Дискриминант
Дискримина́нт многочлена — математическое понятие (в алгебре), обозначаемое буквами <math>\mathcal{D}</math> или <math>\Delta</math> <ref>Шаблон:Cite web 2</ref>.
Для многочлена <math>p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n</math>, <math>a_n \neq 0</math>, его дискриминант есть произведение
- <math>\mathcal{D}(p)=a_n^{2n-2}\prod_{i \neq j}^{\frac{n^{2}-n}{2}}(\alpha_i-\alpha_j)^2</math>,
- где <math>\alpha_1,\alpha_2, \ldots,\alpha_n</math> — все корни многочлена (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.
Дискриминант - это такое число, которое определяет характер корней многочлена:
- Если <math> \mathcal{D}(p) > 0 </math>, это означает, что корни уравнения являются простыми, и все они различны. Геометрически, график <math> p(x) </math> пересекает ось <math> x </math> в <math> n </math>-разных местах.
- Если <math> \mathcal{D}(p) = 0 </math>, это означает, что некоторые из корней (или все) совпадают, т.е. кратны. Геометрически, график <math> p(x) </math> касается ось <math> x </math> в некоторых местах (или во всех).
- Если <math> \mathcal{D}(p) < 0 </math>, это означает, что некоторые из корней (или все) комплексные числа. Геометрически, график <math> p(x) </math> будет находиться над или под осью <math> x </math>, и касаться ее только в некоторых местах (или не будет касаться вовсе).
Чаще всего используется дискриминант квадратного трёхчленаШаблон:Переход, знак которого определяет количество действительных корней.
Свойства
- Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
- Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.
- <math>\mathcal{D}(P(\lambda + x)) = \mathcal{D}(P(x)) </math>
- <math>\mathcal{D}(P(\lambda \cdot x)) = \lambda^{n(n-1)} \mathcal{D}(P(x)) </math> , где <math> \lambda = const </math>
- <math>\mathcal{D}(\lambda \cdot P(x)) = \lambda^{2n-2}\mathcal{D}(P(x)) </math>
- <math>\mathcal{D}(x \cdot P(x)) = a_0^{2} \mathcal{D}(P(x)) </math>
- <math>\mathcal{D}((P(x))^k) = \mathcal{D}((x^k \cdot P(x))) = 0 </math>, при <math> k > 1 </math>
- <math>\mathcal{D}(P(x))=\dfrac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n}\mathcal{R}(P(x),P'(x))</math>, где <math>\mathcal{R}(P(x),P'(x))</math> — результант многочлена <math>P(x)</math> и его производной <math>P'(x)</math>.
- Также дискриминант можно записать в виде определителя матрицы <math>n \times n</math> вида
- <math> \mathcal{D}(P(x)) = a_n^{2n-2}
\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ x_1^{2} & x_2^{2} & x_ 3^{2} & \cdots & x_n^{2} \\ x_1^{3} & x_2^{3} & x_3^{3} & \cdots & x_n^{3} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \\ \end{vmatrix}^{2} </math>. Где (<math> x_1 , x_2, x_3, \cdots , x_n </math>) - корни уравнения от многочлена <math> P(x) </math>
Примеры
Во всех следующих примерах рассматриваются многочлены с вещественными коэффициентами и отличным от нуля старшим коэффициентом.
Многочлен второй степени
Дискриминант квадратного трёхчлена <math>ax^2+bx+c</math> равен <math>\mathcal{D} = b^2-4ac.</math>
- При <math>\mathcal{D} > 0</math> трёхчлен будет иметь два вещественных корня:
- <math>x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\mathcal{D}}}{2a}= \dfrac{2c}{-b \mp \sqrt{\mathcal{D}}}.</math>
- При <math>\mathcal{D} = 0</math> — один корень кратности 2 (другими словами, два одинаковых корня):
- <math>x = -\dfrac{b}{2a}.</math>
- При <math>\mathcal{D} < 0</math> вещественных корней нет, однако есть два комплексно-сопряжённых корня, выражающиеся той же формулой, что и для положительного дискриминанта. Также её можно переписать так, чтобы она не содержала отрицательного подкоренного выражения, следующим образом:
- <math>x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\mathcal{D}}}{2a} = \dfrac{-b \pm i\sqrt{|\mathcal{D}|}}{2a}</math> или <math>x_{1,2} = \dfrac{2c}{-b \pm \sqrt{\mathcal{D}}} = \dfrac{2c}{-b \pm i\sqrt{|\mathcal{D}|}}.</math>
Геометрический смысл дискриминанта квадратного уравнения
Дискриминант квадратного трёхчлена геометрически характеризует расстояние от абсциссы точки экстремума функции <math>f(x)=ax^2+bx+c</math> до точки пересечения графика функции с осью Ox. Это расстояние определяется по формуле:
<math>l=\dfrac{\sqrt{\mathcal{D}}}{2a}</math> .<ref>Шаблон:Cite web</ref>
Многочлен третьей степени
Дискриминант кубического многочлена <math>ax^3+bx^2+cx+d</math> равен
- <math> D = b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd = 27\left(6a\frac{b}{3}\frac{c}{3}d - 4\left(a\left(\frac{c}{3}\right)^3 + \left(\frac{b}{3}\right)^3d\right) + 3\left(\frac{b}{3}\right)^2\left(\frac{c}{3}\right)^2 - a^2d^2\right).</math>
В частности, дискриминант кубического многочлена <math>x^3+px+q</math> (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен <math>-4p^3-27q^2 = -108\left(\left( \frac{p}{3} \right)^3+\left( \frac{q}{2} \right)^2\right).</math>.
