Циссоида Диокла

Файл:Cissoid of diocles.png

Рис. 1. Построение циссоиды. Синяя и красная линии — ветви циссоиды.

Циссоида Диокла — плоская алгебраическая кривая третьего порядка. В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по <math>OX</math>, а ось ординат по <math>OY</math>, на отрезке <math>OA=2a</math>, как на диаметре строится вспомогательная окружность. В точке <math>A</math> проводится касательная <math>UV</math>. Из точки <math>O</math> проводится произвольная прямая <math>OF</math>, которая пересекает окружность в точке <math>E</math> и касательную в точке <math>F</math>. От точки <math>F</math>, в направлении точки <math>O</math>, откладывается отрезок <math>FM</math>, длина которого равна длине отрезка <math>OE</math>. При вращении линии <math>OF</math> вокруг точки <math>O</math>, точка <math>M</math> описывает линию, которая называется Циссоида Диокла. Две ветви этой линии на рис. 1 показаны синим и красным цветами.

Уравнения

Шаблон:Нет ссылок в разделе Уравнение циссоиды в прямоугольной системе координат записывается так:

<math>y^2=\frac{x^3}{2a-x}.\qquad\qquad(1)</math>

Уравнение циссоиды в полярной системе координат:

<math>\rho=\frac{2a\sin^2\varphi}{\cos\varphi}.</math>

Иногда уравнение циссоиды в полярной системе координат записывают так:

<math>\rho=\frac{2a\left(1-\cos^2\varphi\right)}{\cos\varphi}=</math>

<math>=2a\left(\frac{1}{\cos\varphi}-\cos\varphi\right)=</math>

<math>=2a\left(\sec\varphi-\cos\varphi\right).</math>

Параметрическое уравнение циссоиды:

<math>x=\frac{2au^2}{1+u^2},</math> <math>y=\frac{2au^3}{1+u^2},</math>

где

<math>u=\mathrm{tg}\,\varphi</math>.

История

Впервые циссоиду исследовал греческий математик Диокл во II веке до н. э. Диокл строил кривую так: находится точка <math>P</math>, которая расположена на вспомогательной окружности симметрично точке <math>E</math>; ось симметрии — диаметр <math>BD</math>. Из точки <math>P</math> проводится перпендикуляр к оси абсцисс. Точка <math>M</math>, принадлежащая циссоиде, находится на пересечении этого перпендикуляра и прямой <math>OE</math>. Этим методом Диокл построил только кривую <math>DOB</math> внутри вспомогательной окружности. Если эту часть циссоиды (<math>DOB</math>) замкнуть дугой окружности <math>EAD</math>, то получается фигура, напоминающая своей формой лист плюща. По-гречески плющ — Шаблон:Lang-grc2 («киссос»), от чего и произошло название кривой — «Циссоида».

В современном виде циссоиду воспроизвел французский математик Жиль Роберваль в 1640 году. Позднее циссоиду также исследовал голландский математик Слюз.

Свойства

• Циссоида симметрична относительно оси абсцисс.
• Циссоида пересекает вспомогательную окружность в точках <math>B</math> и <math>D</math>, которые принадлежат диаметру этой окружности.
• Циссоида имеет один касп и асимптоту <math>UV</math>, уравнение которой: <math>x=2a</math>, где <math>a</math> — радиус вспомогательной окружности.
• Циссоида является эвольвентой параболы с каспом в вершине параболы. При этом директриса параболы является асимптотой циссоиды.<ref>Шаблон:Книга</ref>

Площадь между циссоидой и асимптотой

Эта площадь равна:

<math>S_1=3\pi a^2.</math>

Шаблон:Hider.\qquad\qquad(2)</math> Половина площади заключённой между циссоидой и асимптотой равна интегралу от уравнения (2) в пределах от 0 до <math>2a</math>:

<math>\frac{1}{2}S_1=\int\limits_0^{2a}\sqrt{\frac{x^3}{2a-x}}\,dx.\qquad\qquad(3)</math>

Подстановка:

<math>u^2=2a-x,\qquad x=2a-u^2,\qquad dx=-2u\,du.</math>

Пределы интегрирования:

<math>x=0\Rightarrow u=\sqrt{2a},\qquad x=2a\Rightarrow u=0.</math>

Интеграл (3) преобразуется к виду:

<math>\frac{1}{2}S_1=-2\int\limits_\sqrt{2a}^0\sqrt{(2a-u^2)^3}\,du=</math>

<math>=\left.-2\left(\frac{u}{8}(10a-2u^2)\sqrt{2a-u^2}+\frac{3a^2}{2}\arcsin\frac{u}{\sqrt{2a}}\right)\right|^0_\sqrt{2a}=\frac{3\pi a^2}{2}.</math>

Итак:

<math>\frac{1}{2}S_1=\frac{3\pi a^2}{2}.</math>

<math>S_1=3\pi a^2.</math>

}}

Объём тела вращения

Объём (<math>V_1</math>) тела, образованного при вращении ветви <math>OL</math> вокруг оси абсцисс, рассчитывается так:

<math>V_1=\pi\int\limits_0^{2a}\frac{x^3}{2a-x}\,dx=</math>

<math>=\pi\int\limits_0^{2a}\left(-x^2-2ax-4a^2+\frac{8a^3}{2a-x}\right)\,dx=</math>

<math>=\left.-\frac{44\pi a^3}{3}-8\pi a^3(\ln(2a-x))\right|^{2a}_0.</math>

Если <math>x\to 2a</math>, то <math>\ln(2a-x)\to-\infty</math>, то есть <math>V_1\to\infty</math>.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга
• Brieskorn E., Knörrer H. Ebene algebraische Kurven. Basel: Birkhäuser, 1981. 721 p.

Шаблон:Кривые Шаблон:Нет ссылок