Теорема Жордана

Простая замкнутая кривая (чёрного цвета) делит плоскость на внутреннюю часть (голубого цвета) и внешнюю часть (розового цвета)

Файл:Jordan-curve-(1).jpg

Не всегда интуитивно очевидно, находится ли точка во внутренней части кривой

Теорема Жордана — классическая теорема топологии, гласящая, что замкнутая плоская кривая без самопересечений делит плоскость на две различные части: «внутреннюю» и «внешнюю».

Теорема Жордана известна контрастом между простотой её формулировки и сложностью доказательства. Такой контраст в первую очередь связан с существованием «диких» кривых, таких как замкнутые кривые Осгуда. В случае кривых специального вида, таких как ломаные, утверждение доказывается относительно простоШаблон:Sfn.

Замкнутые кривые, удовлетворяющие условию теоремы Жордана, называются жордановыми.

История

Теорема была сформулирована и доказана Камилем Жорданом в 1887 году.

Некоторые авторы утверждают, что доказательство Жордана не было вполне исчерпывающим, а первое полное доказательство было дано Освальдом Вебленом в 1905 году<ref>Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика? — М.: МЦНМО, 2010, — С. 270—271.</ref>. Однако Шаблон:Не переведено 5 пишет, что доказательство Жордана не содержит ошибок, и единственная возможная претензия по отношению к этому доказательству состоит в том, что Жордан предполагает известным утверждение теоремы в случае ломаных<ref>Шаблон:Статья</ref>.

Формулировка

Любая замкнутая кривая Жордана <math>\gamma</math> на плоскости <math>\R^2</math> разбивает её на две компоненты и является их общей границей<ref name=autogenerated1>Шаблон:Книга</ref>.

Замечания

Из двух таких компонент ровно одна является ограниченной. Ограниченная компонента называется внутренней частью кривой <math>\gamma</math>, а неограниченная — внешней.

Данные компоненты можно охарактеризовать в терминах порядка точки относительно кривой. А именно, множество точек плоскости, порядок которых относительно кривой <math>\gamma</math> равен <math>1</math> или <math>-1</math>, совпадает с её внутренней частью, а множество точек, порядок которых равен <math>0</math>, совпадает с внешней часть.

Согласно теореме Шёнфлиса, внутренняя часть кривой <math>\gamma</math> гомеоморфна кругу<ref name=autogenerated1 />.

О доказательствах

Известно несколько простых доказательств теоремы Жордана.

• Короткое и элементарное доказательство теоремы Жордана предложил Алексей Фёдорович Филиппов в 1950 году, при этом сам Филиппов отмечает, что независимо от него очень схожее доказательство предложил Шаблон:Не переведено 5<ref>Шаблон:Статья</ref>.
• Очень короткое доказательство с использованием фундаментальной группы дано Дойлем<ref>P. H. Doyle. «Plane separation». Proc. Cambridge Philos. Soc. 64 (1968), p. 291.</ref>.

Вариации и обобщения

• Теорема Жордана обобщается по размерности:

Любое <math>(n-1)</math>-мерное подмногообразие в <math>\mathbb R^n</math>, гомеоморфное сфере, разбивает пространство на две связные компоненты и является их общей границей.

При <math>n=3</math> это доказано Лебегом, в общем случае — Брауэром, отчего <math>n</math>-мерная теорема Жордана иногда называется теоремой Жордана — Брауэра.<ref name=autogenerated1 />

• Более того, любое компактное связное <math>(n-1)</math>-мерное подмногообразие в <math>\mathbb R^n</math> разбивает пространство на две связные компоненты и является их общей границей. Доказательство получается применением двойственности Александера.

• Теорема Шёнфлиса утверждает, что существует гомеоморфизм плоскости в себя, переводящий данную Жорданову кривую в окружность.
  • В частности ограниченная компонента в теореме Жордана гомеоморфна единичному диску, а неограниченная компонента гомеоморфна внешности единичного диска.
  • Пример дикой сферы показывает, что аналогичное утверждение не верно в старших размерностях.

См. также

• Озёра Вады — патологический пример, показывающий нетривиальность теоремы Жордана.
• Дикий узел

Литература

• Аносов Д. В. Отображения окружности, векторные поля и их применения. — Шаблон:М.: изд-во МЦНМО, 2003.
• Филиппов А. Ф. Элементарное доказательство теоремы Жордана. — УМН, 5:5(39) (1950), 173—176.
• Jordan С. Cours d’analyse, t. I, P., 1893.
• Валле-Пуссен. Курс анализа бесконечно малых. — пер. с франц., т. 2, Л.-М., 1933.
• Александров П. С. Комбинаторная топология. — М.-Л., 1947.
• Дьедонне Ж. Основы современного анализа. — пер. с англ., Шаблон:М.: 1964.
• Шаблон:Книга
• Прасолов В. В. Теорема Жордана. — Матем. образование, апрель-сентябрь 1999, 95—101.