- При <math>D > 0</math> кубический многочлен имеет три различных вещественных корня.
- При <math>D = 0</math> он имеет кратный корень (либо один корень кратности 2 и один корень кратности 1, и тот, и другой вещественные; либо один-единственный вещественный корень кратности 3).
- При <math>D < 0</math> кубический многочлен имеет один вещественный корень и два комплексных корня (являющихся комплексно-сопряжёнными).
Многочлен четвёртой степени
Дискриминант многочлена четвёртой степени <math>ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e</math> равен
- <math>\begin{align}
D &= 256 a^3 e^3 - 192 a^2 b d e^2 - 128 a^2 c^2 e^2 + 144 a^2 c d^2 e - 27 a^2 d^4\ + \\ &+ 144 a b^2 c e^2 - 6 a b^2 d^2 e - 80 a b c^2 d e + 18 a b c d^3 + 16 a c^4 e\ - \\ &- 4 a c^3 d^2 - 27 b^4 e^2 + 18 b^3 c d e - 4 b^3 d^3 - 4 b^2 c^3 e + b^2 c^2 d^2. \end{align} </math> Для многочлена <math>x^4+qx^2+rx+s</math> дискриминант имеет вид
- <math>\begin{align}
D &= 256 s^3 - 128 q^2 s^2 + 144 q r^2 s - 27 r^4 + 16 q^4 s - 4 q^3 r^2 = \\ &= 256\left(s^3-18\left(\frac{q}{6}\right)^2s^2-27\left(\frac{r}{4}\right)^4-54\left(\frac{q}{6}\right)^3 \left(\frac{r}{4}\right)^2+54\left(\frac{q}{6}\right)\left(\frac{r}{4}\right)^2s+81\left(\frac{q}{6}\right)^4s\right). \end{align}</math> и равенство <math>D=0</math> определяет в пространстве <math>(q,r,s)</math> поверхность, называемую ласточкиным хвостом.
- При <math>D < 0</math> многочлен имеет два различных вещественных корня и два комплексных корня.
- При <math>D > 0</math> многочлен имеет четыре различных корня: либо все вещественные, либо все комплексные.
- А именно, для многочлена <math>x^4+qx^2+rx+s</math><ref name=autogenerated1>Шаблон:Статья</ref>:
- если <math>q \geqslant 0</math>, то все корни комплексные;
- если <math>q < 0</math> и <math>s > \frac{q^2}{4}</math>, то все корни комплексные;
- если <math>q < 0</math> и <math>s < \frac{q^2}{4}</math>, то все корни вещественные.
- При <math>D = 0</math> многочлен имеет по меньшей мере один кратный корень (вещественный или комплексный). Во втором случае многочлен имеет два комплексно сопряжённых кратных корня и, следовательно, распадается в произведение двух многочленов второй степени, неприводимых над полем вещественных чисел.
- Точнее<ref name=autogenerated1 />:
- если <math>q < 0</math> и <math>s > \frac{q^2}{4}</math>, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
- если <math>q < 0</math> и <math>-\frac{q^2}{12} < s < \frac{q^2}{4}</math>, то три различных вещественных корня, один из которых кратности 2;
- если <math>q < 0</math> и <math>s = \frac{q^2}{4}</math>, то два вещественных корня, каждый из которых кратности 2;
- если <math>q < 0</math> и <math>s = -\frac{q^2}{12}</math>, то два вещественных корня, один из которых кратности 3;
- если <math>q > 0</math>, <math>s > 0</math> и <math>r \neq 0</math>, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
- если <math>q > 0</math>, <math>s = \frac{q^2}{4}</math> и <math>r = 0</math>, то одна пара комплексно сопряжённых корней кратности 2;
- если <math>q > 0</math> и <math>s = 0</math>, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
- если <math>q = 0</math> и <math>s > 0</math>, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня;
- если <math>q = 0</math> и <math>s = 0</math>, то один вещественный корень кратности 4.
История
Термин образован от латинского слова Шаблон:Lang-lat — «разбираю», «различаю». Понятие «дискриминант квадратичной формы» использовалось в работах Гаусса, Дедекинда, Кронекера, Вебера и др. Термин ввёл британский математик Джеймс Джозеф Сильвестр (1814—1897)<ref>Шаблон:Cite web</ref>.