Кривая

Шаблон:Значения Крива́я или ли́ния — геометрическое понятие, определяемое в разных разделах математики различно.

Элементарная геометрия

В рамках элементарной геометрии понятие кривой не получает отчётливой формулировки. Например, в «Началах» Евклида она определялась как «длина без ширины», также иногда её определяли как «границу фигуры».

По существу в элементарной геометрии изучение кривых сводится к рассмотрению примеров (прямая, отрезок, ломаная, окружность и др.). Не располагая общими методами, элементарная геометрия довольно глубоко проникла в изучение свойств конкретных кривых (конические сечения, некоторые алгебраические кривые высших порядков и некоторые трансцендентные кривые), применяя в каждом случае специальные приёмы.

Определение в топологии

Отображение отрезка

Чаще всего кривая определяется как непрерывное отображение из отрезка в топологическое пространство:

<math>\gamma\colon [a,b]\to X</math>

При этом кривые могут быть различными, даже если их образы совпадают. Такие кривые называют параметризованными кривыми или, если <math>[a,b]=[0,1]</math>, путями.

Отношение эквивалентности

Иногда кривая определяется с точностью до репараметризации, то есть с точностью до минимального отношения эквивалентности такого, что параметрические кривые

<math>\gamma_1\colon [a_1,b_1]\to X</math> и <math>\gamma_2\colon [a_2,b_2]\to X</math>

эквивалентны, если существует непрерывная монотонная функция (иногда неубывающая) <math>h</math> из отрезка <math>[a_1,b_1]</math> на отрезок <math>[a_2,b_2]</math>, такая что

<math>\gamma_1\equiv\gamma_2\circ h.</math>

Определяемые этим отношением классы эквивалентности называются непараметризованными кривыми или просто кривыми.

Комментарий

Приведённое определение во многом позволяет передать наше интуитивное представление о кривой как о чём-то, «нарисованном без отрыва карандаша». Однако это определение является слишком слабым, поскольку ему удовлетворяют многие фигуры, которые трудно считать кривыми.

Например, возможно построить такое непрерывное отображение отрезка в плоскость, что его образ заполняет квадрат (см. кривая Пеано). Более того, согласно теореме Мазуркевича, любое компактное связное и локально связное топологическое пространство является непрерывным образом отрезка. Таким образом, не только квадрат, но и куб любого числа измерений и даже гильбертов кирпич являются непрерывными образами отрезка.

Вышеизложенное показывает, что кривая не может быть определена как непрерывный образ отрезка, если на отображение не наложить дополнительных ограничений.

Кривая Жордана

Файл:Osgood curve.svg

Кривая Жордана положительной меры.

Кривой Жордана или простой кривой называется образ непрерывного инъективного отображения (вложения) окружности или отрезка в пространство. В случае окружности кривая называется замкнутой кривой Жордана, а в случае отрезка — жордановой дугой.

Известная теорема Жордана утверждает, что любая замкнутая кривая Жордана на плоскости делит её на «внутреннюю» и «внешнюю» часть.

Кривая Жордана является довольно сложным объектом. Например, возможно построить плоскую кривую Жордана с ненулевой мерой Лебега, что было сделано Осгудом<ref>Шаблон:Статья</ref> по аналогии с кривой Пеано.

Определение в анализе

В математическом анализе часто используется определение гладкой кривой. Определим сначала плоскую кривую (то есть кривую в <math>\mathbb R^2</math>). Пусть <math>x(t)</math> и <math>y(t)</math> — функции на отрезке <math>[a,b]</math>, непрерывно дифференцируемые на этом отрезке, и такие, что <math>(x'(t))^2+(y'(t))^2</math> ни для какого t не равно нулю. Тогда отображение <math>\gamma: [a,b]\to \mathbb R^2, t\mapsto (x(t),y(t))</math> задаёт кривую, которая является гладкой; непараметризованная кривая называется гладкой, если она допускает такую параметризацию. Длину гладкой кривой можно вычислить по формуле

<math>\text{L}(\gamma)=\int_a^b \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2} \, dt. </math>

Это определение можно обобщить на отображения в другие пространства, а также на отображения другого класса гладкости, см. ниже.

Кусочно-гладкая кривая — кривая, которая разбивается на конечное число гладких кривыхШаблон:Sfn.

Определение в дифференциальной геометрии

Шаблон:Main Если <math>X</math> — гладкое многообразие, можно определить гладкую кривую на <math>X</math> как гладкое отображение <math>\gamma\colon [a,b]\to X</math>, дифференциал которого нигде не обращается в нуль. Если класс гладкости многообразия <math>X</math> равен <math>k</math>, то <math>C_k</math>-кривая вводится как кривая, для которой <math>\gamma</math> — <math>k</math> раз непрерывно дифференцируемое отображение. Если <math>X</math> — Шаблон:Iw (например, евклидово пространство) и <math>\gamma</math> — аналитическое отображение, кривую называют аналитической.

Гладкие кривые <math>\gamma_1\colon I\to X</math> и <math>\gamma_2\colon J\to X</math> называются эквивалентными, если существует диффеоморфизм <math>p\colon I\to J</math> (замена параметра), такой что <math>\gamma_1=\gamma_2\circ p</math>. Классы эквивалентности по этому отношению называют непараметризованными гладкими кривыми.

Кусочно-гладкая кривая — кривая, которая разбивается на конечное число гладких кривыхШаблон:Sfn.

Алгебраические кривые

Шаблон:Main Алгебраические кривые изучаются в алгебраической геометрии. Плоская алгебраическая кривая — это множество точек с координатами <math>x</math>, <math>y</math>, задаваемое множество решений уравнения <math>f(x, y) = 0</math>, где <math>f</math> — многочлен от двух переменных с коэффициентами в поле <math>F</math>. В алгебраической геометрии обычно принимают во внимание не только точки, координаты которых принадлежат <math>F</math>, но и точки с координатами в алгебраическом замыкании <math>F</math>. Если <math>C</math> — плоская алгебраическая кривая, такая что коэффициенты определяющего её многочлена лежат в поле <math>F</math>, она называется кривой, определённой над <math>F</math>. Точки кривой, определённой над <math>F</math>, все координаты которых принадлежат <math>G</math>, называются рациональными над <math>G</math> (или просто <math>G</math>-точками). Пример: кривая <math>x^2 + y^2 + 1 = 0</math>, определённая над действительными числами, имеет точки, однако ни одна из них не является действительной точкой.

Алгебраические кривые можно определить и в пространствах большей размерности; они определяются как множество решений системы полиномиальных уравнений.

Любая плоская кривая может быть дополнена до кривой на проективной плоскости. Если плоская кривая определяется многочленом <math>f(x, y)</math> полной степени <math>d</math>, то многочлен

<math>z^d\cdot f(x/z,y/z)</math>

после раскрытия скобок упрощается до однородного многочлена <math>f(x, y, z)</math> степени <math>d</math>. Значения <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math>, такие что <math>f(x, y, z) = 0</math> — однородные координаты пополнения плоской кривой, при этом точки исходной кривой — это точки, для которых <math>z</math> не равно нулю. Пример: кривая Ферма <math>x^n + y^n = z^n</math> в аффинной форме принимает вид <math>x^n + y^n = 1</math>. Процесс перехода от аффинной кривой к проективной можно обобщить и на более высокие размерности.

Часто встречающиеся примеры плоских кривых — коники (кривые второго порядка) и эллиптические кривые, имеющие важные приложения в криптографии. В качестве примеров алгебраических кривых, задаваемых уравнениями более высоких степеней, можно указать следующие:

• Кривые четвёртого порядка: лемниската Бернулли и овал Кассини.
• Кривые шестого порядка: астроида и нефроида.
• Кривая, определяемая уравнением произвольной чётной степени: (многофокусная) лемниската.

Трансцендентные кривые

Трансцендентные кривые — это кривые, не являющиеся алгебраическими. Более точно, трансцендентные кривые — кривые, которые можно задать как линию уровня аналитической, но не алгебраической функции (или, в многомерном случае, системы функций). Примеры трансцендентных кривых: Шаблон:Кол

• Гипоциклоида
• Гиперболическая спираль
• Квадратриса
• Клотоида
• Роза (плоская кривая)
• Синусоида
• Синусоидальная спираль
• Спираль Архимеда
• Трактриса
• Трохоида
• Цепная линия
• Циклоида
• Циклоидальная кривая
• Циссоида Диокла
• Эпициклоида

Типы кривых

• Замкнутая кривая — кривая, у которой начало совпадает с концом.
• Плоская кривая — кривая, все точки которой лежат в одной плоскости.
• Простая кривая — то же, что кривая Жордана.
• Путь — непрерывное отображение отрезка <math>[0,1]</math> в топологическое пространство.

Типы точек на кривой

• Точка излома
• Касп
• Точка перегиба
• Двойная точка

Ориентированная кривая

Файл:Two tangent directed circles.svg

Две ориентированные окружности

Аналогично ориентации прямой любая замкнутая кривая ориентируема двумя способамиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• против часовой стрелки;
• по часовой стрелке.

На рисунке справа показаны две ориентированные окружности: окружность слева ориентирована против часовой стрелки, справа — по часовой стрелкеШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Ориентированная, или направленная, кривая — кривая вместе с фиксированным направлением на нейШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Шаблон:Clear

Обобщённые кривые

Более общее определение кривой для случая плоскости было дано Кантором в 1870-e годы:

Канторовой кривой называется компактное связное подмножество плоскости такое, что его дополнение всюду плотно.

Важный пример канторовой кривой доставляет ковёр Серпинского. Какова бы ни была канторова кривая <math>L</math>, она может быть вложена в ковёр Серпинского, то есть в ковре Серпинского содержится подмножество <math>L'</math>, гомеоморфное <math>L</math>. Таким образом ковёр Серпинского является универсальной плоской канторовой кривой.

Впоследствии это определение было обобщено Урысоном:

Кривой Урысона называется связное компактное топологическое пространство <math>C</math> топологической размерности 1.

Ковёр Серпинского удовлетворяет этому определению, так что всякая канторова кривая является также и кривой Урысона. Обратно, если плоский связный компакт является кривой Урысона, то он будет канторовой кривой.

См. также

• Кривая Осгуда
• Длина кривой
• Кривая второго порядка
• Кривизна
• Кривые и их каустики

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Математический энциклопедический словарь. М. «Советская энциклопедия», 1988 г.
• Шаблон:ВТ-ЭСБЕ

Ссылки

• CausticsШаблон:Ref
• Surfaces, curvesШаблон:Ref
• специальные плоские кривые [1]Шаблон:Ref