Алгебра

{{#if: | }}

Файл:Right concoid.svg

Трёхмерный правильный коноид, описанный тригонометрическими уравнениями
<math>\begin{cases} x = v \cos u, \\ y = v \sin u, \\ z = 2 \sin u \end{cases}</math>

А́лгебра (от араб. اَلْجَبْرُ‎<ref>Шаблон:Фасмер</ref> Шаблон:Transl — «восстановление (разрозненных) частей<ref>Этимологический словарь русского языка Шанского Н. М.</ref>, восстановление равенства, уравнение<ref>Этимологический словарь русского языка Успенского Л. В.</ref>, восполнение<ref name=A6>Александрова Н. В. Математические термины : справочник. — М.: Высшая школа, 1978. — С. 6.</ref>») — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики; в этом разделе числа и другие математические объекты обозначаются буквами и другими символами, что позволяет записывать и исследовать их свойства в самом общем виде. Слово «алгебра» также употребляется в общей алгебре в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под «алгеброй» понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множеств произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел<ref name="BSE_Algebra"/>.

Классификация

Алгебра как раздел математики традиционно включает следующие категории.

• Элементарная алгебра, которая изучает свойства операций с вещественными числами. В ней постоянные и переменные обозначаются буквенными символами. Элементарная алгебра содержит правила преобразования алгебраических выражений и уравнений с использованием этих символов. Обычно преподаётся в школе под названием алгебра<ref name="MathEnc_Algebra"/>.
• Общая алгебра, иногда называемая современной алгеброй или абстрактной алгеброй, где аксиоматизируются и изучаются максимально общие алгебраические структуры, такие, как группы, кольца и поля.
• Универсальная алгебра, в которой изучаются свойства, общие для всех алгебраических структур (считается подразделом общей алгебры).
• Линейная алгебра, в которой изучаются свойства векторных пространств (включая матрицы).
• Алгебраическая комбинаторика, в которой методы абстрактной алгебры используются для изучения вопросов комбинаторики.

Элементарная алгебра

Файл:Quadratic formula.svg

Формула корней квадратного уравнения выражает решение уравнения второй степени <math>ax^2 + bx +c=0</math> через его коэффициенты <math>a, b, c</math>, где <math>a</math> не равно нулю.

Элементарная алгебра — раздел алгебры, который изучает самые базовые понятия. Обычно изучается после изучения основных понятий арифметики. В арифметике изучаются числа и простейшие (+, −, ×, ÷) действия с ними. В алгебре числа заменяются на переменные (<math>a, b, c, x, y</math> и так далее). Такой подход полезен, потому что:

• Позволяет получить общее представление законов арифметики (например, <math>a + b = b + a</math> для любых <math>a</math> и <math>b</math>), что является первым шагом к систематическому изучению свойств действительных чисел.
• Позволяет ввести понятие «неизвестного», сформулировать уравнения и изучать способы их решения. (Для примера, «Найти число x, такое что <math>3x + 1 = 10</math>» или, в более общем случае, «Найти число x, такое, что <math>ax + b = c</math>». Это приводит к выводу, что нахождение значения переменной кроется не в природе чисел из уравнения, а в операциях между ними.)
• Позволяет сформулировать понятие функции. (Для примера, «Если вы продали <math>x</math> билетов, то ваша прибыль составит <math>3x - 10</math> рублей, или <math>f(x) = 3x - 10</math>, где <math>f</math> — функция, и <math>x</math> — число, от которого зависит функция»)

Линейная алгебра

Линейная алгебра — часть алгебры, изучающая векторы, векторные, или линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений. К линейной алгебре также относят теорию определителей, теорию матриц, теорию форм (например, квадратичных), теорию инвариантов (частично), тензорное исчисление (частично)<ref name="BSE_LAlgebra"/>. Современная линейная алгебра делает акцент на изучении векторных пространств<ref name="MathEnc_LAlgebra"/>.

