Дикий узел
Дикий узел — патологическое вложение окружности в пространство.
Дикие узлы можно найти в некоторых кельтских узорах.Шаблон:Нет АИ
Поскольку узел в общем случае — это разновидность жордановой кривой в ℝ3, а жордановы кривые бывают необычные (например, имеющие площадь), то ручные узлы можно завязать на верёвке конечной длины и толщины, а дикие — все остальные.
Определение
Узел называется ручным, если он может быть «утолщён», то есть если существует его расширение до полнотория S1 × D2, допускающего вложение в 3-сферу.
В теории узлов и в теории 3-многообразий часто слово «ручной» опускается.
Узлы, не являющиеся ручными, называются ди́кими и могут иметь патологическое поведение.
Примеры
.png){kind=link}
Дикими являются узлы, содержащие так называемые дуги Фокса — Артина — некоторые простые дуги, полученные диким вложением в <math>E^3</math>. Например, для дуги <math>L_1</math> фундаментальная группа <math>p_1</math>(<math>E^3L</math>) нетривиальна, для дуги <math>L_2</math> группа <math> {\pi}_1(E^3/L)</math> тривиальна, но само <math>E^3/L</math> не гомеоморфно дополнению в <math>E^3</math> к точке<ref>Шаблон:Книга</ref>.
На рисунке выше приведён дикий узел с одной дикой (патологической) точкой. Легко построить дикий узел, содержащий несколько патологических точек, бесконечное число таких точек, и даже несчётное множество патологических точек. В книге СосинскогоШаблон:Sfn приведено построение дикого узла, патологические точки которого образуют канторово множество. Возможно представить и дикий узел, содержащее более сложное множество — ожерелье АнтуанаШаблон:Sfn.
Свойства
- Узел является ручным тогда и только тогда, когда он может быть представлен в виде конечной ломаной.
- Гладкие узлы являются ручными.
Вариации и обобщения
- Нетривиальные дикие узлы появляются и в сферах старших размерностей. Например по теореме о двойной надстройке, двойная надстройка над сферой Пуанкаре гомеоморфна стандартной сфере <math>\mathbb S^5</math>. При этом экватор двойной надстройки образует в <math>\mathbb S^5</math> дикой узел и его дополнение имеет нетривиальную фундаментальную группу.