Комплексная функция
Шаблон:О Комплексная функция — основной объект изучения теории функций комплексной переменной, комплекснозначная функция комплексного аргумента: <math>f\colon\Complex \to \Complex</math>.
Как и комплекснозначная функция вещественной переменной может быть представлена в виде:
- <math>f(z) = u(z)+i v(z)</math>,
где <math>u(z)</math> и <math>v(z)</math> — вещественнозначные функции комплексного аргумента, называемые соответственно вещественной и мнимой частью функции <math>f(z)</math>. В отличие от вещественных функций, между компонентами разложения имеется более глубокая связь, например, для того, чтобы функция <math>f(z)</math> была дифференцируема в смысле функции комплексной переменной, должны выполняться условия Коши — Римана:
- <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math>;
- <math>\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x}</math>.
Примерами аналитических функций комплексной переменной являются: степенная функция, экспонента, гамма-функция, дзета-функция Римана, хребтовая функция и многие другие, а также обратные им функции и любые их комбинации. Однако действительная часть комплексного числа <math>\mathrm{Re}\,z</math>, мнимая часть <math>\mathrm{Im}\,z</math>, комплексное сопряжение <math>\bar z</math>, модуль <math>r = |z|</math> и аргумент <math>\varphi(z)</math> аналитическими функциями комплексного переменного не являются, так как не удовлетворяют условиям Коши — Римана.
Свойства функций комплексного переменного
В отличие от функций действительного переменного, которые могут быть дифференцируемы конечное число раз, функция комплексного переменного, имеющая в некоторой области первую производную, является бесконечно дифференцируемой в этой области, то есть обладает производными любого порядка.
Это одно из удивительных свойств функций комплексного переменного, связанное с понятием аналитичности. Если функция комплексного переменного дифференцируема в некоторой области, она автоматически становится аналитической, что означает её разложимость в степенной ряд (ряд Тейлора) вблизи любой точки этой области. При этом данный ряд будет сходиться к функции в пределах определённого радиуса сходимости.
Такое поведение сильно отличается от поведения функций действительного переменного, где наличие одной или нескольких производных вовсе не гарантирует бесконечную дифференцируемость функции.