,\sigma_k, \\ \{\sigma_i, \sigma_j\} &=& 2 \delta_{i j} \sigma_0. \end{matrix}</math>
Квадратные скобки означают коммутатор, фигурные — антикоммутатор.
Также для матриц Паули выполняются тождества Фирца.
Выражения для следов произведения матриц Паули
- <math> \operatorname{Tr} (\sigma_i \sigma_j) = 2\delta_{ij}, </math>
- <math> \operatorname{Tr} (\sigma_i \sigma_j \sigma_k) = 2i \varepsilon_{ijk}. </math>
Из выражения для умножения матриц Паули следуют также следующие соотношения:
- <math> \sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = i \sigma_0 , </math>
- <math> (\vec{ \sigma }, \vec{a})^2 = \left | \vec{a} \right |^2 \sigma_0 </math>, где <math> \vec{\sigma} = (\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3) </math> — вектор из матриц Паули, <math> \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) </math> — произвольный вектор,
а также формулы для матричных экспонент и их следов:
- <math> e^{i(\vec{a}, \vec{\sigma})} = \sigma_0 \cos{\left | \vec{a} \right |} + \frac{i(\vec{a}, \vec{\sigma})}{\left | \vec{a} \right |} \sin{\left | \vec{a} \right |}, </math>
- <math> e^{(\vec{a}, \vec{\sigma})} = \sigma_0 \operatorname{ch}\left | \vec{a} \right | + \frac{(\vec{a}, \vec{\sigma})}{\left | \vec{a} \right |} \operatorname{sh}\left | \vec{a} \right |, </math>
- <math> \operatorname{Tr} \left ( e^{i(\vec{a}, \vec{\sigma})} \right ) = 2 \cos{\left | \vec{a} \right |}, </math>
- <math> \operatorname{Tr} \left ( e^{(\vec{a}, \vec{\sigma})} \right ) = 2 \operatorname{ch}\left | \vec{a} \right |. </math>
Связь с алгебрами Ли
Коммутационные соотношения матриц <math>i\sigma_k</math> совпадают с коммутационными соотношениями генераторов универсальной обёртывающей алгебры алгебры Ли su(2). И действительно, вся эта обёртывающая алгебра может быть построена из произвольных линейных комбинаций конечных произведений матриц <math>i\sigma_k\;.</math> [Слово "генераторы" ведёт своё происхождение из терминологии математики 19-го века: тогда любили говорить о "генераторах и отношениях" алгебраической структуры, так как, не имея теории множеств, математики определяли такие структуры часто "изнутри", а не "снаружи". В случае матриц Паули идеал, по которому факторизуется тензорная алгебра алгебры Ли (соответствующая фактор-алгебра и есть универсальная обёртывающая алгебра алгебры Ли), определяется "отношениями", которыми собственно и служат коммутационные соотношения матриц. Универсальные обёртывающие алгебры особенно полезны для нематричных алгебр Ли, так как скобка Ли, являющаяся примитивным понятием алгебры Ли (а произведений в алгебре Ли в общем случае нет), вкладывается в ассоциативную обёртывающую алгебру, имеющую произведения, в виде коммутатора.] Группа SU(2) с алгеброй su(2) локально изоморфна группе SO(3) вращений трёхмерного пространства, будучи её универсальной накрывающей группой; в частности этим объясняется важность матриц Паули для физики.
Применение в физике
В квантовой механике матрицы −<math>i\sigma_j/2</math> представляют собой генераторы бесконечно малых вращений для нерелятивистских частиц со спином ½. Элементы матрицы спинового оператора для частиц с полуцелым спином выражаются через матрицы Паули<ref name=spin_operator>Шаблон:Книга</ref> как
<math>(s_x)_{\sigma,\sigma-1}=(s_x)_{\sigma-1,\sigma}=\frac{1}{2}\sqrt{(s+\sigma)(s-\sigma+1)}</math>
<math>(s_y)_{\sigma,\sigma-1}=-(s_y)_{\sigma-1,\sigma}=\frac{-i}{2}\sqrt{(s+\sigma)(s-\sigma+1)}</math>
<math>(s_z)_{\sigma\sigma}=\sigma</math>
Вектор состояния таких частиц представляет собой двухкомпонентный спинор<ref name=spinor>Шаблон:Книга</ref>. Двухкомпонентные спиноры образуют пространство фундаментального представления группы SU(2).