Спин
Ошибка скрипта: Модуля «hatnote» не существует.{{#if: | }} Шаблон:Ароматы и квантовые числа Спин (от англ. Шаблон:Lang-en2, Шаблон:Букв) — собственный момент импульса элементарных частиц, имеющий как квантовую, так и классическую природу, и тесно связанный с представлениями группы вращений и группы Лоренца (классические аспекты спина см. в книгах H.C. Corben, Classical and Quantum Theories of Spinning Particles (Holden-Day, San Francisco, 1968), Alexei Deriglazov, Classical Mechanics (Second Edition, Springer 2017), Пенроуз и Риндлер, Спиноры и пространство-время). Спином называют также собственный момент импульса атомного ядра или атома; в этом случае спин определяется как векторная сумма (вычисленная по правилам сложения моментов в квантовой механике) спинов элементарных частиц, образующих систему, и орбитальных моментов этих частиц, обусловленных их движением внутри системы.
Спин измеряется в единицах Шаблон:Hbar<ref name="nuclphys1">Шаблон:Cite web</ref> (приведённой постоянной Планка, или постоянной Дирака) и равен Шаблон:HbarШаблон:Math, где Шаблон:Math — характерное для каждого сорта частиц целое (в том числе нулевое) или полуцелое положительное число — так называемое спиновое квантовое число (оно есть число, характеризующее представления группы вращений и группы Лоренца, то есть сколько в нём собственно квантовости и сколько неквантовости, сейчас неизвестно)Шаблон:Нет АИ, которое обычно называют просто спином (одно из квантовых чисел). Спин свободной частицы измерить нельзя, так как для измерения требуетсяШаблон:Нет АИ внешнее магнитное поле, а оно делает частицу несвободной.
В связи с этим говорят о целом или полуцелом спине частицы. Полуцелый спин фундаментальнее, так как "из него" можно построить целый спин, но обратное невозможно (см. книгу Пенроуза и Риндлера).
Существование спина в системе тождественных взаимодействующих частиц является причиной нового квантово-механического явления, не имеющего аналогии в классической механике: обменного взаимодействия.
Вектор спина является единственной величиной, характеризующей ориентацию частицы в квантовой механикеШаблон:Sfn. Из этого положения следует, что: при нулевом спине у частицы не может существовать никаких векторных и тензорных характеристик; векторные свойства частиц могут описываться только аксиальными векторами; частицы могут иметь магнитные дипольные моменты и не могут иметь электрических дипольных моментов; частицы могут иметь электрический квадрупольный момент и не могут иметь магнитный квадрупольный момент; отличный от нуля квадрупольный момент возможен лишь у частиц при спине, не меньшем единицыШаблон:Sfn.
Спиновый момент электрона или другой элементарной частицы, однозначно отделённый от орбитального момента, никогда не может быть определён посредством опытов, к которым применимо классическое понятие траектории частицыШаблон:Sfn.
Число компонент волновой функции, описывающей элементарную частицу в квантовой механике, растёт с ростом спина элементарной частицы. Элементарные частицы со спином <math>0</math> описываются однокомпонентной волновой функцией (скаляр), со спином <math>\frac{1}{2}</math> описываются двухкомпонентной волновой функцией (спинор), со спином <math>1</math> описываются трёхкомпонентной волновой функцией (вектор), со спином <math>2</math> описываются пятикомпонентной волновой функцией (тензор)Шаблон:Sfn.
Определения
Собственный угловой момент
Частица обладает спином <math>s</math>, если квантово-механические состояния этой частицы в её собственной системе покоя являются собственными состояниями оператора <math>\mathbf{J}^2</math> с собственным значением <math>\hbar^2 s(s+1)</math>.<ref>Шаблон:Cite book</ref><ref>Шаблон:Cite book</ref>
Релятивистская квантовая теория
В релятивистской квантовой теории спин определяется как инвариантный параметр унитарного неприводимого представления группы Пуанкаре. Для представлений, соответствующих массивным частицам, унитарные неприводимые представления характеризуются массой <math>M</math> и спином <math>s</math>, где <math>s</math> соответствует неприводимому (возможно проективному) представлению группы вращений <math>SO(3)</math>.<ref>Шаблон:Cite book</ref><ref>Шаблон:Cite book</ref>
Что такое спин — на примерах
.gif){kind=link}
Целые спины
Состояния с целым спином реализуют обычные унитарные неприводимые представления группы вращений <math>SO(3)</math>. Типичным примером являются сферические функции <math>Y_{\ell m}</math>, которые образуют базис представления с целым <math>\ell</math>. Функции с <math>\ell=0</math> не изменяются при поворотах. Функции с <math>\ell=1</math> при поворотах линейно преобразуются друг в друга так же, как компоненты обычного вектора в трёхмерном пространстве. Функции с произвольным целым <math>\ell</math> при поворотах линейно преобразуются друг в друга с помощью D-матриц Вигнера <math>D^{(\ell)}_{m m'}(R)</math>.<ref>Шаблон:Книга</ref>
Топологическая интерпретация спина 1/2 (трюк с ремнём Дирака).