Линейное, или векторное пространство <math>V \left( F \right) </math> над полем <math> F </math> — это упорядоченная четвёрка <math>(V,F,+,\cdot)</math>, где

<math>V</math> — непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами;

<math>F</math> — (алгебраическое) поле, элементы которого называются скалярами;

<math>+\colon V \times V \to V</math> — операция сложения векторов, сопоставляющая каждой паре элементов <math>\mathbf{x}, \mathbf{y}</math> множества <math>V</math> единственный элемент множества <math> V</math>, обозначаемый <math> \mathbf{x} + \mathbf{y}</math>;

<math>\cdot\colon F\times V\to V</math> — операция умножения векторов на скаляры, сопоставляющая каждому элементу <math>\lambda</math> поля <math>\in F</math> и каждому элементу <math>\mathbf{x}</math> множества <math>V</math> единственный элемент множества <math>V</math>, обозначаемый <math>\lambda\mathbf{x}</math>;

причём заданные операции удовлетворяют следующим аксиомам — аксиомам линейного (векторного) пространства:

1. <math>\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}</math>, для любых <math>\mathbf{x}, \mathbf{y}\in V</math> (коммутативность сложения);
2. <math>\mathbf{x} + (\mathbf{y} + \mathbf{z}) = (\mathbf{x} + \mathbf{y}) + \mathbf{z}</math>, для любых <math>\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in V</math> (ассоциативность сложения);
3. существует такой элемент <math>\theta \in V</math>, что <math>\mathbf{x} + \theta = \mathbf{x}</math> для любого <math>\mathbf{x} \in V</math> (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности <math>V</math> не пусто;
4. для любого <math>\mathbf{x} \in V</math> существует такой элемент <math>-\mathbf{x} \in V</math>, что <math>\mathbf{x} + (-\mathbf{x}) = \theta</math> (существование противоположного элемента относительно сложения).
5. <math>\alpha(\beta\mathbf{x}) = (\alpha\beta)\mathbf{x}</math> (ассоциативность умножения на скаляр);
6. <math>1\cdot\mathbf{x} = \mathbf{x}</math> (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля F сохраняет вектор).
7. <math>(\alpha + \beta)\mathbf{x} = \alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{x}</math> (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);
8. <math>\alpha(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \alpha \mathbf{x} + \alpha \mathbf{y}</math>(дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Евклидовы пространства, аффинные пространства, а также многие другие пространства, изучаемые в геометрии, определяются на основе векторного пространства. Автоморфизмы векторного пространства над полем образуют группу относительно умножения, изоморфную группе невырожденных квадратных матриц, что связывает линейную алгебру с теорией групп, в частности, с теорией линейных представлений групп<ref name="MathEnc_LAlgebra"/>.

Переход от используемых в линейной алгебре n-мерных векторных пространств к бесконечномерным линейным пространствам нашёл своё отражение в некоторых разделах функционального анализа<ref name="BSE_LAlgebra"/>. Другим естественным обобщением является использование не поля, а произвольного кольца. Для модуля над произвольным кольцом не выполняются основные теоремы линейной алгебры. Общие свойства векторных пространств над полем и модулей над кольцом изучаются в алгебраической К-теории<ref name="MathEnc_LAlgebra"/>.

Общая алгебра

Общая алгебра занимается изучением различных алгебраических систем. В ней рассматриваются свойства операций над объектами независимо от собственно природы объектов<ref name="BSE_Algebra"/>. Она включает в себя в первую очередь теории групп и колец. Общие свойства, характерные для обоих видов алгебраических систем, привели к рассмотрению новых алгебраических систем: решёток, категорий, универсальных алгебр, моделей, полугрупп и квазигрупп. Упорядоченные и топологические алгебры, частично упорядоченные и топологические группы и кольца, также относятся к общей алгебре<ref name="MathEnc_AAlgebra"/>.

Точная граница общей алгебры не определена. К ней можно также отнести теорию полей, конечных групп, конечномерных алгебр Ли<ref name="MathEnc_AAlgebra"/>.

Теория групп

Шаблон:Main Непустое множество <math>G</math> с заданной на нём бинарной операцией <math>*\,\colon G \times G \to G</math> называется группой <math>(G,*)</math>, если выполнены следующие аксиомы:

1. ассоциативность: <math>\forall (a, b, c\in G): (a*b)*c = a*(b*c)</math>;
2. наличие нейтрального элемента: <math>\exists e \in G \quad \forall a \in G:(e*a=a*e=a)</math>;
3. наличие обратного элемента: <math>\forall a \in G \quad \exists a^{-1}\in G: (a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)</math>

Файл:Cayley graph of F2.svg

Граф свободной группы порядка 2

Понятие группы возникло в результате формального описания симметрии и эквивалентности геометрических объектов. В теории Галуа, которая и дала начало понятию группы, группы используются для описания симметрии уравнений, корнями которых являются корни некоторого полиномиального уравнения. Группы повсеместно используются в математике и естественных науках, часто для обнаружения внутренней симметрии объектов (группы автоморфизмов). Почти все структуры общей алгебры — частные случаи групп.

Теория колец

Шаблон:Main Кольцо — множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и × (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами:

1. <math>\forall a, b \in R \left(a + b = b + a\right)</math> — коммутативность сложения;
2. <math>\forall a, b, c \in R \left(a + (b + c)) = ((a + b) + c\right)</math> — ассоциативность сложения;
3. <math>\exists 0 \in R\; \forall a \in R \left(a + 0 = 0 + a = a\right)</math> — существование нейтрального элемента относительно сложения;
4. <math>\forall a \in R\; \exists b \in R \left(a + b = b + a = 0\right)</math> — существование противоположного элемента относительно сложения;
5. <math>\forall a, b, c \in R\; (a \times b) \times c=a \times (b \times c)</math> — ассоциативность умножения (некоторые авторы не требуют выполнения этой аксиомы<ref>[[Категория:Слова {{ #switch: МЭ|ar =арабского|de =немецкого|el =греческого|en =английского|es =испанского|it =итальянского|ja =японского|fa =персидского|fr =французского|la =латинского|nl =нидерландского|pl =польского|ru=русского|uk=украинского|cs=чешского|lt=литовского|grc=греческого|zh=китайского|неопределённого}} происхождения{{#if:|{{ #switch: |да=/ru|нет=|/}}|/ru}}]]</ref>)
6. <math>\forall a, b, c \in R \left\{\begin{matrix} a \times (b + c) = a \times b + a \times c \\ (b + c) \times a = b \times a + c \times a \end{matrix}\right. </math> — дистрибутивность.

Универсальная алгебра

Универсальная алгебра является специальным разделом общей алгебры, который занимается изучением характерных для всех алгебраических систем свойств. Алгебраическая система представляет собой произвольное непустое множество с заданным (возможно, бесконечным) набором конечноарных операций над ним и конечноарных отношений: <math>\mathfrak A = \langle A, F, R\rangle</math>, <math>F = \langle f_1:A^{n_1} \to A, \dots f_i:A^{n_i} \to A, \dots \rangle</math>, <math>R= \langle r_1 \subseteq A^{m_1}, \dots r_i \subseteq A^{m_i}, \dots \rangle</math>. Множество <math>A</math> в этом случае называется носителем (или основным множеством) системы, набор функциональных и предикатных символов с их арностями <math>\langle F, R, \langle n_1, \dots n_i, \dots \rangle , \langle m_1 \dots m_i, \dots \rangle \rangle</math> — её сигнатурой. Система с пустым множеством отношений называется универсальной алгеброй (в контексте предмета — чаще просто алгеброй), а с пустым множеством операций — моделью или системой отношений, реляционной системой.

В терминах универсальной алгебры, например, кольцо — это универсальная алгебра <math>\left(R, +, \times \right)</math>, такая, что алгебра <math>\left(R, + \right)</math> — абелева группа, и операция <math>+</math> дистрибутивна слева и справа относительно <math>\times</math>. Кольцо называется ассоциативным, если мультипликативный группоид является полугруппой.

Раздел рассматривает как собственно универсальные алгебры, так и сопутствующие структуры: моноид всех эндоморфизмов <math> \mathbf{End} \mathfrak A</math>, группа всех автоморфизмов <math> \mathbf{Aut} \mathfrak A</math>, решётки всех подалгебр <math> \mathbf{Sub} \mathfrak A</math> и всех конгруэнций <math>\mathbf{Con} \mathfrak A</math><ref name="MathEnc_UAlgebra"/>.

Универсальная алгебра находится на стыке логики и алгебры<ref name="MathEnc_AAlgebra"/>.

Исторический очерк

Древний Восток

Истоки алгебры уходят к временам глубокой древности. Арифметические действия над натуральными числами и дробями — простейшие алгебраические операции — встречаются в ранних математических текстах<ref name="MathEnc_Algebra"/>. Ещё в 1650 году до н. э. египетские писцы могли решать отвлечённые уравнения первой степени и простейшие уравнения второй степени, к ним относятся задачи 26 и 33 из папируса Ринда и задача 6 из Московского папируса (так называемые задачи на «аха»). Предполагается, что решение задач было основано на правиле ложного положенияШаблон:Sfn. Это же правило, правда, крайне редко, использовали вавилонянеШаблон:Sfn.

Вавилонские математики умели решать квадратные уравнения. Они имели дело только с положительными коэффициентами и корнями уравнения, так как не знали отрицательных чисел. По разным реконструкциям в Вавилоне знали либо правило для квадрата суммы, либо правило для произведения суммы и разности, вместе с тем метод вычисления корня полностью соответствует современной формуле. Встречаются и уравнения третьей степениШаблон:Sfn. Кроме того, в Вавилоне была введена особая терминология, использовались шумерские клинописные знаки для обозначения первого неизвестного («длины»), второго неизвестного («ширины»), третьего неизвестного («глубины»), а также различных производных величин («поля» как произведения «длины» и «ширины», «объёма» как произведения «длины», «ширины» и «глубины»), которые можно считать математическими символами, так как в обычной речи уже использовался аккадский язык. Несмотря на явное геометрическое происхождение задач и терминов, использовались они отвлечённо, в частности, «площадь» и «длина» считались однороднымиШаблон:Sfn. Для решения квадратных уравнений было необходимо уметь осуществлять различные тождественные алгебраические преобразования, оперировать неизвестными величинами. Таким образом был выделен целый класс задач, для решения которых необходимо пользоваться алгебраическими приёмамиШаблон:Sfn.

За 2000 лет до нашего времени китайские учёные решали уравнения первой степени и их системы, а также квадратные уравнения (см. Математика в девяти книгах). Они уже знали отрицательные и иррациональные числа. Поскольку в китайском языке каждый символ обозначает понятие, то сокращений не было. Наряду с индийскими и исламскими математиками, китайские математики открыли «треугольник Паскаля» задолго до европейцев<ref name="М.Я.Выгодский">М. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике»</ref>.

Древняя Греция

После того как была открыта несоизмеримость стороны и диагонали квадрата, греческая математика переживала кризис, разрешению которого способствовал выбор геометрии как основы математики и определение алгебраических операций для геометрических величин. Геометрической алгебре посвящена вторая книга «Начал» Евклида, работы Архимеда и Аполлония. С использованием отрезков, прямоугольников и параллелепипедов были определены сложение и вычитание, произведение (построенный на двух отрезках прямоугольник). Такое представление позволило доказать дистрибутивный закон умножения относительно сложения, тождество для квадрата суммы. Алгебра первоначально была основана на планиметрии и приспособлена в первую очередь для решения квадратных уравненийШаблон:Sfn. Вместе с тем к алгебраическим уравнениям сводятся сформулированные пифагорейцами задачи об удвоении куба и трисекции угла, построение правильных многоугольниковШаблон:Sfn. Решение кубических уравнений получило своё развитие в работах Архимеда (сочинения «О шаре и цилиндре» и «О коноидах и сфероидах»), который исследовал в общем виде уравнение <math>x^3+ax+b=0</math>. Отдельные задачи решались с помощью конических сеченийШаблон:Sfn.

Неожиданный переход к алгебре, основанной на арифметике, произошёл в работах Диофанта, который ввёл буквенные обозначения: неизвестное число он назвал «число», вторую степень неизвестного — «квадрат», третью — «куб», четвёртую — «квадрато-квадрат», пятую — «квадрато-куб», шестую — «кубо-куб». Также он ввёл обозначения для отрицательных степеней, свободного члена, отрицательного числа (или вычитания) и знака равенства. Диофант знал и использовал правило переноса вычитаемого из одной части уравнения в другую и правило сокращения равных членовШаблон:Sfn. Исследуя уравнения третьей и четвёртой степеней, Диофант для нахождения рациональной точки на кривой использует такие методы геометрической алгебры, как провести касательную в рациональной точке кривой или провести прямую через две рациональные точки. В X веке «Арифметика» Диофанта, в которой он изложил свои методы, была переведена на арабский язык, а в XVI веке достигла Западной Европы, оказав влияние на работы Ферма и Виета. Идеи Диофанта можно заметить также в работах Эйлера, Якоби, Пуанкаре и других математиков вплоть до начала XX века. В настоящее время проблемы Диофанта принято относить к алгебраической геометрииШаблон:Sfn.

