Гильбертов кирпич
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Гильбертов кирпич (или гильбертов куб) — топологическое пространство, названное в честь Давида Гильберта, гомеоморфное произведению счётного числа копий отрезков <math>[0,1]</math> (с топологией произведения).
Определение
Формально гильбертов кирпич — множество точек гильбертова пространства, координаты которых в некотором ортонормированном базисе удовлетворяют соотношениям <math> 0 \leqslant x_n \leqslant a_n</math>, где a = {<math>{a_n}</math>} является точкой гильбертова пространства<ref name=":0">Шаблон:Cite web</ref>. Гильбертов кирпич является выпуклой оболочкой множества векторов, у которых некоторая координата равна нулю, либо <math>a_n</math> (вершины гильбертова кирпича)<ref name=":0" />.
Свойства
- По теореме Тихонова гильбертов кирпич компактен.
- Гильбертов кирпич является метризуемым, так как он гомеоморфен следующему подмножеству гильбертова пространства <math>\ell^2</math>:
- <math> \left[0, 1\right] \times \left[0, \tfrac12 \right]
\times \left[0, \tfrac13 \right] \times \dots,</math>
- то есть точками гильбертова кирпича являются бесконечные последовательности <math>\{x_n\}</math> гильбертова пространства <math>\ell^2</math>, такие, что
- <math> 0 \leqslant x_n \leqslant \frac 1 {n}</math>.
- Гильбертов кирпич, вложенный в гильбертово пространство, имеет пустую внутренность, то есть он не содержит непустых открытых подмножеств.
- Гильбертов кирпич универсален для всех метризуемых компактов и для всех метризуемых сепарабельных пространств. То есть любое компактное (сепарабельное) метрическое пространство гомеоморфно подмножеству гильбертова кирпича.
Примечания
Литература
- [[Категория:Слова {{ #switch: МЭ|ar =арабского|de =немецкого|el =греческого|en =английского|es =испанского|it =итальянского|ja =японского|fa =персидского|fr =французского|la =латинского|nl =нидерландского|pl =польского|ru=русского|uk=украинского|cs=чешского|lt=литовского|grc=греческого|zh=китайского|неопределённого}} происхождения{{#if:|{{ #switch: |да=/ru|нет=|/}}|/ru}}]]