Полуцелый спин квантовых частиц связан с топологией группы вращений. Группа пространственных вращений <math>SO(3)</math> не является односвязной и имеет фундаментальную группу <math>\pi_1(SO(3))\cong\mathbb Z_2</math>. Поэтому её проективные унитарные представления реализуются как обычные представления универсального накрытия <math>SU(2)</math>, причём отображение <math>SU(2)\to SO(3)</math> является двулистным. В частности, для спинора поворот на <math>2\pi</math> соответствует нетривиальной петле в <math>SO(3)</math> и действует как умножение на <math>-1</math>, тогда как поворот на <math>4\pi</math> гомотопически тривиален и даёт тождественное преобразование: <math>U(2\pi)=-\mathbb I,\qquad U(4\pi)=+\mathbb I.</math> Трюк с ремнём Дирака (или «косы на сфере») представляет собой наглядную топологическую модель этого факта: пространство ориентаций твёрдого тела (топологически группа вращений) гомотопически эквивалентно многообразию Штифеля <math>V_{3,2}</math>, которое, в свою очередь, гомотопически эквивалентно конфигурационному пространству <math>F_3(S^2)</math>. В этой модели один полный оборот ремня соответствует нетривиальному элементу <math>\pi_1(SO(3))</math> (коса Дирака <math>\Delta</math>), тогда как два полных оборота соответствуют тривиальному элементу (<math>\Delta^2\simeq e</math>). Тем самым трюк с ремнём не является физическим механизмом спина, а даёт строгую топологическую интерпретацию того, почему спинорные состояния требуют поворота на <math>4\pi</math> для возврата к исходному состоянию.<ref>Шаблон:Книга</ref>
Свойства спина
В квантовой теории угловой момент массивной частицы может включать вклад, связанный с орбитальным движением, а также внутренний вклад – спин.
В отличие от орбитального углового момента, который порождается движением частицы в пространстве, спин не связан с движением в пространстве. Спин — это внутренняя, исключительно квантовая характеристика, которую нельзя объяснить в рамках релятивистской механики. Если представлять частицу (например, электрон) как вращающийся шарик, а спин как момент, связанный с этим вращением, то оказывается, что поперечная скорость движения оболочки частицы должна быть выше скорости света, что недопустимо с позиции релятивизма.
Будучи одним из проявлений углового момента, спин в квантовой механике описывается векторным оператором спина <math>\hat{\vec{s}},</math> алгебра компонент которого полностью совпадает с алгеброй операторов орбитального углового момента <math>\hat{\vec{\ell}}.</math> Однако, в отличие от орбитального углового момента, оператор спина не выражается через классические переменные, иными словами, это только квантовая величина. Следствием этого является тот факт, что спин (и его проекции на какую-либо ось) может принимать не только целые, но и полуцелые значения (в единицах постоянной Дирака Шаблон:Hbar).
Спин испытывает квантовые флуктуации. В результате квантовых флуктуаций строго определённое значение может иметь только одна компонента спина — например, <math>J_{z}</math>. При этом компоненты <math>J_{x}, J_{y}</math> флуктуируют вокруг среднего значения. Максимально возможное значение компоненты <math>J_{z}</math> равно <math>J</math>. В то же время квадрат <math>J^2</math> всего вектора спина равен <math>J(J+1)</math>. Таким образом, <math>J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2} \geqslant J</math>. При <math>J=\frac{1}{2}</math> среднеквадратические значения всех компонентов из-за флуктуаций равны <math>\widehat{J_{x}^{2}} = \widehat{J_{y}^{2}} =\widehat{J_{z}^{2}} = \frac{1}{4}</math>Шаблон:Sfn.
Вектор спина меняет своё направление при преобразовании Лоренца. Ось этого поворота перпендикулярна импульсу частицы и относительной скорости систем отсчётаШаблон:Sfn.
Примеры
Ниже указаны спины некоторых микрочастиц.
| спин | общее название частиц | примеры |
|---|---|---|
| 0 | скалярные частицы | [[Пион (частица)|Шаблон:Math-мезоны]], K-мезоны, хиггсовский бозон, атомы и ядра 4He, чётно-чётные ядра, парапозитроний |
| 1/2 | спинорные частицы | электрон, кварки, мюон, тау-лептон, нейтрино, протон, нейтрон, атомы и ядра 3He |
| 1 | векторные частицы | фотон, глюон, W- и Z-бозоны, векторные мезоны, ортопозитроний |
| 3/2 | спин-векторные частицы | Ω-гиперон, Δ-резонансы |
| 2 | тензорные частицы | гравитон, тензорные мезоны |
На июль 2004 года максимальным спином среди известных барионов обладал барионный резонанс Δ(2950) со спином <math>15/2</math>. Среди долгоживущих изотопов химических элементовШаблон:Sfn максимальным спином обладает изотоп висмута 209Bi, его спин составляет <math>9/2</math>. Некоторые короткоживущие изотопы и особенно изомеры могут иметь очень высокий спин, например у изотопа таллия205m2Tl спин <math>35/2</math>, а изотоп полония 211m3Po имеет спин <math>43/2</math>.
