Лемниската Бернулли
Лемниска́та Берну́лли — плоская алгебраическая кривая. Определяется как геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.
Лемниската по форме напоминает арабскую цифру «восемь» или символ бесконечности. Точка, в которой лемниската пересекает саму себя, называется узловой, или двойной.
История
Название происходит от Шаблон:Lang-grc — лента, повязка. В Древней Греции «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Данный вид лемнискаты назван в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.
Уравнение лемнискаты впервые опубликовано в статье Curvatura Laminae Elasticae Якоба Бернулли в журнале Acta eruditorum в 1694 году. Бернулли назвал эту кривую lemniscus; он не знал, что четырнадцатью годами ранее Джованни Кассини уже исследовал более общий случай<ref>Шаблон:Cite web</ref>. Квадратуру лемнискаты впервые выполнил Шаблон:Не переведено, опубликовав в 1718 году статью Metodo per misurare la lemniscata и положив тем самым начало изучению эллиптических интегралов, продолженное впоследствии Леонардом Эйлером<ref>Шаблон:Книга</ref>. Некоторые свойства кривой были также исследованы Якобом Штейнером в 1835 году.
Уравнения
Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами равняется <math>2c</math>, расположены они на оси <math>OX</math>, и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:
- параметрическое в прямоугольных координатах:
- <math>x = \frac{c\sqrt{2}\cos(t)}{1 + \sin^2(t)}; \qquad y = \frac{c\sqrt{2}\sin(t)\cos(t)}{1 + \sin^2(t)};</math>
- в прямоугольных координатах:
- <math>\textstyle (x^2 + y^2)^2 = 2c^2 (x^2 - y^2);</math>
- <math>pa^2 = r^3.</math>
- Проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:
- <math>\textstyle y=\pm\sqrt{\sqrt{c^4+4x^2 c^2}-x^2-c^2}</math>
- <math>\textstyle \rho^2 = 2c^2 \cos 2\varphi.</math>
- Шаблон:Якорь Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:
- <math>\begin{cases}x=c \sqrt{2}\frac{p+p^3}{1+p^4} \\ y=c\sqrt{2} \frac{p-p^3}{1+p^4}\end{cases}</math>, где <math>p^2=\operatorname{tg}\Big(\frac{\pi}{4}-\varphi\Big)</math>
Это единственный вариант рациональной параметризации кривой. Уравнение полностью описывает кривую, когда параметр пробегает всю вещественную прямую: от <math>-\infty</math> до <math>+\infty</math>. При этом, когда параметр стремится к <math>-\infty</math>, точка кривой стремится к <math>(0;0)</math> из второй координатной четверти, а когда параметр стремится к <math>+\infty</math>, то — из четвёртой. Распределение точек, которые даёт параметрическое уравнение, при изменении его параметра с фиксированным шагом показано на рисунке.
Шаблон:Hider{1+\operatorname{tg}^2\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)}\\y=c\sqrt{2}\dfrac{\left(1-\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)\right)\sqrt{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)}}{1+\operatorname{tg}^2\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)}\end{cases}</math> Если произвести замену <math>\textstyle \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\varphi\right)=p^2</math>, то получаем искомые параметрические уравнения:
- <math>\textstyle\begin{cases}x=c\sqrt{2}\frac{p+p^3}{1+p^4}\\y=c\sqrt{2}\frac{p-p^3}{1+p^4}\end{cases}</math>
}}
- Чтобы задать лемнискату по двум произвольным точкам, можно не выводить уравнение заново, а определить преобразование координат, при котором старый (данный) фокусный отрезок переходит в новый, и воздействовать на представленные уравнения этим преобразованием.
Свойства
1. Симметрия относительно узловой точки;
2. Касательные в узловой точке имеют углы <math>\textstyle\pm\frac{\pi}{4}</math>;
3. Для любой точки <math>A</math> лемнискаты выполняется: <math>AP=PO</math>, где <math>AP</math> — биссектриса <math>\angle F_1AF_2</math>;
4. <math>\textstyle\mu=2\varphi+\frac{\pi}{2}</math> для любой точки кривой;
Лемниската Бернулли является частным случаем овала Кассини при <math>a=c</math>, синусоидальной спирали с индексом <math>n=2</math> и лемнискаты Бута при <math>c=0</math>, поэтому она наследует некоторые свойства этих кривых.
Свойства, верные для произвольных овалов Кассини
- Лемниската — кривая четвёртого порядка.
- Она симметрична относительно двойной точки — середины отрезка между фокусами.
- Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты:
- <math>\begin{cases}x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}c\\ y=\pm\frac{c}{2}\end{cases}</math>
- Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра отрезка между фокусами равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойной точки.
- Лемнискату описывает окружность радиуса <math>a=c\sqrt{2}</math>, поэтому иногда в уравнениях производят эту замену.
Свойства, верные для произвольных синусоидальных спиралей
- Касательные в двойной точке составляют с отрезком <math>F_1F_2</math> углы <math>\textstyle\pm\frac{\pi}{4}</math>.
- Угол <math>\mu</math>, составляемый касательной в произвольной точке кривой с радиус-вектором точки касания равен <math>\textstyle 2\varphi+\frac{\pi}{2}</math>.
- Касательные в точках пересечения кривой и хорды, проходящей через двойную точку, параллельны друг другу.
- Инверсия относительно окружности с центром в двойной точке, переводит лемнискату Бернулли в равнобочную гиперболу.
- Радиус кривизны лемнискаты есть <math>\textstyle R=\frac{2c^2}{3\rho}</math>
| Вывод |
|---|
|
Есть частный случай формулы радиуса кривизны синусоидальной спирали:
однако, легко вывести и по определению.
Формулы перехода к полярной системе координат:
Выражаем <math>\textstyle\rho</math>:
Подставляем в уравнение лемнискаты и выражаем <math>x</math> и <math>y</math>:
\begin{cases}x=c\sqrt{2}\cos{\varphi}\sqrt{\cos{2\varphi}} \\ y=c\sqrt{2}\sin{\varphi}\sqrt{\cos{2\varphi}}\end{cases}</math> —- это параметрическое уравнение относительно <math>\varphi</math>. Проведя некоторые тригонометрические преобразования, можно получить уравнение относительно <math>\textstyle p</math>, указанное выше в разделе Уравнения. Формула радиуса кривизны кривой, заданной параметрически:
Находим производные по <math>\varphi</math>:
Подставляем в формулу радиуса:
Возвращаемся к уравнению лемнискаты:
Подставляем это выражение в полученную формулу радиуса и получаем:
|
- Натуральное уравнение кривой имеет вид
- <math>S=3\int\frac{\mathrm{d}R}{\sqrt{\left(\frac{3}{c}R\right)^4-1}}</math>
- Подерой лемнискаты является синусоидальная спираль
- <math>\textstyle \rho^{\frac{2}{3}}=(c\sqrt{2})^{\frac{2}{3}}\cos\frac{2}{3}\varphi.</math>
- Лемниската сама является подерой равносторонней гиперболы.
Собственные свойства
- Кривая является геометрическим местом точек, симметричных центру равносторонней гиперболы относительно её касательных.
- Отрезок биссектрисы угла между фокальными радиусами-векторами точки лемнискаты равен отрезку от центра лемнискаты до пересечения её оси с этой биссектрисой.
- Материальная точка, движущаяся по лемнискате под действием однородного гравитационного поля, пробегает дугу за то же время, что и соответствующую хорду (см. рисунок). Предполагается, что ось лемнискаты составляет угол <math>45^\circ</math> с вектором напряжённости поля, а центр лемнискаты совпадает с исходным положением движущейся точки.
- Площадь полярного сектора <math>\varphi\in[0,\alpha]</math>, при <math>\textstyle 0\leqslant\alpha\leqslant\frac{\pi}{4}</math>:
- <math>\textstyle S(\alpha)=\frac{c^2}{2}\sin2\alpha</math>
- В частности, площадь каждой петли <math>\textstyle 2S\left (\frac{\pi}{4}\right )=c^2</math>, то есть площадь, ограниченная кривой, равна площади квадрата с диагональю <math>c\sqrt{2}</math>.
- Перпендикуляр, опущенный из фокуса лемнискаты на радиус-вектор какой-либо её точки, делит площадь соответствующего сектора пополам.
- Длина дуги лемнискаты между точками <math>\varphi_1=0</math> и <math>\varphi_2=\varphi</math> выражается эллиптическим интегралом I рода:
- <math>\displaystyle\textstyle L(\varphi)=c\int\limits_0^\varphi\frac{\mathrm{d}\varphi}{\sqrt{1-2\sin^2\varphi}}=\frac{c}{\sqrt{2}}\int\limits_0^\theta\frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2\theta}}=\frac{c}{\sqrt{2}}F\left(\theta,\frac{1}{\sqrt{2}}\right),</math> где <math>2\sin^2\varphi=\sin^2\theta.</math>
- В частности, длина всей лемнискаты
- <math>\textstyle 4L\left(\frac{\pi}{4}\right)=2c\sqrt{2}\,K\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\approx 5{,}244 a \approx 7{,}416 c.</math>
Построения
При помощи секущих (способ Маклорена)
Строится окружность радиуса <math>\textstyle\frac{c}{\sqrt{2}}</math> с центром в одном из фокусов. Из середины <math>O</math> фокусного отрезка строится произвольная секущая <math>OPS</math> (<math>P</math> и <math>S</math> — точки пересечения с окружностью), и на ней в обе стороны откладываются отрезки <math>OM_1</math> и <math>OM_2</math>, равные хорде <math>PS</math>. Точки <math>M_1</math>, <math>M_2</math> лежат на разных петлях лемнискаты.
Шарнирные методы
Вариант первый
На плоскости выбираются две точки — <math>A</math> и <math>B</math> — будущие фокусы лемнискаты. Собирается специальная конструкция из трёх скреплённых в ряд на шарнирах отрезков, чтобы полученная линия могла свободно изгибаться в двух местах (точки сгиба — <math>C</math> и <math>D</math>). При этом необходимо соблюсти пропорции отрезков: <math>\textstyle AC=BD=\frac{AB}{\sqrt{2}},\;CD=AB</math>. Края линии крепятся к фокусам. При непараллельном вращении отрезков вокруг фокусов середина центрального отрезка опишет лемнискату Бернулли.
Вариант второй
В этом варианте лемниската строится по фокусу и двойной точке — <math>A</math> и <math>O</math> соответственно. Собирается почти такая же шарнирная конструкция как и в предыдущем варианте, но прикреплённый к двойной точке отрезок <math>OC</math> соединяется не с концом центрального <math>BD</math>, а с его серединой. Пропорции также другие: <math>\textstyle BC=CD=OC=\frac{AO}{\sqrt{2}},\;AB=AO</math>.
-
Построение лемнискаты при помощи секущих
-
Шарнирный метод -
Другой вариант шарнирного метода
При помощи сплайна NURBS
Синяя линия — контрольная ломаная сплайна. Зелёные кружки — контрольные точки сплайна. Размер кружков пропорционален весу контрольной точки. Зелёные числа рядом с контрольными точками — порядковые номера точек в контрольной ломаной.
Лемнискату Бернулли можно построить посредством сплайнов NURBS в виде параметрической кривой в прямоугольной системе координат множеством способов. Один из них представлен на рисунке. Это сплайн степени 4 (порядок сплайна 5) с параметрами контрольных точек представленными в таблице:
| № | <math>\frac{x\sqrt{2}}{c}</math> | <math>\frac{y\sqrt{2}}{c}</math> | <math>weight</math> |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 0 | 2 |
| 2 | 2 | 1 | 1 |
| 3 | 0 | 1 | 1 |
| 4 | 0 | −1 | 1 |
| 5 | −2 | −1 | 1 |
| 6 | −2 | 0 | 2 |
| 7 | −2 | 1 | 1 |
| 8 | 0 | 1 | 1 |
| 9 | 0 | −1 | 1 |
| 10 | 2 | −1 | 1 |
| 11 | 2 | 0 | 2 |
Узловой вектор сплайна: {0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4}. Заданная таким образом NURBS кривая в диапазоне изменения параметра p в интервале: <math> 0 \le p \le 4</math> во всех точках кривой строго соответствует Лемнискате Бернулли.
Обобщения
- Лемниската — общий случай с несколькими фокусами
- Овал Кассини — обобщение на произведение расстояний до фокусов
- Синусоидальная спираль — обобщение по виду параметрического уравнения (лемниската Бернулли получается при <math>n=2</math>)
См. также
- Лемниската Бута
- Лемниската Жероно
- Плоская кривая
- Алгебраическая кривая
- Бесконечность
- Аттрактор Лоренца