Исламский мир

Файл:Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala.jpg

Страница из книги аль-Хорезми «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала»

Термин «алгебра» взят из сочинения среднеазиатского учёного аль-Хорезми «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала» (ок. 825 года). Слово «аль-джабр» при этом означало операцию переноса вычитаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, и его буквальный смысл — «восполнение»<ref name=A6/>. «Аль-мукабала» означало отбрасывание в обеих частях равенства равных членов (противоположение). «Аль-джабр» при переводе на латинский язык превратилось в «algebra», а аль-мукабала была отброшена: так появилось название «алгебра». Аль-Хорезми разработал системный подход к решению линейных и квадратных уравнений, заложив основу этой математической дисциплины.

В X—XI веках алгебру расширили Абу Камил и аль-Караджи, введя иррациональные числа, систематизировав операции с многочленами и заложив основы математической индукции. XII век ознаменовался работами Омара Хайяма, который развил геометрическое решение кубических уравнений и дал первое определение алгебры как науки. Аль-Самуал ввёл правила умножения одночленов любых целых степеней и правила деления многочленов, а Шараф ад-Дин Ат-Туси использовал понятия функции и дискриминанта кубического уравнения. Постепенно алгебра перешла от словесных описаний к символическому выражению, что стало важным шагом в её развитии.

Европа

Перевод труда аль-Хорезми на латинский язык способствовал распространению алгебры в Европе и её дальнейшему совершенствованию. В XVI веке в Европе были открыты способы решения уравнений 3 и 4 степеней. Распространение получили отрицательные и комплексные числа. В XIX веке было доказано, что любое уравнение 5 степени и выше нельзя решить алгебраическим способом. Вплоть до второй половины XX века практическое применение алгебры ограничивалось, в основном, решением алгебраических уравнений и систем уравнений с несколькими переменными.

Наше время

Во второй половине XX века началось бурное развитие ряда новых отраслей техники. Появились электронно-вычислительные машины, устройства для хранения, переработки и передачи информации, системы наблюдения типа радара. Проектирование новых видов техники и их использование немыслимо без применения современной алгебры. Так, электронно-вычислительные машины устроены по принципу конечных автоматов. Для проектирования электронно-вычислительных машин и электронных схем используются методы булевой алгебры. Современные языки программирования для ЭВМ основаны на принципах теории алгоритмов. Теория множеств используется в системах компьютерного поиска и хранения информации. Теория категорий используется в задачах распознавания образов, определении семантики языков программирования, и других практических задачах. Кодирование и декодирование информации производится методами теории групп. Теория рекуррентных последовательностей используется в работе радаров. Экономические расчёты невозможны без использования теории графов. Математическое моделирование широко использует все разделы алгебры.

Отец алгебры

Титул «отца алгебры» часто приписывают аль-Хорезми<ref> Шаблон:Cite journal </ref><ref> Шаблон:Cite book </ref><ref> Шаблон:Книга </ref>. Среди прочих, эту точку зрения поддерживают такие историки математики, как Соломон ГандзШаблон:Sfn, Карл Бенджамин БойерШаблон:Sfn и Бартель Леендерт ван дер ВарденШаблон:Sfn. Впрочем, иногда данное звание приписывают и Диофанту. Его сторонники указывают, что уравнения, изложенные в «Арифметике», используют некоторые символьные обозначения, тогда как в «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала» уравнения и их решения передаются исключительно словами<ref> Шаблон:Cite book</ref>. Однако историк математики Шаблон:Iw однозначно выступает против того, чтобы Диофант носил этот титул<ref> Шаблон:Cite book </ref>, поскольку его арифметика была не намного более алгебраической, чем математика древних вавилонянШаблон:Sfn.

Сторонники аль-Хорезми указывают на тот факт, что он дал исчерпывающее и систематическое объяснение алгебраического решения квадратных уравнений с положительными корнямиШаблон:Sfn. Он был первым, кто преподавал алгебру в элементарной форме ради самой этой дисциплины, в то время как Диофант в первую очередь занимался теорией чиселШаблон:Sfn. Другие его сторонники добавляют, что в отличие от вавилонских табличек и от «Арифметики» Диофанта его алгебра больше не была связана с рядом задач, которые нужно решить, но с изложением, которое начинается с примитивных терминов, комбинации которых должны дать все возможные виды уравнений, отныне явно становящихся истинным объектом исследования<ref name="Rashed-Armstrong">Шаблон:Cite book</ref>. Шаблон:Iw также считает «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала» первым настоящим текстом по алгебре, сохранившимся до наших дней<ref name="Katz2006">Шаблон:Cite journal</ref>.

Литература

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation

Ссылки

• Шаблон:Dmoz
• Информация на начало XX века: Шаблон:ВТ-ЭСБЕ