История
В 1922 году опыт Штерна — Герлаха подтвердил наличие у атомов спина и факт пространственного квантования направления их магнитных моментов.
Сам термин «спин» в науку ввели С. Гаудсмит и Д. Уленбек в 1925 г.<ref>Гаудсмит С. «Открытие спина электрона» Шаблон:Wayback // УФН, т. 93, с. 151—158 (1967)</ref><ref name="NKJ201810">Шаблон:Статья</ref>.
В 1924 году, ещё до точной формулировки квантовой механики, Вольфганг Паули ввёл новую, двухкомпонентную внутреннюю степень свободы для описания валентного электрона в щелочных металлах. В 1927 году он же модифицировал недавно открытое уравнение Шрёдингера для учёта спиновой переменной. Модифицированное таким образом уравнение носит сейчас название уравнение Паули. При таком описании у электрона появляется новая спиновая часть волновой функции, которая описывается спинором — «вектором» в абстрактном (то есть не связанном прямо с обычным) двумерном спиновом пространстве.
В 1928 году Поль Дирак построил релятивистскую теорию спина и ввёл уже четырёхкомпонентную величину — биспинор.
Математически теория спина оказалась очень продуктивной, и в дальнейшем по аналогии с ней была построена теория изоспина.
Спин и магнитный момент
Орбитальный магнитный момент электрона внутри атома кратен магнетону Бора. Но помимо орбитального момента количества движения <math> M_l</math>, обусловленного движением вокруг атомного ядра, электрон обладает собственным механическим моментом — спином <math>s = 1/2</math> (в единицах ħ), а также спиновым магнитным моментом (который по факту не кратен магнетону Бора). Спиновый магнитный момент <math>\mu_s = g_e \mu_B s</math>, где <math>g_e</math> — g-фактор электрона, равный для электрона по данным экспериментов ~2,00231930436153.
Спин и статистика
Вследствие того, что все элементарные частицы одного и того же сорта тождественны, волновая функция системы из нескольких одинаковых частиц должна быть либо симметричной (то есть не изменяется), либо антисимметричной (домножается на −1) относительно перестановки местами двух любых частиц. В первом случае говорят, что частицы подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна и называются бозонами. Во втором случае частицы описываются статистикой Ферми — Дирака и называются фермионами.
Оказывается, именно значение спина частицы говорит о том, каковы будут эти симметрийные свойства. Сформулированная Вольфгангом Паули в 1940 году теорема о связи спина со статистикой утверждает, что частицы с целым спином (Шаблон:Math = 0, 1, 2, …) являются бозонами, а частицы с полуцелым спином (Шаблон:Math = 1/2, 3/2, …) — фермионами<ref name="nuclphys1" />.
Обобщение спина
Введение спина является удачным применением новой физической идеи: постулирование того, что существует пространство состояний, никак не связанных с перемещением частицы в обычном пространстве. Обобщение этой идеи в ядерной физике привело к понятию изотопического спина, который действует в особом изоспиновом пространстве. В дальнейшем при описании сильных взаимодействий были введены внутреннее цветовое пространство и квантовое число «цвет» — более сложный аналог спина.
Спин классических систем
Понятие спина было введено в квантовой теории. Тем не менее, в релятивистской механике можно определить спин классической (не квантовой) системы как собственный момент импульса<ref> Шаблон:Книга </ref>. Классический спин является 4-вектором и определяется следующим образом:
- <math>S_\nu = \frac{1}{2}\,\varepsilon_{\nu\alpha\beta\gamma}\,L^{\alpha\beta}\,U^\gamma,</math>
где
- <math>L^{\alpha\beta}=\sum (x^\alpha p^\beta-x^\beta p^\alpha)</math> — тензор полного момента импульса системы (суммирование проводится по всем частицам системы);
- <math>U^{\alpha}=P^\alpha/M</math> — суммарная 4-скорость системы, определяемая при помощи суммарного 4-импульса <math>P^\alpha=\sum p^\alpha</math> и массы Шаблон:Math системы;
- <math>\varepsilon_{\nu\alpha\beta\gamma}</math> — тензор Леви-Чивиты.
В силу антисимметрии тензора Леви-Чивиты, 4-вектор спина всегда ортогонален к 4-скорости <math>U^{\alpha}.</math> В системе отсчёта, в которой суммарный импульс системы равен нулю, пространственные компоненты спина совпадают с вектором момента импульса, а временная компонента равна нулю.
Именно поэтому спин называют собственным моментом импульса.
В квантовой теории поля это определение спина сохраняется. В качестве момента импульса и суммарного импульса выступают интегралы движения соответствующего поля. В результате процедуры вторичного квантования 4-вектор спина становится оператором с дискретными собственными значениями.
См. также
- Прецессия Томаса
- Спин-орбитальное взаимодействие
- Преобразование Гольштейна — Примакова
- Спинор
- Теорема Паули (Теорема о связи спина со статистикой)
- Синглет
- Спин-запрещенные реакции
Примечания
Литература
- Физическая энциклопедия / Под ред. А. М. Прохорова. — М.: Большая российская энциклопедия, 1994. — ISBN 5-85270-087-8.
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга